Исследовательская работа "Подобие треугольников в решении социальных проблем села Яндыки"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Яндыковская СОШ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Измерительные работы на местности. Определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки с помощью признаков подобия треугольников»

Работу выполнили:

Конаныхин Рем Сергеевич 8 «А» класс

Ермаков Владислав Алексеевич 8 «А» класс

Учитель:

Кананыхина Инна Викторовна

Яндыки 2012

Оглавление

1. Введение

2. Теоретическая часть

3. Практическая часть

   3.1. Приборы

  3.2. Предварительные измерения

 3.3 Расчеты

4. Заключение

  4.1. Выводы

 4.2. Список источников и литературы

“Я думаю, что никогда до настоящего

 времени мы не жили в такой

 геометрический период.

 Все вокруг – геометрия”

  Эти слова, сказанные великим французским архитектором Корбюзье в начале 20 века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

   Как вы думаете зачем нужна геометрия? А вы посмотрите вокруг! Все время,  когда  мы имеем  дело  с  формой,  размером,  положением  предмета  в пространстве, мы вовлечены в геометрию. Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии. Она может быть в  строительстве  сооружений  и  оформлении  их,  в  архитектуре,  устройстве интерьеров, даже в создании ландшафта. Вот такая геометрия. Может быть не всегда понятная, но если разобраться, очень интересная и нужная. Нас заинтересовал вопрос, а может ли геометрия помочь в решении социальных проблем нашего села. Мы решили взять проблемы, которые как говорят « у всех на устах»: сохранение архитектурных памятников села Яндыки и очистка Яндыковского канала.

Таким образом,  нами была сформулирована Гипотеза:  геометрия может помочь в решение социальных проблем нашего села.

В соответствии с этим были поставлены следующие цели и задачи:

Цель1.

Выяснить какой раздел геометрии поможет нам подтвердить нашу гипотезу.

          Задачи.

Изучить литературу по практическому применению геометрии.

Выяснить , какими способами можно измерить высоту будущего музея с. Яндыки для его последующей реставрации.

Выяснить, какими способами  можно измерить ширину реки для её последующей очистки.

Цель 2.

Выяснить какими способами можно реставрировать фасад музея и очистить канал Яндыковский.

Задачи.

Изучить литературу по реставрации фасадов.

Изучить литературу по способам очистки каналов

Цель 3.

Провести практическое исследование выбранных объектов.

Задачи.

Измерить высоту «музея»  и ширину реки на практике .

Подтвердить свои измерения , используя программу «Живая геометрия»

Выбрать способы реставрации фасада и очистки канала.

 Объектом исследования выступают бывшее здание магазина купца Лепехина и Яндыковский канал.

   Предметом исследования выступают  возможность реставрации здания данного магазина и очистка Яндыковского канала.

 Методы исследования:

Изучение литературы;

Измерение ;

Математический эксперимент.

Глава 1. Происхождение геометрии

1.1. Что такое геометрия      Геометрия (греч.  geometria,  от ge — Земля и metreo — мерю),  раздел

математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений  и  формы,  сходные  с  пространственными  по  своей  структуре.   Происхождение  термина  "Геометрия",  что  буквально  означает "землемерие",  можно  объяснить  следующими  словами,  древнегреческого учёного Евдема Родосского (4 в. до н. э.): "Геометрия была открыта египтянами вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы".  Уже у древних греков Геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении  Земли  был  введён  термин  геодезия.  Судя  по  сохранившимся отрывкам  древнеегипетских  сочинений,  Геометрия  развилась  не  только  из измерений  Земли,  но  также  из  измерений  объёмов  и  поверхностей  при земляных и строительных работах и т.п.  

       Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей,  а также о преобразованиях фигур.  Это определение  вполне  согласуется  с  определением  Геометрии  как  науки  опространственных  формах  и  отношениях.  Действительно,  фигура,  как  она рассматривается  в  Геометрии,  и  есть  пространственная  форма;  поэтому  в Геометрии   говорят,  например,  "шар",  а  не  "тело  шарообразной  формы". Геометрия  изучает  формы,  размеры,  взаимное  расположение  предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Таким  образом,  Геометрия  не  только  дает  представление  о  фигурах,  их свойствах,  взаимном расположении, но и учит рассуждать,  ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

1.2. Развитие геометрии

    В развитии Геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Геометрии.

