Презентация по геометрии на тему: ««Вписанные и описанные окружности»

Слайд 1

Слайд 2

Цели и задачи Главная цель моей работы – подробное изучение темы «Вписанные и описанные окружности». Задачи: расширить свои знания по выбранной теме систематизировать их и освоить решение задач, казавшихся ранее сложными

Слайд 3

Понятие окружности Окружностью называется фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии r от некоторой точки О этой плоскости. О А В D C E r

Слайд 4

Центральные и вписанные углы Угол с вершиной в центре окружности называется центральным Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным О О

Слайд 5

Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. О

Слайд 6

О Центральный угол измеряется дугой окружности, на которую он опирается.

Слайд 7

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Слайд 8

Теорема. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

Слайд 9

Теорема. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол.

Слайд 10

Теорема. В любой треугольник можно вписать одну и только одну окружность. Лемма. Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке. B А K L C M O

Слайд 11

Теорема. Около любого треугольника можно описать одну и только одну окружность.

Слайд 12

Формулы для вычисления площади треугольника S этого треугольника вычисляется по формулам: S = pr S = r a (p – a) = r b (p – b) = r c (p – c), Где r a , r b , r c – радиусы соответствующих вневписанных окруж-ностей . A B C a b c R r p = ( a + b + c)

Слайд 13

Теорема. Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. Каждая сторона треугольника касается одной и только одной из этих окружностей.

Слайд 14

Теорема. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 º .

Слайд 15

Теорема Птолемея. В четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Если прямые АС и В D являются осями симметрии четырехугольника АВС D , то он – ромб, а так как он вписан в окружность, то четырехугольник АВС D – квадрат. В этом случае равенство непосредственно следует из теоремы Пифагора. Рассмотрим общий случай и предположим, что АВ D ≠ D ВС, например АВ D < D ВС. От ВС отложим угол СВЕ, равный углу АВ D , где Е – точка на отрезке СА. Т. к. ∆ СВЕ ~ ∆ D ВА, то ВС · А D = СЕ · В D . Аналогично, ∆ АВЕ ~ ∆ D ВС, поэтому АВ · С D = АЕ · В D . Сложив эти два равенства и учитывая, что АЕ + ЕС = АС, получаем равенство АС · В D = АВ · С D + А D · ВС.

Слайд 16

Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Слайд 17

Из истории Гиппократ Хиосский ( V в. до н. э.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Слайд 18

Евклид- древнегреческий математик (родился в 330 году до н. э.)

Слайд 19

вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности. Дано: окружность, разделенная на 4 большие и 4 малые части, радиус = R, большая часть в два раза длиннее малой. Найти: S ABCDEKLM A B C D E K L M O Решение: Пусть ﮮ BOC = x , ﮮ AOB = 2x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮ AOB = 60°, ﮮ BOC = 30° Ответ:

Слайд 20

заключение В процессе работы я расширила знания по теме «Вписанные и описанные окружности», рассмотрела поставленную мной цель, научилась решать усложненные задачи, казавшиеся ранее недоступными, изучила множество теорем, систематизировала знания по этой теме, и закрепила методы решения этих задач на практике.

Слайд 21

Спасибо за внимание!