Математика и искусство

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему: «Математика и искусство»

по математике

Ученицы 9г класса

Науменко Ирины Викторовны

Руководитель: Леонова Нелли Алексеевна

Г. Воскресенс 2012

Содержание

1. Введение                                                                                          3

2. Прямоугольник, параллелепипед и цилиндр,

а так же изображение перспективы                                                  3

3. Выдающиеся люди в истории математического искусства       9

4. Общие темы в математическом искусстве                                  13

        4.1 Многогранники                                                                  13

        4.2 Тесселляции                                                                       14

        4.3 Невозможные фигуры                                                       16

        4.4 Лента Мебиуса                                                                   18

4.5 Искаженные и необычные перспективы                         18

4.6 Фракталы                                                                            20

5. Заключение                                                                                     22

6. Литература                                                                                      22

1. Введение

Математика соблюдает пристрастие к точности, к строгому дисциплинарному мышлению. Но ещѐ в начале XIX века считали самой гуманитарной наукой, и  до сих пор еѐ называют искусством. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве. Однако есть несколько тем, которые достаточно часто используются различными художниками. Среди них есть использование многогранников, тесселяций, невозможных фигур, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов.

2. Прямоугольник, параллелепипед и цилиндр, а так же изображение перспективы

Темы, наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве, включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования. Мы рассмотрим перспективу.

Вот посмотрите «Троицу» Рублева.

        У него у одного ангела подножье параллельное, а другое — в обратной перспективе, примерно 7 градусов. И то, и другое есть естественное зрительное восприятие близкого пространства. В близком пространстве человек все видит в параллельной или слабой обратной перспективе, никогда не видит сужения. И поэтому не надо удивляться, что — вот обратная перспектива, как она возникла и как она могла получиться. Надо изучать — как она могла пропасть. Нормальное человеческое зрение — пропало. Потому что задурили голову во времена Ренессанса, что надо — чтобы сходились на горизонте параллельные прямые. На самом же деле, прямые человек видит кривыми, которые на переднем плане как бы параллельны, а на дальних — сходятся на горизонте. Неудивительно, что художники и сейчас ужасно не любят писать близкие передние планы. Всегда картина у них начинается вон с того места, где кончается обратная перспектива и все прочие неприятности. И это понимание дала математика, не искусствоведческий анализ картин, а уравнения, написанные для зрительного восприятия.

Этим примером можно показать, что математика может многое дать для искусства непосредственно, не путем общих рассуждений, а, именно — непосредственно, своими методами. Но математика должна при этом помнить свою ограниченность, что она только может анализировать формальные стороны, перспективу там, еще что-то, то, что поддается формализации, и не должна влезать в святая святых, в художественный образ. Это то, что — запретно, это то, что — именно художники понимают. Я, по-моему, совершенно не могу понять, что такое художественный образ, и совершенно не могу отличить хорошую картину от плохой, талантливую от неталантливой. Должна быть, видимо, сильно развита внелогическая, образная часть восприятия мира, внелогическая компонента мозга.

Итак, что же такое перспектива и как ее используют в рисунках? Мы рассмотрим основные моменты использования перспективы в рисунках.

Перспектива - это средство отобразить глубину рисунка. Простой пример: железная дорога. Рельсы лежат параллельно, а это значит, что они нигде не пересекаются.

Однако, если встать на пути и посмотреть вдаль, то будет казаться, что с удалением, рельсы сходятся ближе, пока, наконец, не сольются в одну точку. То же самое можно увидеть, если выйти на прямой участок обычной дороги. Только здесь, вместо рельс,  будут сходиться края дороги. Точку, где рельсы или края дороги соединяются, называют "точкой схода". Эта точка всегда лежит на линии горизонта. Почему так? Иначе рельсы уходили бы в небо или обрывались бы, не достигая горизонта.

Если посмотреть в угол комнаты, можно заметить, что потолок и пол ближе друг к другу в углу, чем в том месте, где вы находитесь. Это основополагающий принцип перспективы. Чем дальше объекты от наблюдателя, тем они меньше и ближе друг к другу.

Перспектива может применяться как ко всем объектам на рисунке, так и к одному единственному. Возьмем для примера прямоугольник. Он состоит из 4 линий: верхней, нижней и двух боковых. Каждую линию можно изобразить в перспективе. Нарисуем прямоугольник, у которого верхняя сторона короче нижней. Сначала нижнюю линию, потом верхнюю. Теперь боковые линии. Кажется, что прямоугольник не лежит на листе, а уходит вглубь него. Нарисуем еще один прямоугольник, но сместим верхнюю и нижнюю линии в противоположные стороны. Впечатление похожее на предыдущее, но в этом случае, кажется, что он "скошен" или уходит в глубину под углом. Легко рисуются боковые линии. Для этого нужно просто соединить отрезками вершины верхней и нижней линий. Это важный момент при рисовании перспективы.    

