Задача Эйлера

Слайд 1

Задача Эйлера Автор презентации: Бондаренко Антон, ученик 10 Б Руководитель Стеняева Наталья Сергеевна Г.Выборг 2012 год Министерство образование Российской Федерации МБОУ «Средняя школа № 12» г. Выборг Ленинградская область

Слайд 2

Цели презентации: Кратко рассказать об авторе задачи великом математике Леонард Эйлер Выделить основные утверждения, которые доказываются в задаче Эйлера Показать решение этих утверждений

Слайд 3

Леонард Эйлер 1707 – 1783 Леонард Эйлер – один из величайших ученых, внесший огромный вклад в развитие отечественной и науки вообще. За свою жизнь написал более 800 работ по направлениям: математический анализ, дифференциальная геометрия, теория чисел, приближенным вычислениям, теории музыки, кораблестроению , оптике, баллистике и другие. Его учениками являются первые российские академики Котельников и Румовский. Работал в Петербургской Академии наук с 1731 – 1741, а также с 1766.

Слайд 4

Задача Эйлера: Доказать, что в произвольном треугольнике: 1) точки симметричные точке Н пересечения высот (или их продолжений) относительно сторон треугольника и из середин, лежат на описанной окружности; 2) середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку Н с вершинами, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего точку Н с центром описанной окружности, а её радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (окружности Эйлера) 3) точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку Н с центром описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 1:2, считая от центра описанной окружности (прямая, на которой лежат четыре точки – точка Н , точка пересечения медиан, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера, называется прямой Эйлера) 4) точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера

Слайд 5

B A C A 1 A 2 A 4 A 5 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G ∆ ABC – данный треугольник O 9 - центр окружности Эйлера OR - описанная окружность СС 1 , АА 1 ВВ 1 – медианы, G – точка их пересечения СС 2 , АА 2 ВВ 2 – высоты А 4 С 4 В 4 – точки, симметричные точке Н относительно сторон треугольника А 5 С 5 В 5 – точки, симметричные точке Н относительно середин этих сторон треугольника А 3 С 3 В 3 – середины отрезков АН , ВН и СН ОН - прямая Эйлера

Слайд 6

Если угол А = 90 о , то точки Н, В 4 и С 4 совпадают с точкой А , точка В 5 с точкой С , а точка С 5 – с точкой В . Угол ВА 4 С = ВА 5 С= А, то А, А 4 и А 5 лежат на окружности с диаметром ВС = > А 5 ,В 4 ,В 5 , С 4 ,С 5 лежат на окружности описанной треугольника АВС B A C A 1 A 2 A 4 A 5 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G Докажем утверждение 1

Слайд 7

Допустим ∆ АВС не является прямоугольным. Поскольку углы АВ 2 Н = АС 2 Н = 90 ₀ , то точки В 2 и С 2 лежат на окружности с диаметром АН = > вписанные углы и ВНС либо равны, либо их сумма равна 180 о . В обоих случаях sin ВНС = sin ВАС . Пусть R 1 – радиус окружности, описанной около ∆ НВС . По теореме ВС =2 R 1 sin ВНС = 2 Rsin ВАС . Но sin ВНС = sin ВАС, значит R 1 =R = > окружности описанные около ∆ АВС и ∆ НВС , симметричны относительно прямой ВС и относительно середины ВС . Точка Н лежит на окружности описанной около ∆ НВС , значит точки А 4 и А 5 лежат на окружности около АВС . Аналогично для В 4 , В 5 , С 4 , С 5 . A 5 B A C A 1 A 2 A 4 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G Утверждение 1 доказано

Слайд 8

B A C A 1 A 2 A 4 A 5 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G Докажем утверждение 2 Рассмотрим центральное подобие с центром Н и коэффициентом 1:2 При этом подобии окружность переходит в окружность радиуса R :2, центр О 9 является серединой отрезка ОН , а точки В 4 , В 5 , С 4 , С 5 , А 5 , А 4 , А , В , С – переходят в точки А 1 , B 1 , С 1 , А 2 , В 2 , С 2 , А 3 , В 3 , и С 3 = > лежат на окружности с центром О 9 и радиусом R:2 Утверждение 2 доказано

Слайд 9

B A C A 1 A 2 A 4 A 5 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G Докажем утверждение 3 Рассмотрим центральное подобие с центром G и коэффициентом -1:2, при этом подобие вершины АВС перейдут в середины А 1 , В 1 и С 1 , противоположных сторон. Из этого следует, что прямые содержащие высоты перейдут в прямые перпендикулярные к его сторонам, т. е. в серединные перпендикуляры сторон. Значит, точка Н перейдет в центр окружности О . Это означает, что точка G лежит на ОН и делит его в отношении 1:2. считая от точки О . Утверждение 3 доказано

Слайд 10

B A C A 1 A 2 A 4 A 5 A 3 C 3 C 4 C 2 C 1 C 5 B 3 B 2 B 1 B 5 B 4 R H O 9 O G Докажем утверждение 4 Из доказанного в утверждение 3 следует: А) окружность описанная около ∆ АВС , переходит в окружность Эйлера Утверждение 4 доказано Задача Эйлера решена! Б) точки А 4 , В 4 и С 4 , симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА и АВ, переходят в точки А 6 , В 6 и С 6 окружности Эйлера, симметричные точке относительно прямых В 1 С 1 , С 1 А 1 и А 1 В 1 . Таким образом А 6 , В 6 и С 6 , лежат на окружности Эйлера