"Заход Солнца - модель тригонометрической функции"

             Министерство образования, науки и молодёжной политики Забайкальского края

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Кыринская средняя общеобразовательная школа»

XIII региональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее-2011»

«Заход Солнца – модель тригонометрической                                        функции.»

                                                                     Выполнила:

                                                                                             Юдина Елена Викторовна

ученица 11 а класса.

                                                                                         Научный руководитель:

                                                                                   Учитель математики

                                                                                                       Грудинина Мария Михайловна.

                                                                    с. Кыра

   2010 год.

«Заход Солнца – модель тригонометрической функции.»

Автор: Юдина Елена Викторовна

Россия, Забайкальский край, с. Кыра, Кыринская средняя общеобразовательная школа, 11 класс

                                            Аннотация.

1. актуальность темы:

С 7 класса мы начали изучать функции, их свойства и графики. Однако размеры школьных учебников не позволяют показать всё многообразие связи окружающего мира с математикой, требующего применение понятия функции, объяснения процессов в природе и описания их на языке математики.

2. цель моей работы:

математическое моделирование  захода Солнца

3. я поставила перед собой следующие задачи:

1. Доказать, что заход солнца является математической функцией.

2. Построить графики исходя из наблюдаемой картины движения Солнца по небесной сфере, используя метеорологические данные календаря г. Москва за 2008 - 2009 годы и данные метеорологических служб г. Чита, с. Кыра за 2009 год.

3. Установить вид функции, пользуясь графической интерпретацией.

4. Исследовать полученную функцию, проведя аналогию со свойствами соответствующей функции.

5. Составить по графику с. Кыра формулу функции заход Солнца.

6. Определить значение изученной модели.

4. новизна работы заключается:

в приведении другого, более «повседневного» примера функции.

5. практическая значимость:

Данная работа позволит на ярком примере доступнее изучить свойства функции и может быть использована как методическая рекомендация к изучению темы по алгебре “Тригонометрические функции. Кроме того, работа позволит аналитическим методом определять время захода Солнца.

1. В качестве объекта исследования служит природный процесс, а предметом исследования являются его аналитический способ задания и свойства .
2. В работе я использовала следующие методы:

Наблюдение, сбор материала, его анализ, синтез и обобщение.

«Заход Солнца – модель тригонометрической функции.»

Автор: Юдина Елена Викторовна

Россия, Забайкальский край, с. Кыра, Кыринская средняя общеобразовательная школа, 11 класс

План исследования:

-формулирование гипотезы : “Если заход Солнца – периодическая функция, а тригонометрические функции являются периодическими, то возможно, это тригонометрическая функция sin или cos ” ;

-анализ графической интерпретации;

-составление формулы, проверка её истинности.

«Заход Солнца – модель тригонометрической функции.»

Автор: Юдина Елена Викторовна

Россия, Забайкальский край, с. Кыра, Кыринская средняя общеобразовательная школа, 11 класс

                           Научная статья(описание работы)

1. Функцией в математическом смысле является однозначное отображение одного множества (X) на другое(Y), т.е. каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент у множества Y.Существует достаточно много примеров понятия функции. Рассмотрю соответствие из повседневной жизни: каждому дню в течение года соответствует ровно один момент захода Солнца; день, когда Солнце не заходит не существует. Итак, можно утверждать, что зависимость момента захода Солнца от даты – функция.

Поскольку это повторяющийся процесс, то функция является периодической. Для описания периодических процессов служит тригонометрические функции. Предположу, что это функция синус. Задам функцию таблично, пользуясь данными календаря 2009 года (для г. Москва)

Определю среднее время захода Солнца  в качестве оси абсцисс и построю график полученного соответствия ( Приложение 1)

Полученный график есть волновая линия, соответствующая виду графика функции у=sinx.

Аналогично составлю таблицы и построю графики, пользуясь данными метеорологических служб для г. Чита и с. Кыра ( Приложение 2, Приложение 3).

Итак, полученные графики есть графики функции синус.

Проведу аналогию со свойствами функции синус:

  Таким образом, модель позволила проанализировать свойства функции синус, наполнив их практическим смыслом. Рассмотрев графики функций для с. Кыра и г. Чита, расположенных практически на одной долготе, я заметила, что график для  Читы  может быть получен из графика для. Кыры путём вертикального растяжения. Такое преобразование выполняется для функции у = аsin(x) заданием числа а больше единицы. Определю а:

- длина промежутка значений функции г. Чита – 4,25;

- длина промежутка значений функций с. Кыра – 4 часа;

- а = 4.25 /4 = 1.06.

 Предположу, что растяжение графика объясняется различной географической широтой, чем выше широта, тем больше значение коэффициента а (географическая широта с. Кыра- 49º; г. Чита- 52º 30´). Я планирую продолжить исследование по этой теме, рассмотрев промежутки значений функции у = g(t) для пунктов в областях приполярья и экватора. Итак, заход Солнца как функция имеет много общего с функцией у = аsinx.         Составлю формулу функции заход солнца для села Кыра,  пользуясь графиком у = sinx и известными преобразованиями графиков.

Выбранный мною масштаб по оси абсцисс:

1 единичный отрезок – 1 месяц, соответствует примерному значению π /6;

по оси ординат:

2 единичных отрезка  – 1 час, соответствуют единице.

Если ось ординат расположена левее первой отметке ровно на один единичный отрезок, то график функции у = g(t), может быть получен из графика функции у= sinx следующими преобразованиями:

- смещением вправо на 3.6 единичных отрезка;

- смещением вверх на 19.65 единичных отрезка ( 19,65 -среднее время захода);

- растяжением вдоль оси у в 2 раза.(т.к. а=(21.38-17.38):2=2)

Итак, g(t) = 2 sin(t-3.6) + 19,65 – функция заход солнца для села Кыра.

Проверю полученную формулу, помня о переводе единиц: единица по оси х соответствует значению π /6.

Абсолютная погрешность составляет 3,75 мин. Думаю, что погрешность связана с неотмеченными максимальными и минимальными моментами захода 22 июня и 22 декабря, что определило неточное значение коэффициента растяжения. Кроме того, погрешность может быть связана и с различным количеством дней в месяцах года.  

Продолжив работу над темой, построю график для каждого дня и уточню формулу до мин.

Выводы.

Я рассмотрела в качестве модели периодической функции заход Солнца; Предположив, что это тригонометрическая функция синус, убедилась в этом, выстроив графики для г. Москва, города Чита, села Кыра.

Проанализировав полученные графики и график функции у = sin x,  описала её свойства в сравнении с функцией синус и задала аналитически функцию заход Солнца села Кыра.

Я думаю, что рассмотренная модель достаточно конкретно и наглядно позволяет изучить одну из тригонометрических функций – функцию синус; полученная формула, с определённой степенью точности, позволяет рассчитать время захода Солнца  без метеорологической службы, что служит подтверждением слов Галилео Галилея “Великая книга Природы написана языком математики”.

Список литературы

1. Башмаков М.И.  “Алгебра и начала анализа 10-11 классы” М.1999г.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 классы »М.2008г.
3. Энциклопедия для детей «Математика» М.2002г.
4. Математический журнал для школьников “Альфа”1989г
5. Отрывные календари 2008, 2009 года.
6. Данные метеорологических наблюдений с. Кыра.
7. Интернет ресурсы http://rravel.ru; http://reddau.ru.