"Треугольник Наполеона и его четырёхугольный аналог"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Кыринская средняя общеобразовательная школа»

Конкурс научно-исследовательских работ имени В.И.Сажина

                   «Треугольник Наполеона

             и его четырёхугольный  аналог.»

                                          Выполнили:

                                                                 Бриль Николай Игоревич

                                                       ученик 11 а класса,

                                                                               Чарыков Евгений Александрович

                                                     ученик 11 б класа

                                               Руководитель:

                                                          Учитель математики

                                                                              Грудинина Мария Михайловна.

с. Кыра

2011-2012 год.

Содержание.

Введение:                                                                                                     стр1-3

- актуальность выбранной темы;

-гипотеза;

-цель;

-задачи;

-новизна и практическая значимость;

-план исследования                                                                                            

Основная часть.  

1.Исследование треугольника Наполеона                                                      

1.1.Внешний треугольник Наполеона                                                                стр4-6

1.2.Внутренний треугольник Наполеона                                                           стр6-8

2. Исследование «четырёхугольника Наполеона»                                          

2.1. «Квадрат Наполеона» для произвольного четырёхугольника                  стр8                                                                  

2.2. «Квадрат Наполеона» для трапеции                                                            стр8                    

2.3. «Квадрат Наполеона» для квадрата                                                             стр9

2.4. «Квадрат Наполеона» для  параллелограмма                                             стр10

2.4.1. «Внешний квадрат Наполеона»                                                                стр11                                    

2.4.2. «Внутренний квадрат Наполеона»                                                           стр12-15

Заключение:

-результаты;

-выводы                                                                                                               стр16

Список литературы .Приложения.                                                                   стр17                                                              

  Введение

В журнале «Математика для школьников» в разделе «Неожиданная математика» мы прочитали статью о теореме, называемой треугольником Наполеона .

Оказывается, французский император Наполеон Бонапарт весьма интересовался точными науками ( в том числе алгеброй и геометрией), и даже назначил на высокие государственные посты некоторых видных учёных того времени.

Наполеон был не только французским государственным деятелем, полководцем, императором Франции (1804 - 1814, март-июнь 1815), но и

 Членом Института Франции (так в революционные годы именовалась там Академия наук), известным незаурядным математиком.

А академиком Наполеон стал за решение нескольких довольно сложных и красивых геометрических задач, одной из которых мы и посвящаем свою работу.

Кроме того своим исследованием нам хотелось бы подчеркнуть значимость  изучения математики , которая по мысли Аристотеля: «…выявляет порядок, симметрию и определённость, -а это важнейшие виды прекрасного».

Задача Наполеона утверждает следующий неожиданный и красивый факт.

Возьмём произвольный треугольник. На всех трёх его сторонах построим правильные треугольники наружу( то есть так, чтобы они накладывались на исходный треугольник). Тогда центры этих трёх построенных треугольников сами будут вершинами правильного треугольника. Не менее интересно и то, что если все правильные треугольники  построить вовнутрь ( чтобы все они накладывались на исходный треугольник), то опять-таки их центры будут вершинами правильного треугольника.

Мы решили доказать эту задачу, пользуясь изученным координатным методом, то есть убедиться в справедливости треугольника Наполеона аналитически.

Кроме того, мы решили расширить задачу, рассмотреть ситуацию не для треугольника, но для четырёхугольника, то есть ответить на вопрос, существует ли четырёхугольный аналог задачи Наполеона.

-1-

Сформулируем аналогичную задачу: если на сторонах произвольного четырёхугольника построить во внешнюю (внутреннюю) сторону четыре квадрата, то центры этих квадратов будут вершинами квадрата?

Возможно, задача справедлива для параллелограмма, поскольку параллелограмм однозначно задаётся двумя смежными сторонами и углом между ними, так же как и треугольник.

 Цель нашей работы: исследование треугольника Наполеона и существования четырехугольника Наполеона аналитически.