     Первый — период зарождения Геометрии как математической науки — протекал  в  Древнем Египте,  Вавилоне  и Греции  примерно до  5  в.  до  н.  э. Первичные геометрические  сведения  появляются  на самых ранних ступенях развития  общества.  Зачатками  науки  следует  считать  установление  первых общих  закономерностей,  в  дгеометрическими  величинами.  Геометрические  сведения  того  периода  были немногочисленны  и  сводились  прежде  всего  к  вычислению  некоторых площадей  и  объёмов.  Они  излагались  в  виде  правил,  логические  же доказательства  были,  вероятно,  ещё  очень  примитивными.  Геометрия  была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему.  Процесс этот происходил путём  накопления  новых  геометрических  знаний,  выяснения  связей  между разными  геометрическими  фактами,  выработки  приёмов  доказательств  и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.  Этот  процесс  привёл  к  качественному  скачку.  Геометрия превратилась  в  самостоятельную  математическую  науку:  появились систематические  её  изложения,  где  её  предложения  последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Геометрии. Сохранились и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н.  э.  "Начала"  Евклида.  Здесь  Геометрия представлена  так,  как её  в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией; это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений  —  аксиом  и  основных  пространственных  представлений. Геометрия, развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащенную  как  в  предмете,  так  и  в  методах  исследования,  называется евклидовой геометрией. Упадок античного общества привёл к сравнительному  застою в развитии Геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока. [3,С.55]

     Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в первой половине 17 в. Р.  Декартом,  который  ввёл  в  Геометрии  метод  координат.  Метод  координат позволил  связать  Геометрию  с  развивавшейся  тогда  алгеброй  и зарождающимся  анализом.  Применение  методов  этих  наук  в  Геометрии породило аналитическую Геометрию, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с Геометрией древних: в ней  рассматриваются  уже  гораздо  более  общие  фигуры  и  используются существенно  новые  методы.  С  этого  времени  начинается  третий  период развития  Геометрии.  Аналитическая  геометрия  изучает  фигуры  и преобразования,  задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных       Четвёртый период в развитии Геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским  в  1826  новой,  неевклидовой  Геометрии,  называемой  теперь Лобачевского  геометрией.  Заслуга  Лобачевского  состоит  в  том,  что  он действительно построил и всесторонне развил новую Геометрию,  логически столь же совершенную и богатую выводами,  как евклидова,  несмотря на её несоответствие  обычным  наглядным  представлениям.  Лобачевский рассматривал  свою  Геометрию  как  возможную  теорию  пространственных отношений; однако она оставалась  гипотетической,  пока  не был выяснен (в 1868)  её  реальный  смысл  и  тем  самым было  дано  её  полное  обоснование. Главная  особенность  нового  периода  в  истории  Геометрии,  начатого Лобачевским,  состоит  в  развитии  новых  геометрических  теорий  — новых "геометрий" и в соответствующем обобщении предмета Геометрия; возникает понятие о разного рода "пространствах" (термин "пространство" имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное "математическое пространство").

 Так геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства и фигуры в этих пространствах.  

   1.3 Подобие.

   В жизни мы встречаемся не только с равными фигурами, но и с такими, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Геометрия называет такие фигуры подобными.

   Учение о подобии фигур было создано  в Древней Греции в  V – IV веке  до н.э.  трудами  Гиппократа  Хиосского,  Архита  Тарентского, Евдокса Книдского и других. Оно изложено в шестой книге «Начал» Евклида. Свойства подобия издавна широко использовались на практике при составлении планов, карт, при выполнении архитектурных чертежей и чертежей различных деталей машин и механизмов.

        Подобные фигуры с соблюдением определенного коэффициента подобия можно вычерчивать с помощью особого прибора – пантографа.

Рассмотрим на рисунке 1 два треугольника АВС и А₁В₁С₁ с равными попарно углами: A = A1, B = B1, C = C1.

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными. Так, на рисунке 1 стороны AB и A1B1, AC и A1C1, BC и B1C1, ‑ сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A1B1C1.

Дадим определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Итак, на рисунке 2 имеем: ΔABC ~ ΔA1B1C1

углы A = A1, B = B1, C = C1 и AB/A1B1 = ВC/В1C1 = АС/А1С1 = k, где k – коэффициент подобия. Из рисунка 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что ΔABC ~ ΔB1C1A1 некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «ΔABC ~ ΔKNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.

