"Математическая статистика в действии"

«Математическая статистика в действии»

Беляева Кристина Владимировна

Российская Федерация

Министерство образования

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

Муниципальное образование      Ямальский район

п. Мыс Каменный

Муниципальная общеобразовательная школа - интернат

«Мыскаменская школа – интернат среднего (полного) общего образования»

9 класс

                                                                        Содержание

1.Введение………………………………………………………………………………………… 2

2. Основная часть

Статистические характеристики………………………………………………………………..4

1. Таблица…………………………………………………………………………………..4
2. Среднее арифметическое……………………………………………………………….5
3. Размах…………………………………………………………………………………....5
4. Мода……………………………………………………………………………………..6
5. Медиана………………………………………………………………………………....6

    VI.    Диагностика техники чтения…………………………………………………………..7

3.Заключение………………………………………………………………………………………9

4.Список литературы…………………………………………………………………………….10

5. Приложения

     Приложение I………………………………………………………………………………...I

    Приложение II……………………………………………………………………………….V

     «Математическая статистика в действии»

Беляева Кристина Владимировна

Российская Федерация

Министерство образования

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

Муниципальное образование      Ямальский район

п. Мыс Каменный

Муниципальная общеобразовательная школа - интернат

«Мыскаменская школа – интернат среднего (полного) общего образования»

9 класс

Введение

Как только человеку в его деятельности потребовались количественные характеристики, то есть числа, то тут же появилась статистика. Конечно, она так не называлась, но самые первые статистические исследования можно обнаружить и в древних египетских папирусах, и на вавилонских глиняных табличках.  В древних государствах вели учет населения, способного платить  налоги. С развитие общества потребовались  научные методы  обработки и анализа самых разнообразных  сведений.

Сначала возникли демографическая статистика, медицинская статистика, экономическая статистика,  потом – метеорологическая, биологическая, финансовая, налоговая и т.д. Отсутствие строгой, научной базы статистических прогнозов, произвольное толкование статистических данных позволили в конце XIX века английскому премьер-министру Б. Дизраэли заметить: «Есть три вида лжи. Просто ложь, наглая ложь и…статистика».

В XX в. появилась математическая статистика, обладающая универсальными методами сбора, хранения, обработки информации для выработки различных прогнозов.   По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”.          Современная общеобразовательная школа вместе со всем российским образованием переживает период обновления. Сегодня содержание образования рассматривается как обобщенный социальный опыт человечества. В связи с этим актуальность изучения в курсе математики материала вероятностно-статистического характера очевидна. В нашу жизнь прочно вошли референдумы, социологические опросы, кредиты, разнообразные банковские начисления и т.п. Современная математика, демография, социология, философия, весь комплекс социально-экономических наук развивается на вероятностно-статистической базе. Вероятностно-статистические законы стали и основой описания научной картины мира.

Структурно  работа состоит из пяти частей:

1. Введение

2. Основная часть

3. Заключение

4. Список литературы

5. Приложение  

В настоящее время изучению математической статистики в школе  стали уделять  больше внимания.    Имеющиеся учебники по математике 5-6 классов  содержат изложение материала, связанного со статистикой. Учебники по алгебре для 7-9 классов   также предусматривают его изучение в школе.

         Главной целью изучения элементов статистики в школе является формирование умений первичной обработки статистических данных, изображение и анализ количественной информации, представленной в разных формах (в виде таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей), формирование представлений о важных статистических идеях, а именно: идее оценивания и идее проверки статистических гипотез; формирование умений сравнивать вероятности наступления случайных событий с результатами конкретных экспериментов.  

Практическая значимость работы заключается в том, что преподавателям также   в своей работе  приходиться пользоваться  статистическими  данным. А именно -  составлять различные отчёты в виде таблиц, графиков, диаграмм, для анализа своей деятельности.  Порой им приходится это делать каждый месяц. А ведь большинство преподавателей  в ВУЗах   не  изучали элементов  математической статистики. Многие из них даже  не знакомы с  основными понятиями.    

Мною был проведён опрос среди педагогического коллектива начальной и средней школ п. Мыс Каменный. Всего было опрошено 24 преподавателя. Данный опрос преследовал цель: узнать, применяют ли элементы  математической статистики  преподаватели  школы. В результате, необходимо было выяснить, изучали ли преподаватели математическую статистику в ВУЗе, составляют ли они статистические отчёты, как часто им приходится это делать и с какими понятиями, применяемыми в статистике, они знакомы (Приложение I).

