Биссектрисы треугольника

Слайд 1

Слайд 2

Биссектриса Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Биссектриса угла - луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на две равные части. Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Слайд 3

Теорема 1 В равнобедренном треугольнике равны биссектрисы углов при основании.

Слайд 4

Теорема 2 Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам. Доказательство. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC . Проведем прямые СЕ и BF , параллельные прямой AD (Е – точка на прямой АВ). Согласно обобщению теоремы Фалеса . Докажем, что АЕ = АС. Для этого заметим, что  1 =  2,  3=  1,  4=  2, откуда следует, что  3=  4. Таким образом, треугольник АЕС равнобедренный, поэтому АЕ = АС. Следовательно, . Что и требовалось доказать .

Слайд 5

Теорема 3 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство . Пусть АА1,ВВ1,СС1 - биссектрисы треугольника АВС. Воспользуемся тем, что обозначим буквой О точку пересечения биссектрис в треугольнике АВС и проведём из этой точки перпендикуляры ОК, О L ,ОМ соответственно к прямым АВ, ВС, и СА. ОК=ОМ и ОК=О L (по теореме о точках биссектрисы). Поэтому ОМ=О L , т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке. О. Что и требовалось доказать .

Слайд 6

Теорема 4 Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Слайд 7

Теорема 5 Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе

Слайд 8

Терема 6 Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

Слайд 9

Теорема 7 Продолжение биссектрисы треугольника, проведённой из одной вершины, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке. Эта точка является центром вневписанной окружности этого треугольника. Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC . Проведем биссектрису AD . Затем продолжим эту биссектрису за точку D до пересечения в точке О с биссектрисой внешнего угла при вершине В. Поскольку точка О лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и АС (по определению биссектрисы). Так как ВО - биссектриса угла В, то она равноудалена от прямых АВ и ВС (по определению биссектрисы). Следовательно , она равноудалена от прямых АС и ВС , а , значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С (по определению биссектрисы). Итак, продолжение биссектрисы треугольника проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке. Поскольку точка О равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С , то окружность с центром в точке О , касающаяся стороны ВС , касается и продолжений сторон АВ и АС . Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника ABC .

Слайд 10

Следствие Любой треугольник имеет три вневписанные окружности

Слайд 11

Теорема 8 В подобных треугольниках отношение сходственных биссектрис равно коэффициенту подобия.

Слайд 12

Построение биссектрисы задача 1. Рассмотрим угол с вершиной А. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в А. Обозначим через В и С точки ее пересечения со сторонами угла Теперь построим две пересекающиеся окружности равного Радиуса с центрами в В и С. Возьмем точку их пересечения, лежащую внутри угла. Обозначим ее буквой D . Треугольники ABD и ACD равны по трем сторонам. Значит, равными являются углы BAD и CAD . Луч AD является биссектрисой нашего угла.

Слайд 13

Построение биссектрисы задача 2. Для построения биссектрисы произвольного угла М на его сторонах откладываем отрезки МА = МВ, AC = BD , как показано на рисунке и проводим отрезки AD и BC . Затем проводим искомый луч ME , где Е — точка пересечения отрезков AD и BC .

Слайд 14

ПРИ СОЗДАНИИ ПРЕЗЕНТАЦИИ ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ: Литература : Г. Коксетер; С. Магдональд. «Новые встречи с геометрией».М. – Просвещение 1978г. В.Г. Житомирский «Путешествие по стране геометрии». М. – Педагогика. 1991г. Л.С. Атанасян; В.Ф. Бутузов. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ с углублённым изучением математики. М. – Просвещение 1996г. А.И. Фетисов. Геометрия в задачах. Пособие для учащихся школ и классов с углублённым теоретическим и практическим изучением математики. М. – Просвещение 1977г. Программное обеспечение : AutoCAD CorelDraw PowerPoint

Слайд 15

Спасибо за внимание!