Исследовательский проект

«Золотое сечение

вокруг нас»

Оглавление.

1. Вступление…………………………………………………….3

2. Глава1 . История  золотого сечения

              Золотое сечение в математике. …………...……………….5

3. Глава 2. Золотое сечение в искусстве…………………….….7

4. Глава 3. Золотое сечение в природе……………………..…..10

5. Глава 4. Золотое сечение вокруг нас………………….……..11

6. Глава 4. Эксперимент…………………………………………14

7. Заключение………………………………………………….....15

8. Литература……………………………………………………..15

9. Приложение  ……………………………………………..……16

Вступление.

"Геометрия обладает двумя великими

                                       сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

                                       второе - деления отрезка в крайнем и среднем

                                         отношениях. Первое сравнимо с мерой золота,

 второе же больше напоминает драгоценный камень"

                                                                       Иоганн Кеплер

         Рассматривая на уроке математики тему  «Пропорция»  учитель привел примеры золотого сечения, назвав ее «божественной пропорцией».   Увлекшись этой темой, я узнал, что «Божественной пропорцией»    золотое сечение назвал средневековый   итальянский математик Лука Пачоли, написав  книгу о золотом сечении, которую так и назвал «Божественная пропорция».  По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной.    

      Золотое сечение встречается  везде: в искусстве, природе, окружающем нас мире.  Тема интересна и современна,  она не  потерялась во времени.   И поэтому является темой моего исследования.

      В моем выборе меня поддержали родители и учитель математики. В исследовательской работе мы постарались эту тему изучить подробнее, доказать присутствие  золотого сечения в окружающем нас мире.

  Что же такое – «золотое сечение»?

Гипотеза: «Золотое сечение» - гармоническая пропорция.

Объект исследования: репродукции картин, фотографии и рисунки знаменитых    архитектурных сооружений, скульптур,   современные  строения и окружающий нас мир.

Предмет исследования: форма и строение исследуемых предметов.

Цель:  Показать, что великое открытие – ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, пройдя множество веков живо, актуально и востребовано по сей день.

Задачи работы:

1. Мы попытаемся проанализировать историю «золотого сечения».
2. Мы исследуем репродукции картин знаменитых художников, архитектурных сооружений и скульптур на предмет «золотого сечения».
3. Мы попробуем найти «золотое сечение» в природе и окружающем нас мире.    
4. Проведем   эксперимент на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения».

Новизна исследования:  раскрытие учащимся нашей школы понятия «золотого сечения» в окружающем нас мире.

Ход исследования:

1. Подобрать материалы по истории «золотого сечения»  в библиотеке и в Интернете.
2. Изучить подобранный материал.
3. Подобрать  фотографии и рисунки.
4. Найти «золотое сечение» в окружающем нас мире.
5. Провести  эксперимент и проанализировать собранный материал.
6. Сделать выводы.

Практическая значимость:

1. Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении геометрии, биологии, изобразительного искусства, истории, астрономии.
2. Использование работы при составлении стенда:  «Золотое сечение вокруг нас» в кабинете математики.

       Методы исследования:  наблюдение, измерение, анализ, эксперимент.

       Умения и навыки:   подбирать  необходимую литературу и делать выводы по собранной информации,  работать в Интернете, проводить эксперимент,  оформлять работу.

Глава1 . История  золотого сечения.  Золотое сечение в математике.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b= b : c или с : b= b : а.

Обозначаемое греческой буквой «фи» (φ), золотое сечение выражается числом

  ͌  0, 618 (обратное ему 1,618) и обладаем рядом любопытных свойств.   φ – первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях, а термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519)  

История “Золотого сечения” - это история человеческого развития мира.  

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор и его ученики  свое знание золотого сечения позаимствовали у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта   свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Античный Парфенон -  исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой.  Рассмотрим основные геометрические фигуры, в которых присутствует «золотое сечение».

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Леонардо Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Он известен,  как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а  если разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666 666; 8:5=1,6;  13:8=1,625; 21:13=1,615384…   Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно приблизиться к отношению золотого сечения.     Несмотря на то , что книга была опубликована в 1202 году числа Фибоначчи, привлекают математиков до сих пор.

Золотое сечение в математике.

Глава 2. Золотое сечение в искусстве.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

Статуя Аполлона Бельведерского          Статуя Венеры Милосской

Известно, что знаменитая скульптура создана по принципу золотого сечения. Точка С делит отрезок AD, точка В делит отрезок АС в отношении приближенно равно 1,618.

Парфенон (древнегреческая архитектура)

Древние греки Иктинас, Колликрэйтс, и Фидиас, совместно создали  Парфенон, в Афинах приблизительно в 440 г. до нашей эры.   Если  фасад Парфенона вписать в прямоугольник, то стороны прямоугольника образуют золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза.

Великая Пирамида фараона Хеопса

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого,           выбрав в качестве "главной геометрической идеи" для пирамиды Хеопса - "золотой" прямоугольный треугольник.

Застывшая музыка русских храмов

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

1: 0,618:0,6182:0,6183:0,6184:0,6185:0,6186:0,6187

Пентаграмма и «Пентагон»

Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком.      