По итогам опроса видно, что большая часть преподавателей не изучали в ВУЗе математическую статистику. Результаты опроса также указывают на такой факт, что большинство опрошенных учителей используют в своей работе статистические данные по предмету. Для этого они чаще всего используют графики, нежели таблицы и диаграммы. Им приходится это делать чаще 1 раз в месяц и реже в год. Также данный опрос показал, что из понятий, применяемых в статистике, большинство преподавателей знакомы с «выборкой» и «частотой», а с остальными мало знакомы.  

Данный опрос показал, что преподаватели применяют математическую статистику в своей работе. Но они мало знакомы с этим предметом.  

Поэтому  цель предлагаемой  работы:

1. выяснить и показать на  конкретном примере целесообразное применение  элементов  математической статистики  преподавателям  школы.

При выполнении работы были поставлены следующие задачи:

1. изучить  основные понятия и способы применения математической статистики;
2. систематизировать полученные знания;
3. показать практическое применение математической статистики;
4. сделать вывод о проделанной работе.

Источником информации для работы послужили: литература, анкетирование, результаты  работы учителей школы.

                                                       Статистические характеристики

              Математическая статистика – это раздел в математике, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей.

              Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также  некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся статистические исследования. Всякое   статистическое исследование  начинается с  целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап  называется этапом статистического наблюдения.

I.Таблица

            Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического  наблюдения, их по  какому-либо признаку разбивают на группы, и результаты  группировки сводятся  в таблицы.

Пример 1. В ходе административной проверки  выпускных классов,    по математике  был составлен тест, содержащий  10 заданий. При проверке каждой работы  учитель отмечал  количество  заданий, верно выполненных учащимися.  Получилось два ряда чисел:

9 «А»  класс:  8; 7; 2; 5; 3; 9; 8; 7; 7; 10; 3; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 4; 10; 7; 9; 2;  7; 9; 6

9 «Б»  класс:   8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9

        Ряд чисел, полученный в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто  выборкой, а каждое число  этого ряда – вариантой выборки. Количество чисел в ряду  называют объемом выборки (в нашем случае  объем выборки равен 25).

           Запись результатов  наблюдений  в таком виде   мало  наглядна, занимает  много места, и из нее   трудно   делать выводы. Это особенно важно, когда число наблюдений велико и достигает  многих сотен, а то и тысяч.  Для этого  полученные данные  представим  в виде  таблицы, в которой в первой строке  запишем всевозможные количества баллов, которые могли получить  учащиеся при выполнении теста, то есть от 0 до 10.  Во второй строке запишем соответствующее количество появлений  одного и того же варианта (Приложение II, таблицы 1,2).   Такую таблицу называют таблицей частот.   

Имея только  две выборки, трудно   сравнить  успешность  выполнения заданий   теста  учащимися  этих двух классов  или получить  какую- либо другую информацию. При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к анализу, используя для этого различные обобщающие  показатели. Простейшими  из них являются  такие известные характеристики как среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

Проанализируем  результаты проведенной работы, используя эти характеристики.

II. Среднее арифметическое

      Средним арифметическим  выборки называется  частное суммы  всех  вариант выборки и  количества  вариант.

        Найдем средний балл, который получили учащиеся  9 «А»  и 9 «Б» классов  в отдельности  при выполнении  задания.

Для  9 «А» класса:     =    = 6,76

Для 9 «Б»  класса:     == 8,04

       Теперь зная средние баллы учащихся  9 «А» и 9 «Б» классов, можно сделать выводы, что  учащиеся 9 «Б» класса   в целом написали тест лучше, поскольку  8,04 >  6,76.  

III. Размах

      Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.  

       Приведенные таблицы позволяют сделать  еще  несколько полезных выводов  о проведенном тестировании. Для первой выборки  (результаты учащихся 9 «А» класса)  наименьший полученный  балл равен 2, наибольший – 10. Результаты  всех учащихся класса располагаются  между этими числами.   Размах  выборки равен: 10 – 2 = 8

         Для второй выборки  (результаты учащихся 9 «Б» класса) наименьшая варианта равна 5, наибольшая 10.  Размах выборки равен: 10 – 5 = 5

         Это может означать, что в 9 «Б» классе собраны учащиеся, знания которых отличаются на небольшую величину, то есть класс по знаниям  «более ровный».      

Размах  выборки находят  в том  случае, когда  существенным для  исследования является величина разброса данных в ряду.

IV. Мода

        При анализе сведений о  заданиях выполненных  учениками, нас могут интересовать и другие показатели. Интересно, например, знать, какое количество   заданий  является типичным для  каждого класса, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего.  Имея данные о выполнении заданий учащимися  в таком виде,

9 «А»  класс:   8; 7; 2; 5; 3; 9; 8; 7; 7; 10; 3; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 4; 10; 7; 9; 2; 7; 9; 6

9 «Б»  класс:   8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9

ответить на этот вопрос трудно.