Задачи:1.Изучить литературу

2. доказать т. Наполеона координатным методом

3. рассмотреть ситуацию, аналогичную задаче Наполеона для произвольного:

         - квадрата;

         - трапеции;

         - параллелограмма

   4.доказать координатным методом четырёхугольный аналог задачи Наполеона

  Новизна нашей работы заключается в рассмотрении ещё одного удивительного факта, касающегося не только треугольника, о котором говорится как о неисчерпаемой кладези интересных соотношений, но и  параллелограмма.

Практическая значимость заключается в новом примере применения координатного метода, кроме того задача может быть использована в качестве дизайнерской находки, например, на нашем пришкольном участке.  

План исследования задачи:

-Построить произвольный треугольник;

-На стороне AB построить равносторонний треугольник;

-Построить центр Q1  равностороннего треугольника;

-На стороне BC построить равносторонний треугольник;

-Построить центр Q2  равностороннего треугольника;

-На стороне AC построить равносторонний треугольник;

-Построить центр Q3  равностороннего треугольника;

-Соединить центры Q1, Q2, Q3;

-2-

-Ввести прямоугольную систему координат, так, чтобы началом системы была точка А, ось х совпала со стороной АС

-Определить координаты центров Q1, Q2, Q3

-Найти расстояния между центрами Q1, Q2, Q3

-Сравнить отрезки Q1Q2, Q2Q3, Q1Q3;

-Cделать вывод.

Аналогичен план исследования четырёхугольника Наполеона

-3-

 Основная часть

                                                                                    «Холодные числа,

внешне сухие формулы математики

 полны внутренней красоты  и жара

 сконцентрированной в них мысли»

                             А.Д. Александров.

11.Исследование треугольника Наполеона                                                      

1.1.Внешний треугольник Наполеона.

На сторонах произвольного треугольника построим правильные треугольники наружу.

Докажем, что центры построенных треугольников являются вершинами правильного треугольника.

Пусть треугольник АВС таков, что АВ=с, АС=в, ВС= а ,

Q1, Q2, Q3-центры построенных правильных треугольников на сторонах треугольника АВС.

Введём прямоугольную систему, так, чтобы началом системы была точка А, ось х совпала со стороной АС. Найдём координаты точек Q1, Q2, Q3 в заданной системе координат

Х3=АQ3 *cos30= в/√3 * cоs30,

У3=-в/√3 * sin30

Х2=в-СQ2*cos(C+30)=

В - а/ √3 * cos(C+30),

У2= а/ √3 * sin(C+30)

Х1=АQ1 *cоs(А+30)=с/√3 * cоs(А+30),

У1=АQ1 *sin(А+30)=

=с/√3 * sin(А+30)

             -4-

Итак, Q1(с/√3 * cоs(А+30); с/√3 * sin(А+30)),

Q2(В - а/ √3 * cos(C+30), а/ √3 * sin(C+30)),

Q3(= в/√3 * cоs30, -в/√3 * sin30)

Найдём длины Q1Q2, Q2Q3, Q1Q3 по формуле d=√(х2-х1)²+(у2-у1)².

Q1Q2²=(в-а/√3*cos(С+30) – с/√3*cos(А+30))² +(а/√3* sin(С+30) – с/√3*sin(А+30))²=

=в² -2ва/√3 *cos(С+30) +а²/3 *cos²(С+30) -2вс/√3 *cos(А+30) +2ас/3*cos(С+30)*cos(А+30) +с²/3*cos²(А+30) + а²/3*sin²(С+30) – 2ас/3*sin(С+30)*sin(А+30) +с²/3*sin² (А+30)=в²+а²/3 +с²/3 – 2ва/√3 *cos(С+30) – 2вс* cos(А+30) +2ас/3* (cos(С+30)*сos(А+30) – sin(С+30)*sin(А+30)).