Сформулируем свойства подобных треугольников:

Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Пусть треугольники ABCи A1B1C1 подобны с коэффициентом k (рисунок 2).

Докажем, что SABC/SA₁B₁C₁ = k².

  Поскольку углы подобных треугольников попарно равны, т.е A = A1, и по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем:

SABC/SA₁B₁C₁ = (AB · AC)/(A₁B₁ · A₁C₁) = AB/A₁B₁ · AC/ A₁C₁.  В силу подобия треугольников AB/A₁B₁ = k и AC/ A₁C₁ = k, поэтому SABC/SA₁B₁C₁ = AB/A₁B₁ · AC/A₁C₁ = k · k =  k².

Замечание: Сформулированные выше свойства подобных треугольников справедливы и для произвольных фигур.

Признаки подобия треугольников

Требования, которые предъявляются к подобным треугольникам определением (это равенство углов и пропорциональность сторон) являются избыточными. Устанавливать подобие треугольников можно и по меньшему количеству элементов.

Так, при решении задач чаще всего используется первый признак подобия треугольников, утверждающий, что для подобия двух треугольников достаточно равенства их углов:

Первый признак подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны (рисунок 3).

Пусть даны треугольникиΔABC, ΔA1B1C1, в которых углы A = A1, B = B1. Необходимо доказать, что ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Доказательство.

1) По теореме о сумме углов треугольника имеем:

угол C = 180° ‑ (угол A + угол B) = 180° ‑ (угол A1 + угол B1) = угол C1.

2) По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу,

SABC/SA₁B₁C₁ = (AB · AC)/(A₁B₁ · A₁C₁) = (AB · ВC)/(A₁B₁ · В₁C₁) =

= (AС · ВC)/(A₁С₁ · В₁C₁).

3) Из равенства (AB · AC)/(A₁B₁ · A₁C₁) = (AB · ВC)/(A₁B₁ · В₁C₁) следует, что AC/A₁C₁ = BС/В₁С₁.

4) Из равенства (AB · ВC)/(A₁B₁ · В₁C₁) = (AС · ВC)/(A₁С₁ · В₁C₁) следует, что AВ/A₁В₁ = АС/А₁С₁. Таким образом, у треугольников ABCи A1B1C1 ÐA = ÐA1, ÐB = ÐB1, ÐC = ÐC1, и AB/A1B1 = АС/А1С1.

5) AB/A1B1 = АС/А1С1 = ВC/В1C1, то есть сходственные стороны пропорциональны. А значит, ΔABC ~ ΔA1B1C1 по определению.

Глава 2. Как реставрировать и чистить?

2.1. Реставрация фасада.

  Не для кого не секрет, что здание бывшего магазина яндыковских купцов Лепехиных, затем местного клуба, а в последнее время – склада колхоза «Большевик» привлекло внимание нашего земляка, заслуженного художника России В.И. Галатенко. Владимир Иванович загорелся желанием открыть в нем местный музей, либо выставочный зал.  По информации старожилов села одноэтажное здание с сухим подвалом, двумя выходами является лабазом купца Лепехина начала 20 века. Как показало первоначальное обследование, оно построено предположительно из кирпича завода Ивана Николаевича Плотникова, выдающегося предпринимателя и общественного деятеля Астрахани 19 века. Ремонт и реставрация здания расширило бы географию сохраненного культурного наследия региона. В настоящее время здание находится в полном запустении.

        Магазин купца Лепехина.

  Одним из самых сложных видов работ для отделочников является реставрация фасадов зданий, ведь сам процесс реставрации очень непростой, намного проще фасадные работы по отделке нового строительства. Как правило, реставрируют фасады тех зданий, которые несут в себе часть истории, определяют шарм, стилистику какой то улицы или квартала, здания которые являются исторической ценностью. Что бы оставить часть наследия будущим поколениям, сохранить эту красоту и проводятся реставрационные работы.

  Для правильного и качественного выполнения реставрационных работ нужен предварительный осмотр и обследование структуры существующего покрытия, реставрация фасадов требует определенный багаж знаний не только отделочных работ но и знаний взаимодействий тех старых материалов которые присутствуют на фасаде и новых, которыми проводятся реставрационные работы. Реставрация фасадов, требует от реставратора определенной ловкости и мастерства, для точного воспроизведения деталей вековой или более давности. Задача мастеров, что бы реставрация фасада, лепнины, багетов проводилась по технологии максимально приближенной до той, которая использовалась при строительстве здания, что бы конечный результат мог с исторической точностью придать первоначальный облик здания. Для точного определения будущего технологического процесса реставрации, нужно знать устройство фасадов их структуру и срок эксплуатации.