        Поэтому  расположим  числа  каждого  ряда  следующим образом:

Для 9 «А» класса:   2; 2; 3; 3; 4; 5; 5;  6; 6;  7; 7; 7; 7; 7;   8; 8; 8; 8;  9; 9; 9; 9; 10; 10; 10

Для 9 «Б» класса:   5; 6; 6;  7; 7; 7; 7; 7; 7;  8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9;  10; 10; 10

Теперь нетрудно заметить, что таким числом в первом ряду является 7, а во втором - 9.    Эти числа являются модой выборки.

           Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, является  модой выборки.

Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.  Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

V. Медиана

       Медианой   упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом  членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Мы имеем  следующие упорядоченные ряды:  

Для 9 «А» класса: 2; 2; 3; 3; 4;5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10

Для 9 «Б» класса: 5;   6; 6;   7; 7; 7; 7; 7; 7;    8; 8; 8; 8; 8;   9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9;   10; 10; 10

 В  этих  рядах   расположено 25 чисел  в каждом.  Нетрудно заметить, что в середине  первого ряда расположено число 7, а в середине второго – 8. Говорят, что  числа 7 и 8 являются срединными, или иначе медианами. Они будут считаться также  медианой исходного ряда данных.

          Найденные значения характеризует средний показатель ряда. Именно это число  может помочь учителю определить фамилии учеников, показавших лучшие знания по проверяемой теме.

VI. Диагностика техники чтения

           Чтение в жизни каждого культурного человека занимает важное место. Современный читатель в условиях господства телевидения, радио и кино не потерял интерес к чтению книг, способных обогатить внутренний мир человека, дать знания о жизни и окружающем мире, развить самостоятельность мышления и доставить читателю художественное наслаждение.

          Процессом чтения все дети овладевают по-разному и в разное время, но целенаправленный характер обучение чтению приобретает в начальной школе, где первоклассник на уроках грамоте учится читать по слогам.

      Уровень чтения, который достигает ребёнок, овладевший грамотой, - послоговое чтение с темпом в 20 – 30 слов в минуту. Такой уровень, естественно, не может обеспечить ребёнку глубокое понимание текста при самостоятельном чтении.

         Поэтому  первостепенная задача учителя обеспечить  интенсивное  совершенствование  чтения  учащихся  во II-IV классах. Для этого  учитель начальных классов   обязан каждую  четверть проводит  контроль за техникой чтения.  Учащиеся  начальных классов должны овладеть целостными приёмами чтения, т.е. чтением словами, способствующим слиянию технической стороны чтения и понимания прочитанного в единый процесс, освоить так называемое темповое чтение и к концу обучения в начальной школе овладеть сознательным чтением с ориентировочным темпом 100 слов в минуту.  

 Преподаватели школ в своей работе могут использовать статистические данные по предмету, например, при подсчёте техники чтения.

Пример 2 В ходе проверки  техники чтения у учащихся, были получены следующие данные (Приложение II, таблица 3). Проанализируем эти данные с помощью статистических  характеристик.

                 Запись результатов  наблюдений  в таком виде  мало наглядна, из нее трудно делать выводы.  

            Поэтому если в ряду имеется  большое число данных  и одинаковые  значения  встречаются редко, то  таблицы частот  становятся  излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят  интервальный ряд.

             Для этого  разность между наибольшим и  наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5-10) и, округляя полученный результат, определяют  длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают  наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал.   При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

          Из таблицы видно, что количество слов в минуту  за I четверть 4 класса колеблется от 37 до  117 слов. Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате проверки техники чтения, весь интервал возможных значений разобьем на части равной длины (8 слов)  и подсчитаем число наблюдений, попавших в каждый из отрезков. Получим следующую таблицу (Приложение II, таблица 4).

Количество слов в минуту за I четверть 5 класса  колеблется от 66 до 128.  Данный интервал  тоже разобьем на части равной длины (8 слов). Получится таблица (Приложение II, таблица 5)

Пользуясь составленными таблицами, найдем среднее количество  слов читаемое в минуту  учеником. Для этого составим новые таблицы частот, заменив каждый интервал числом, которое является  его серединой (Приложение II, таблицы 6,7).

Составим упорядоченные ряды статистических выборок техники чтения учеников:

I четверть  4 класс:  41; 49; 65; 65; 65; 73; 81;81;81;81; 89; 89; 89; 97; 97; 97; 97; 113

I четверть 5 класс:  70; 86; 94; 94; 94; 94;102;102;102;102;102;102;110;110;110;118;118;126

Теперь, для каждого ряда найдём среднее арифметическое.