Так как cos (С+30)=cosС*cos30 – sinC*sin30= cosC*√3/2 – sinC*1/2,

сos(А+30)=cosA*√3/2 – sinА*1/2,

cos(С+30)*cos(А+30) – sin(С+30)*sin(А+30)=cos(С+30+А+30)=cos(С+А+60)=cos(180-В+60)=cos(240-В)=cos240*cosB+sin240*sinB=-1/2cosB-√3\2sinB,

тоQ1Q2²= в²+а²/3 +с²/3 -2ва/√3*(cosC*√3/2-sinC*1\2)- 2вс/√3(cosA*√3/2 – sinА*1/2)+

+2ас/3*(-1/2cosB-√3\2sinB)= в²+а²/3 +с²/3-ва*cosC+ва/√3*sinC – вс*cosA+вс/√3*sinA –ас/3*cosB- ас/√3*sinB= в²+а²/3 +с²/3-(в²+а²-с²)/2+2S∆/√3 –(в²+с²-а²)/2+2S∆/√3-

-(а²+с²-в²)/6 -2S∆/√3=(6в²+2а²+2с²-3в²-3а²+3с²-3в²-3с²+3а²-а²-с²+в²)/6+2S∆/√3=

=в²/6+а²/6+с²/6 +2S∆/√3, где вс*сosA=(в²+с²-а²)/2 по теореме cos и ас*sin B=2*

( ас*sin B)/2=2S∆

Итак,

Q1Q2=√  в²/6+а²/6+с²/6 +2S∆/√3.

Найдём Q2Q3:

Q2Q3²=(в/√3*cos30-(в-а/√3*cos(c+30))²+(-в/√3*sin30-a/√3*sin(c+30))²=в²/3*cos²30-

2в²/√3*cos30+2ва/3*cos30*cos(c+30)+в²-2ва/√3*cos(c+30)+a²/3*cos²(c+30)+в²/3*sin30*

*sin(c+30)+a²/3*sin²(c+30)=в²/3-2в²/√3*√3/2+2ва/3*(cos30*cos(c+30)+sin30*sin(c+30)+

+в²-2ва/√3*cos(c+30)+а²/3=в²/3-в²+2ва/3*cosc+в²-2ва/√3*cos(c+30)+а²/3=в²/3+

+2ва/3*cosc- 2ва/√3*(cos c*√3/2-sin c*1/2)+а²/3= в²/3-в²+2ва/3*cosc-ва*cos c+ва/√3*sinc+а²/3=в²/3-ва/3*cosc+2S∆/√3+ а²/3=в²/3-(в²+а²-с²)/6+2S∆/√3+ а²/3=в²/6-а²/6+с²/6+2S∆/√3+ а²/3= в²/6+а²/6+с²/6+2S∆/√3.

Q2Q3=√ в²/6+а²/6+с²/6+2S∆/√3.

-5-

Найдём Q1Q3.

Q1Q3²=(в/√3*cos30-c/√3*cos(a+30))²+(-в/√3*sin30-c/√3*sin(а+30))²= в²/√3*cos²30-

-2вс/3*cos30*cos(a+30)+c²/3*cos²(a+30)+в²/3*sin²30+2вс/3*sin30*sin(а+30)+с²/3*

*sin²(A+30)=в²/3+с²/3-2вс/3*( cos30*cos(a+30)- sin30*sin(а+30)= в²/3+с²/3—2вс*cos(30+a+30)= в²/3+с²/3-2вс*cos(60+a)= в²/3+с²/3-вс/3*cosA+вс/√3*sinA=

=в²/3+с²/3-(в²+с²-а²)/6+2S∆/√3= в²/6+а²/6+с²/6+2S∆/√3.

Q1Q3=√ в²/6+а²/6+с²/6+2S∆/√3.

Мы получили равенство всех сторон ∆АВС.

1.2. «Внутренний» треугольник Наполеона.

Рассмотрим внутренний треугольник Наполеона.

На сторонах произвольного треугольника построим правильные треугольники вовнутрь( чтобы все они накладывались на исходный треугольник)

Введём систему координат аналогично «внешнему» треугольнику Наполеона.