В предыдущем примере мы не использовали точку схода. Пробуем проделать следующее упражнение с рельсами, с использованием этой точки. Рисуем прямую линию поперек листа бумаги. Это будет линия горизонта. Теперь ставим где-нибудь на ней точку. Это будет точка схода. Проводим две прямые, уходящие в горизонт и оканчивающиеся в этой точке. Прямые должны сближаться к точке схода. Обращаю внимание, что, меняя местоположение точки схода, можно добиться смены направления рельс. Таким образом, контролируется перспектива объекта.

Попробуем нарисовать то же самое, но на этот раз вместо рельс возьмем сетку. Это поможет понять, что расстояние между "квадратами" сетки должно изменяться пропорционально. Рисуем вертикальные линии сетки, выходящие из точки схода. Так же рисуем горизонтальные линии сетки, причем они должны располагаться ближе друг к другу по мере приближения к горизонту.

Это было введение в понятие перспективы. Применяем знания к конкретным объектам.

Начнем с простых фигур. Прямоугольник, куб (или параллелепипед) и цилиндр. Квадрат - это совсем просто и мы не будем заострять на нем внимание. Куб (параллелепипед) - это трехмерный прямоугольник (как сфера - это трехмерная окружность). Цилиндр - это что-то среднее между сферой и параллелепипедом.

Если параллелепипед это трехмерный прямоугольник, то куб - это параллелепипед с одинаковыми сторонами. Он имеет шесть сторон или поверхностей, но в жизни мы можем увидеть только три из них. Если посмотреть на параллелепипед спереди, сверху или сбоку, мы увидим прямоугольник. Чтобы нарисовать параллелепипед под углом, придется использовать перспективу.

Как вы видите, каждая видимая плоскость имеет 4 стороны, как у прямоугольника. Однако стороны не параллельны, они располагаются под углом друг к другу. Если приглядеться внимательнее, то можно заметить, что с удалением от вас стороны сужаются (эффект перспективы).

Рисуем параллелепипед на бумаге. Для начала нарисуем его под таким углом зрения, чтобы видимыми были только две стороны. Начнем рисование с передней стороны. На первый взгляд она выглядит как обычный прямоугольник, но если вы присмотреться, то увидите, что нижняя линия чуть короче верхней. Это происходит потому, что нижняя часть находится немного дальше, чем верхняя.

Рисуем верхнюю сторону (плоскость). Ее передняя грань уже нарисована, так как она одновременно является верхней гранью передней плоскости. Нарисуем вторую грань верхней плоскости параллельно первой, но немного короче. Обратите внимание, что эта грань намного меньше нижней грани передней плоскости. Опять же, это происходит потому, что она расположена еще дальше этой грани. Теперь дорисуем оставшиеся линии.

Взглянем на рисунок и проанализируем изображение. Объекты, расположенные дальше, уменьшаются в размере и так же уменьшается расстояние между ними. Именно это и происходит с параллелепипедом. Несмотря на его небольшие размеры, мы все равно видим перспективу.

На этой картинке мы применили то, что называется "2-х точечной перспективой". Отличие от "1-точечной перспективы" в том, что в первой используются две точки схода, а во второй - только одна.

Теперь нарисуем параллелепипед под другим углом. Это будет посложнее предыдущих упражнений. Мы будем использовать "3-х точечную перспективу", что означает присутствие трех точек схода. Так же это значит, что вы увидите сразу три стороны параллелепипеда.

Начнем рисование с размещения трех точек схода как показано на следующей картинке. Теперь надо отметить точку ближайшего к вам угла параллелепипеда. Она должна располагаться между точками схода. Далее соединим точку угла с точками схода. Мы обозначили местоположение трех граней параллелепипеда.

Теперь определимся с поверхностями параллелепипеда. Отметим на правой прямой отрезок, обозначающий самую длинную грань. Сделаем то же самое на прямой слева. Это будет ширина. Наконец отметим высоту параллелепипеда.

Соединим новые точки с точками схода.

Параллелепипед практически нарисован

Последняя фигура - это цилиндр. Цилиндр выглядит круглым, если смотреть на него сверху, и прямоугольным, если смотреть сбоку (предполагается, что цилиндр стоит вертикально).

Рисовать цилиндр довольно просто, а изображение его перспективы похоже на перспективу параллелепипеда. Разница заключается в том, что количество сторон у него поменьше и окончание представляет собой окружность. Рисуем две параллельные линии и окружность (либо что-нибудь другое, что зависит от формы цилиндра). Рисование в перспективе немного труднее.

Окончание цилиндра должно рисоваться в перспективе. Это значит, что торец цилиндра будет выглядеть как эллипс (плоская окружность). При рисовании цилиндра важно сохранять углы. Если угол перпендикулярный (90 градусов), то он должен остаться таким и в перспективе.

Еще одним важным моментом является соблюдение параллельности сторон цилиндра (если это необходимо).

3. Выдающиеся люди в истории математического изобразительного искусства

Голландский художник М.К. Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.

Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон (427-348 до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/280-212/211 до н.э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников. Они были открыты вновь лишь в эпоху Ренессанса, и описание всех 13 многогранников было впервые опубликовано в книге Иоганна Кеплера «Harmonices Mundi» в 1619 году, почти через две тысячи лет после смерти Архимеда.

Леонардо да Винчи (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели неискаженными.

Иоганн Кеплер (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге «Harmonices Mundi» (1619) он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше.

Коломан Мозер (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899-1900 гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.

Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные блоки, разделенные черными линиями.

Сальвадо Дали (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие" (1954) изображен гиперкуб, а на картине «La Visage de la Guerre» (1940) изображена фрактальная последовательность уменьшающихся гротескных лиц. Он также создал несколько эротических анаморфиных изображений.

Макс Биль (1908-1994) - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе, создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых высталены в общественных местах.

Виктор Васарели (1908-1997) - художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт (Op Art). Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.

Бенуа Мандельброт (1924-...) - математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее известный фрактальный объект. Он также изобрел термин «фрактал», полученный из латинского слова "fractus", означающий «разбитый на куски», «сломанный». О его понимании эстетического содержания фракталов говорит следующая цитата: «Может ли чистая геометрия 'человеку с улицы' показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да.» [10]

4. Общие темы в математическом искусстве

Темы, наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве, включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.

4.1 Многогранники

Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая «Рептилии» (1949), «Двойной астероид» (1949) и «Гравитация» (1952). [7]

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера.

Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком.

Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

4.2 Тесселляции

Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций.[9] Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых «День и ночь» (1938), серия картин «Предел круга», и знаменитые «Метаморфозы» (1937-1968). Примеры ниже - картины современных авторов Холлистера Девида  и Роберта Фатауэра.

Hollister David «Семь птиц». На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.

Robert Fathauer «Фрактальные рыбы - сгруппированные группы». Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

4.3 Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве.

На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.

Наиболее известные невозможные фигуры: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.

«Отцом» невозможных фигур является шведский художник Оскар Реутерсвард, который за годы своего творчества нарисовал тысячи таких фигур. Настоящую известность невозможные фигуры обрели, когда их изобразил на своих литографиях известный голландский художник Мауриц Корнелис Эшер.

Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах «Бельведер» (1958), «Восхождение и спуск» (1960) и «Водопад» (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвина Ороса.

Istvan Orosz «Перекрестки» (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Направление в изобразительном искусстве, нацеленное на изображение невозможных фигур, называется имп-арт.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре — логотип автоконцерна «Рено»

4.4 Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах «Всадники» (1946), «Лента Мебиуса II (Красные мурвьи)» (1963) и «Узлы» (1965).

Escher-Horseman 1946               Escher-Эшер-муравьи                  

Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз, использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.

4.5 Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах «Наверху и внизу» (1947), «Дом лестниц» (1951) и «Картинная галерея» (1956). Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Dick Termes «Клетка для человека» (1978). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный сформировано из двух греческих слов «ana» (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальной при обзоре под углом. Известный пример - картина Ханса Хольбейна «Послы»  (1533), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице, будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле «Рука с отражающей сферой» (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Istvan Orosz «Колодец» (1998). Картина «Колодец» полученая печаться с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулся по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани на побережье Амалфи в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии «Метаморфозы». Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

4.6 Фракталы

Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Он использовал сжимающиеся координатные сетки и гиперболическую геометрию для достижения этого эффекта, как показано в картинах «Предел круга» (1958-1960) и «Предел квадрата» (1964). Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл и Роберта Фатауэра.

Kerry Mitchell «Будда» - компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом

Robert Fathauer «Композиция кругов» (2001) - не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.

5. Заключение

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.

Математическое изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, тесселляции, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.

6.    Литература

1. А. Азевич «Двадцать уроков гармонии» –М., Школа-Пресс, 1998
2. А. В. Волошинов «Математика и искусство», -М, Просвещение, 2000.
3. Н. Васютинский «Золотая пропорция» –М.,Молодая гвардия, 1990
4. Д.  Пидоу «Геометрия и искусство» – М., Мир, 1989
5. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989
6. Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3
7. Б. В. Раушенбах «Математика и искусство» (выступление на Суздале – 96)
8. M. C. Escher - His Life and Complete Graphic Work, by F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, and F. Wierda (Harry N. Abrams, New York, 1982).
9. The Magic Mirror of M. C. Escher, by Bruno Ernst (Ballantine Books, New York, 1976).
10. 3.Visions of Symmetry - Notebooks, Periodic Drawings, and Related Works of M. C. Escher, by Doris Schattschneider (W.H. Freeman and Co., New York, 1990).
11. "Fractals and an Art for the Sake of Science," Benoit B. Madelbrot, in The Visual Mind, ed. by Michele Emmer (MIT Press, Cambridge, 1993).
12. http://mcesher.ru/back/LW327.jpg