Теорема Пифагора за страницами учебника

Районная научно-исследовательская конференция школьников

«Первые шаги в науку»

СЕКЦИЯ  МАТЕМАТИКИ

Теорема Пифагора

за страницами учебника

Шунькова Аня

МБОУ Верх-Чикская средняя общеобразовательная школа,

8 класс, д. Верх-Чик

Руководитель:

Шишкина Галина Михайловна,

Учитель математики высшей квалификационной категории

Д. Верх-Чик, 2009

Оглавление.

      Введение                                                                              стр.3

      Основная часть:                                                                стр.4

              А кто он, Пифагор?                                                    стр.4-6

              История открытия теоремы.                                      стр.7-8

              Некоторые доказательства теоремы.                        стр.9-11

              Применение теоремы и её значение.                        стр.12-13

     Заключение                                                                       стр.14

     Список литературы                                                         стр.15

     Приложения                                                                     стр.16-21

  I   Введение.

      Когда сказала своим родителям, что в 7 классе один из учебных предметов - геометрия, то в ответ услышала это интересное словосочетание – ПИФАГОРОВЫ ШТАНЫ. Мне стало любопытно то, что мои родители, давно распрощавшись с математикой, сохраняют воспоминания о пифагоровых штанах - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Оказывается, трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой.

А кто он, Пифагор?  Его портрет я вижу в кабинете математики, а на уроках геометрии учитель познакомил нас с теоремой Пифагора, сказав, что теорема Пифагора - одна из важнейших теорем математики, а доказательств теоремы существует несколько сотен. Эта информация еще больше разожгла мое любопытство, и я решила непременно побольше узнать и о Пифагоре, и о его теореме за страницами учебника.

                Я хочу с помощью своей работы:

- расширить свои знания по данной теме, используя  различную дополнительную литературу и сайты Интернета;

-    рассмотреть в сравнении некоторые доказательства теоремы Пифагора;

-    научиться применять теорему в решении задач.

II Основная часть.                                                                                                                                        § 1. А кто он, Пифагор?

         Для нас Пифагор (6 в. до н.э) прежде всего математик. Его именем названы улицы в  некоторых городах мира. Его родина - остров Самос в Эгейском море. Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя, и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне, на юге Италии. Пифагор и его последователи – пифагорейцы – образовали тайный союз,  игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине  Y века до н.э., его орден был разгромлен.

          Многочисленные легенды рисуют Пифагора прежде всего как религиозного пророка. Математика была одной  из составных частей религии пифагорейцев. Бог, учат они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и  состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

            Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нем. Однако из этого мистического учения выросла точная наука поздних пифагорейцев. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей, и что вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. Пифагору приписывается высказывание «  всё есть число». В школе Пифагора арифметика была тесно связана с музыкой. Согласно одной из легенд Пифагор, проходя вблизи одной кузницы, услыхал звуки различной высоты от ударов различных молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, получаемых от струн разной длины, Пифагор открыл, что если уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т.е. высота тона обратно пропорциональна длине струны. От трех струн можно получить приятное, гармоническое сочетание звуков, если их длины относятся как 6:4:3. Отсюда пифагорейцы делали вывод, что от чисел зависит гармония и что числа якобы всегда обусловливают свойства вещей и явлений. Умирая, Пифагор завещал своим ученикам изучать музыку и арифметику.

               В античности Пифагор был известен более всего как проповедник определенного образа жизни. Центральным в его учении было представление о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. Поскольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает  животных  или разделывает их туши.

               В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви отвели Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XYI в. были нередки ссылки   на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии.                                                                                                                                                                                                  

                Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре  далеко не полны и не достоверны. Он много путешествовал по странам Востока, среди которых был Египет и Вавилон. Древнегреческий писатель-историк и математик Ямблих (III в. до н.э.) в своей «Биографии Пифагора» рассказывает, что последний изучал арифметику, музыку, астрономию и другие науки в Вавилоне.

             Пифагор был одним из тех ученых, благодаря которым математические знания из Египта и Вавилона передавались в Грецию.

§2.История открытия теоремы.

             Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Или квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

             Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I  книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка». Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через 2000 лет продолжала вызывать горячие отклики.

               Так оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

                А вот ироничный Генрих Гейне видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

              Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (YI  в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

                  Исторический обзор начнем с Древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4,5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая                                                                                                                                                                                                                                                          концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

                 Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство     3 + 4 = 5  было известно уже египтянам еще около 2300 г.до н.э. во времена Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

                Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т.е. к 2000 г. до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.

                 Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

                  Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XYIII в. до н.э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате  YII-Y вв. до н.э. «Сульва сутра» (« Правила веревки »).

                 Но, несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется.