Здание военного ведомства США имеет  форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

           Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу, что издревле людей интересовала «золотая пропорция».  Мы так же узнали, что люди давно  использовали «золотую пропорцию» на практике при строительстве различных домашних строений и храмов,  использовали при  изготовлении домашней утвари, применяли при создании механизмов, которые облегчали труд человека. В этой главе мы привели наиболее интересные, по-нашему мнению, примеры , связанные с золотым сечением.

Глава 3. Золотое сечение в природе.

          Изучив литературу, мы узнали, что у многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.  В  природе встречается «пентагональная» симметрия»:

       китайская роза             яблоко в разрезе            морская звезда         кактус

Мы узнали, что человеческое тело создано по законам золотого сечения. Оказывается, талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Ученые обнаружили, что для взрослых мужчин это отношение             

 равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев..

         Таким образом, природа  подчиняется  принципу «золотой пропорции» (строение человеческого тела, ящерицы, бабочки, листья  и цветы многих растений и т.д.).

Глава 4. Золотое сечение вокруг нас

          Мы исследовали окружающий нас мир на наличие золотого сечения. И нашли много интересных фактов, подтверждающих, что   золотое сечение живет рядом с нами.

Исследуем ученика 6 класса:

Из таблицы видно, что пропорции тела приближены к золотому сечению, но до идеальной пропорции необходимо еще расти.

Исследуем Солнечную систему

Листая справочные материалы и энциклопедии, мы обнаружили таблицы с характеристиками планет солнечной системы (приложение1). И решили   проверить солнечную систему  на содержание золотого сечения. К нашему удивлению, мы ее обнаружили. Данные приводим в таблице №2

Таблица№2.  

    Заметим, что отношение между планетами Марсом и Юпитером заметно отличается от других.  Практически в два раза.  В литературе указано, что между этими планетами находится пояс астероидов.  Меня заинтересовал этот вопрос.  Рассмотрев различные источники информации, оказалось, что немецкий физик и математик И. Тициус в 1766 году нашел числовую закономерность в расстояниях планет от Солнца. Согласно этому                   

правилу,   между орбитами Марса и Юпитера должна была существовать какая-то планета.  Считается, что древние греки называли ее  Фаэтон и ее орбита   находилась между орбитами Марса и Юпитера.    До сих пор идут споры о ее существовании.

       Мы, полагаясь на  данную таблицу (среднее арифметическое отношение расстояний планет от Солнца, включая планету Фаэтон- равно  1,6  )  -  считаем, что планета была!!!  

Глава 4. Эксперимент

В этой главе мы проводим эксперименты на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения» учениками нашей школы.

Эксперимент №1. Мы попросили испытуемых  выбрать среди 11 прямоугольников наиболее привлекательный, причем лишь два из них являются золотыми .   Данные приводим ниже в таблице №3.                                     Таблица №3

Из таблицы видно, что выбор золотого прямоугольника увеличился у старшеклассников.

Эксперимент №2.  Мы предложили ученикам 5-6 классов (всего 17 человек), побыть немного художниками и изобразить горизонт будущей своей картины.   При подсчете итогов, заметили, что линия горизонта делит на всех рисунках  в среднем    ͌   1,65.  

            Эксперименты подтвердили, что большее предпочтение отдается золотым пропорциям.                      

Заключение.

  Тема «Золотое сечение вокруг нас» интересна и современна,  она не  потерялась во времени.  Золотое сечение, действительно, можно называть «Божественной пропорцией». Оно,  не только окружает нас вокруг и распространено в Солнечной системе, но и события, происходящие с нами, тоже происходят согласно золотой пропорции.   Например, возрастные кризисы людей. В обществознании есть закон уплотнения истории – с каждым новым этапом скорость развития общества увеличивается.  Эта тема отдельной исследовательской работы.

Важным результатом изучения данной темы  является, то, что принцип золотого сечения используется везде: в искусстве, науке, природе, человеке, гармонично объединяя весь в мир в единое целое.  Накопленный материал, пригодиться в дальнейшей исследовательской работе.  Можно подробнее изучить на предмет золотого сечения здания, находящиеся  на территории Ребрихинского района. Не менее увлекательным будет для старшеклассников путешествие в мир золотого сечения в математике.

Литература.

1. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №13, 2008 г.- Издательский дом «Первое сентября» гл. ред. А.Соловейчик.
2. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./авт.сост.А.П.Савин,2004.
3.  Что мы знаем о планетах. Мн., «Народная асвета», 1977г
4. Земля / Пер. с ит. И.Горелой; - М.:ЗАО «Планета детства», 2001
5.  Лэнгдон Н, Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. с англ.-М.:Педагогика, 1987
6. Большая серия знаний. Изобразительное искусство. –М.:ООО «ТД «Издательство Мир книги», 2005.
7. Большая серия знаний.  Вселенная. –М.:ООО «ТД «Издательство Мир книги», 2005.
8. http://ru.wikipedia.org/ 
9. http://www.bashedu.ru/konkurs/tarhov/russian/stages.htm