   Реставрационные работы по восстановлению фасадов включают в себя несколько основных этапов:
  -снятие шаблонов с фасадного орнаментального декора,
- оформление чертежей на реставрируемые и утраченные фрагменты,
 -согласование и историко-архитектурные изыскания,
 -отливка моделей и форм, для дальнейшего восстановления лепного декора,
 поиск и приобретение материалов для восстановления мозаики и пр.

Понятно , что данные формы реставрации требуют больших материальных вложений. Поэтому , в целях сохранения памятника старины и придания ему эстетического вида предлагаем обновить его фасад банальной покраской.

Для этого нам надо рассчитать площадь фасада.

2.2.Очистка канала.

  Все мы знаем насколько загрязнен наш канал. Проблемы его углубления и очистки не один год стоит перед администрацией села. Мы решили выяснить, какими способами можно очистить канал.

   Очистка водоемов производится механизированным , гидромеханизированным, взрывным и ручным способами. Самый распространенный из всех способов- механический. При этом способе применяется чистка земснарядом.

Земснаряд НСС – 400/20 – ГР
Производительность (намыв грунта): 800м/куб за смену. Размеры: длина 10 м. , ширина 2, 7 м, высота 3, 0 м. 
Вес: 17 тонн. Пульпопровод: 100м (в том числе – 50 м плавучий, 50 м – береговой). Земснаряд оборудован стрелой. Длина стрелы - 10 м, с гидроразмывом (подача 60 м/куб в час воды при напоре 40 м, мощность насоса 7 кВт). 
Двигатель: Д-260-4. 01 (210 л/с, расход топлива - 14 л/час, частота вращения - 1800 об/мин). Насос: ГРАУ 400/20. Технические характеристики насоса: выход грунта 10-30% в час, напор водяного столба - 20м, мах мощность - 75 кВт, частота вращения - 950 об/мин. Земснаряд данной модификации поднимает грунт с глубины водоема 1-9, 5 м. , проталкивание по пульпопроводу до 200м. Диаметр трубопровода: 160 мм. Энергообеспечение: автономное. Движение при помощи лебёдок - 4 двигателя по 1, 5 кВт. 

  В нашем конкретном случае нас интересует длина стрелы земснаряда – 10м.

Глава 3. Измерительные работы на местности.

3.1 Измерение высоты здания.

   Существует множество различных  способов  производить измерения при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений. Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым  греческий мудрец Фалес за шесть веков  до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Фалес воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды.»

    Следующий – тоже весьма несложный – способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна, в известном романе «Таинственный остров»

    Некоторые из только что описанных способов измерения высоты неудобны тем, что вызывает необходимость ложиться на землю.

  Мы воспользуемся применением подобия при измерении высоких предметов.

 Измерим высоту магазина  купца Лепехина.  За его верх и низ возьмём  соответственно точки A1,  C1. 

                                                                А1

                                                                 С1

      Для этого поставим на расстоянии  10-ти метров  от здания  вершок AC  с вращающейся верхней планкой  и направим планку  на  верхнюю точку A1  

                                                                                                      А1

                    А

                                                 А

              В                                 С                                                     С1

Отметим на поверхности земли точку B, в котором прямая A1A пересекается с поверхностью земли.

Прямоугольные треугольники  A1C1B1 и ACB подобны по первому признаку подобия треугольников  (угол C1=C=90°, B-общий). Из подобия треугольников следует: A1C1/AC=BC1/BC, откуда  A1C1=AC·BC1/BC. Измерив расстояния BC1 и BC и зная длину AC шеста, по полученной формуле определяем высоту A1C1 телеграфного столба. Если, например, BC1=12м, BC=2м, AC=1,4 м, то A1C1=1,4·12/2=8,4 м.  

  Таким образом, мы получили, что высота будущего музея равна 8, 4 м.

Проверим наши данные в программе «Живая математика».  Построим данный рисунок, и программа сама определила, что  А1С1 = 8, 4 м.

 Ширина здания равна 20м. Значит площадь фасада равна  (8, 4*20=168 м2).

Зная площадь, мы можем рассчитать количество материала необходимого для реставрации фасада.

3.2. Измерение ширины реки.

Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим одну задачу: определение расстояния до недоступной точки. Для примера мы попробуем измерить ширину реки.

Не переплывая реки, измерить ее ширину – так же просто, как определить высоту, скажем, дерева, не залезая на верхушку. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется определением другого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению. В данном случае, из раннее сказанного, мы определим ширину реки с помощью признаков подобия треугольников.

Итак, с помощью некоторых приборов и расчетов, приступаем к работе. Для получения более точных результатов, мы измерили реку в двух местах.

Предположим, что нам нужно найти расстояние от точки А на берегу, на котором стоим мы, до точки B, находящейся на противоположном берегу реки. Для этого выбираем точку С на «нашем» берегу, попутно измерив получившийся отрезок АВ. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги или, в нашем случае, с помощью программы «Живая математика» строим треугольник DEF, но так, чтобы соблюдался 1 признак подобия треугольников (по 2 углам). Угол D равен углу А, а угол F равен углу В. Измеряем стороны DE и DF треугольника DEF.Так как треугольники ABC и DEF подобны, то AB/DE = AC/DF, откуда получаем AB =AC*DE/DF. Эта формула позволяет по известным расстояниям AC, DE и DF найти расстояние AB.

Практическая часть

 Приборы:

Астролябия, линейка демонстрационная (или, к примеру, веревка длинной примерно 4 м).

 Предварительные измерения:

Мы измерили реку в двух местах, поэтому по очереди опишем каждое измерение. 1) Возьмем любую точку на противоположном берегу реки, находящуюся рядом с границей реки и земли, скажем, небольшую ямку или, если предварительно подготовиться, вбитый в землю колышек, веха.

 Дальше установим астролябию на точке А и измерим с помощью нее угол А.

 Получилось 88 градусов, первый угол у нас есть. Таким же образом, поставив прибор на точку С, находящуюся на расстоянии, в нашем случае, 4 метра от точки А, измеряем угол С. 70 градусов. И, собственно, на этом измерения закончились.

2) На втором месте, где мы измеряли ширину реки, у нас получились примерно равные с первым случаем углы: А=90, С=70 градусов.

 Расчеты:

С помощью программы «Живая математика» чертим треугольник DEF, в котором угол D=88 , а угол F=70 градусов. Отрезок DF, для простоты измерений берем равный 4 сантиметра. Теперь измеряем отрезок DE. Получилось примерно 11 см. Переводим результаты в метры и собираем их в пропорцию:

AB/DE = AC/DF

AB-? ; DE=0,11 м; AC=4м;DF=0,04 м.

Выражаем АВ:

AB =AC*DE/DF;

АВ=4*0,11/0,04;

АВ=0,44/0,04=11м

Итак, в первом случае ширина реки равна 11 м.

Следуя тем же способом, находим все стороны и составляем пропорцию. Но результаты, так как наши углы примерно равны, получились такие же. Итак мы измерили ширину реки в двух местах и получили один результат – 11 метров.

Раннее мы указывали ,что длина стрелы земснаряда равна 10 метров, т.е её вполне хватает для того чтобы с одного берега очистить канал Яндыковский.

Заключение

 Выводы:

   Итак наше предположение о том, что геометрия , а данном случае подобие, помогает решать социальные проблемы верно. Мы доказали, что с помощью подобия можно рассчитать площадь зданий и ширину реки.

  Ведь иногда так хочется , чтобы твой родной уголок, место в котором мы с вами живем, засияло новыми красками, вызывало гордость. Хочется спуститься в любом месте на речку и искупаться, не опасаясь за свое здоровьё. Хочется гордиться своей малой Родиной. А для этого мы все должны постараться. Все в наших руках.

 Список источников и литературы:

1) Глейзер Г.И. История математики в школе  7-8 кл. - М.: Просвещение, 1982.-240 с.

2) Савин А.П.Я познаю мир - М.:  ООО  «Издательство  АСТ-ЛТД»,1998.-480 с.

3) Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.:Педагогика, 1989,-352 с.  

4) Атанасян Л.С. и др.  Геометрия7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 1999,-245с.

5) Программа «Живая математика»

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Происхождение геометрии

Что такое геометрия .

Развитие геометрии.

Подобие.

Глава 2. Как реставрировать и чистить?

2.1. Реставрация фасада.

2.2. Очистка канала.

Глава 3. Измерительные работы на местности.

3.1 Измерение высоты здания.

3.2. Измерение ширины реки.

Выводы.

Литература.