§ 3.Некоторые доказательства теоремы.

                   Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его  – ослиный мост, или        - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры. Но я не отношусь к «ослам», поэтому я попробую продемонстрировать несколько доказательств теоремы Пифагора.

            Простейшее доказательство: достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника (см. приложение, рис.1).

            Доказательство методом достроения :

            На рисунке 2(см. приложение) изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник АВС с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

              Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников АЕDFРВ и  ACBNMQ. Здесь прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника; прямая CM  делит шестиугольник  ACBNMQ  на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90 градусов вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.(Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи).

               Алгебраический метод доказательства:

               Рис.3(см.приложение) иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари. Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Историки считают, что Бхаскара выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырех треугольников и площади квадрата со стороной, равной разности катетов, т.е. :

с = 4∙(аb/2) + (b – а) = 2аb + b -2аb+а = b + а.

               Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место занимает доказательство, использующее подобие. Приведем в современном изложении одно из таких доказательств:

На рис.4(см.приложение) ∆ АВС- прямоугольный, С – прямой угол, (СМ ┴ АВ), b –проекция катета b на гипотенузу, а – проекция катета а на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того что ∆АВС подобен ∆АСМ, следует b = c∙ b (1). Из того что ∆АВС подобен ∆ВСМ, следует а = с∙ а, (2).Складывая почленно равенства (1) и (2), получим а + b = cb + ca = c( b + a ) = c.

                    Доказательство Аннариция:

              Багдадский математик и астроном X в. Ан - Найризий (латинизированное имя Аннариций) в арабском комментарии к

«Началам» Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах (рис.5 см. приложение). Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения : в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений.

                Доказательство  Гарфилда. 

                 На рисунке 6 (см. приложение) три прямоугольных  треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трёх треугольников, В первом случае эта площадь равна

0,5∙(а+в)∙(а+в),

во втором - 0,5∙а∙b+0,5∙а∙b+0,5∙с².

                  Доказательство с применением косинуса угла.

                  В современных учебниках автора Л.С.Атанасяна применяется алгебраический метод доказательства, а в учениках автора А.В.Погорелова для доказательства теоремы Пифагора базовой теоремой является теорема о косинусе угла. Вот она: Косинус угла зависит только от градусной меры угла.

            Применение этой теоремы и является основной идеей доказательства. Воспользоваться этой идеей позволяет дополнительное построение: мы проводим высоту из вершины прямого угла. Благодаря такому построению каждый из острых углов данного треугольника и косинус углов можно выразить двояким образом: из одного треугольника и из другого. По теореме косинусы одного угла равны. В результате получаем две пропорции. Пользуясь тем, что произведение крайних членов  пропорции равно произведению средних членов, получаем выражения для квадратов катетов. Находим сумму квадратов катетов. После преобразований получаем квадрат гипотенузы. Теорема доказана.          

§ 4. Применение теоремы и ее значение.

           Со времен Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она попала в книгу рекордов Гиннеса. Однако, принципиальных идей в этих доказательствах сравнительно немного.

              Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач. Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т.д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах.

             Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:

          а) наклонные равны, если равны их проекции;

         б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию;

         в) в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы;

         г) косинус угла         меньше 1 для любого острого угла      .

Воистину получили венок следствий, «венчающих теорему Пифагора»!

                  Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон»-по-гречески означает «треугольник»).

                       Эта наука нашла применение в землемерии.

                       Но ещё раньше с её помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звёзды.

Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

                    Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам.

                    Построение прямых углов египтянами. По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3,4,5.

                Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м. от одного конца и 4 м. от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 м. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками.  И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

                Подобные задачи решаются в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

Заключение

                Я не буду останавливаться на достигнутом и планирую в дальнейшем расширять мою работу, пополняя её новыми знаниями по данной теме, надеясь, что моя работа стоит моих усилий!

            Список  литературы:

1.Атанасян Л.С.,В.Ф.Бутузов,С.Б.Кадамцев и другие «Геометрия»7-9кл.-14-е издание -М.:Просвещение,2004- 384с.

2.Балк М.Б,Балк Г.Д. «Математика после уроков»-М.: Просвещение,1971- 462с.

3.Глейзер Г.И.»История математики в школе» -М.:Просвещение,1981-240с

4.Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики»-М.: Просвещение,1981-80с.

5.Никитин Н.Н. «Геометрия» учебник для 6-7кл.,8-е издание –М.:Учпедгиз,1963-216с.

6.Никольская И.Л.,Семёнов Е.Е.Учимся рассуждать и доказывать. –М.:Просвещение 1989-192с.

7.Погорелов А.В. «Геометрия»7-11кл. 3-е издание-М.:Просвещение 1992-384с.