 I четверть 4 класс:   =  = 80,55≈ 81

 I четверть 5 класс:   =    = 93,33 ≈ 93

Можно заметить, что среднее арифметическое 2 ряда больше 1 ( 93> 81), а значит, техника чтения учащихся в пятом  классе  стала в среднем  выше, по сравнению с четвертым классом.

Также мы можем определить размах каждого ряда:

I четверть 4 класс 113 - 41 = 72

I четверть 5 класс: 126 - 7 0 = 52

           При сравнении размаха первого и второго ряда можно сказать, что  техника чтения у учащихся в 5-м классе  стала «более ровной», т.е. разница между «медленным» чтением   текста  и «довольно» быстрым  уменьшилась.

       Найдём моду каждого ряда.

I четверть  4 класс: 41; 49; 65; 65; 65; 73; 81;81;81;81; 89; 89; 89; 97; 97; 97; 97; 113

В этом ряду модой является как число 81 так и число 97, так как у этих выборок одинаковое количество частот (четыре).

Следовательно, типичными для  этого ряда считаются числа 81 и 97.  

I четверть 5 класс: 70; 86: 94; 94; 94; 94;102;102;102;102;102;102;110;110;110;118;118; 126

В этом ряду  модой является число 102 имеющее наибольшую частоту (шесть).

Число 102 является типичным для этого ряда.

Определим медиану упорядоченных рядов данных.

Каждый  из них содержит 18 чисел (т.е. четное число), поэтому для того чтобы найти медиану каждого ряда, будем вычислять её как среднее арифметические двух средних по счёту вариант.

I четверть  4 класс: 41; 49; 65; 65; 65; 73; 81;81;81;81; 89; 89; 89; 97; 97; 97; 97; 113

 = 81

I четверть 5 класс: 70; 86: 94; 94; 94; 94;102;102;102;102;102;102;110;110;110;118;118;126

 =  102

Используя эти показатели можно определить,  кто из учеников не справляется с техникой чтения. Данное исследование показало, что техника чтения учащихся за I четверть в 5 классе стала  выше, по сравнению  с I четвертью 4 класса. Но известно, что норма техники чтения в 4 классе - 65 слов в минуту, а в 5 классе – 100 слов. По упорядоченному ряду можно заметить, что в 4 классе только у двух учеников техника чтения ниже нормы, а в 5 классе уже у шести учеников. Это значит, что учителю придётся поработать над техникой чтения этих учеников для улучшения их результатов.

Заключение

В работе мы рассмотрели понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: «Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях». Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них были рассмотрены - это среднее арифметическое, размах, мода и медиана. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

                                                       Список литературы

1. Бродский Я. «Об  изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе»/  «Математика» приложение к газете «Первое сентября» № 31- 2004г.
2. Бутузов В.Ф., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Математика: учеб. пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений /  -  М.: Просвещение, 1996
3. Иванова В.М., Калинина В.М., Нешумова В.Н.и др. Математическая статистика: учебник – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа , 1981
4. Климанова Л.Ф. – Обучение чтению в начальных классах /«Начальная школа» № 9 – 1999г.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., под редакцией Теляковского С.А.Алгебра : элементы статистики и теории вероятностей : учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений  - 4-е изд.,/ - М.Просвещение, 2006
6. Минаева С. Решать задачи становится интереснее/ «Математика» приложение к газете «Первое сентября» № 8- 2007г.
7. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обаботка данных : Доп параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений – 3-е изд. – М.Мнемозина, 2005
8. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика–М.:Педагогка, 1985
9. Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 8 кл. общеобразоват. учеб. заведений  - М.:Просвещение, 1994
10. Феоктистов И. «Антиманипулятор» для сознания: статистика как учебный предмет/ «Математика» приложение к газете «Первое сентября» №15,17- 2005г.

Приложение I

Изучали ли в ВУЗе математическую статистику?

Применяете ли в своей работе статистические данные по предмету?

Что вы используете при составлении статистических отчётов?

Таблицы:

Графики:

Диаграммы:

Как часто приходится это делать?

1 раз в месяц:

1 раз в четверть:

1 раз в полугодие:

1 раз в год:

Знакомы ли вы с понятиями, применяемыми в статистике?

Выборка:

Частота:

Размах ряда:

Медиана:

            Приложение II

                                 (таблица 1)

                (таблица  2)

                (таблица 3)        

(таблица 4)                                               (таблица 5)

         (таблица 6)                                                        (таблица 7)