Найдём координаты точек Q1, Q2, Q3.

х1=АQ1*cos(A-30)=c/√3*cos(A-30).

у1= c/√3*sin(A-30).

Итак,Q1(c/√3*cos(A-30), c/√3*sin(A-30)).

-6-

х2=АХ2=в-СХ2=в-СQ2*cos(c-30)=в-а/√3*сos(C-30)

y2= a/√3*sin(C-30).

Итак, Q2(в-а/√3*сos(C-30); a/√3*sin(C-30)).

х3=в/√3*cos30, у3= в/√3*sin30.

Итак, Q3(в/√3*cos30; в/√3*sin30).

Докажем, что Q1Q2=Q2Q3=Q1Q3

 Найдём Q1Q2.

Q1Q2²=( в-а/√3*сos(C-30)- c/√3*cos(A-30))²+( a/√3*sin(C-30)- c/√3*sin(A-30))²=

=в²-2в а/√3*сos(C-30) +а²/3* сos²(C-30)-2в c/√3*cos(A-30)+2а c/3*cos(С-30) сos(А-30)

+ а²/3* sin²(C-30)-2ас sin(C-30) sin(A-30))+с²/3 sin²(A-30)=в²+а²/3+с²/3-2в а/√3*

*(cosC cos30+sinCsin30)-2вс/√3(cosА cos30+sinАsin30)+2ас/3(cos(C-30) cos(А-30)-

-sin(C-30)sin(А-30)=в²+а²/3+с²/3-ва*cosC-ва/√3*sinC-вс*cosA-вс/√3*sinА+2ас/3*

*cos(C+A-60)= в²+а²/3+с²/3-(в²+а²-с²)/2- 2S∆/√3-(в²+с²-а²)/2-2S∆/√3+2ас/3*cos(120-

-В)= в²+а²/3+с²/3-(в²+а²-с²)/2- 2S∆/√3-(в²+с²-а²)/2-2S∆/√3+2ас/3*(сos120cosB+sin120sinB)= в²+а²/3+с²/3-(в²+а²-с²)/2- 2S∆/√3-(в²+с²-а²)/2-2S∆/√3+2ас/3*(-1/2cosB+√3/2sinB)= в²+а²/3+с²/3-в²/2-а²/2+с²/2-4S∆/√3-в²/2+а²/2-с²/2-

-ас/3*cosB+ac/√3*sinB=(6в²+2а²+2с²-3в²-3а²+3с²-3в²-3с²+3а²-а²-с²+в²)/6-2S∆/√3=

=(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Итак, Q1Q2=√(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Найдём Q2Q3.

Q2Q3²=( в/√3*cos30-( в-а/√3*сos(C-30)))²+( в/√3*sin30- a/√3*sin(C-30))²=

=в²/3cos²30-2в²/√3*cos30+2ва/3*cos30*cos(C-30)+в²-2 ва/√3*сos(C-30)+

+ а²/3cos²(С-30)+ в²/3*sin²30-2 ва/3*sin30*sin(C-30)+ а²/3sin²(С-30)=

=в²/3+а²/3-ва/3*cosC-2S∆/√3= в²/3+а²/3-(в²+а²-с²)/6-2S∆/√3=(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Итак, Q2Q3=√(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Найдём Q1Q3.

 Q1Q3²=( в/√3*cos30- c/√3*cos(A-30))²+( в/√3*sin30- c/√3*sin(A-30))²= в²/3*cos²30-

-2вс cos30cos(A-30)+ c²/3*cos²(A-30)+ в²/3*sin²30-2вс/3 sin30*sin(A-30)+с²/3 sin²(A-    30)= в²/3+с²/3-вс/3*( cos30cos(A-30)+ sin30*sin(A-30))=  в²/3+с²/3-вс/3*(cos(30-

-A+30)= в²/3+с²/3-вс/3*(1/2cosA+√3/2sinA)=

-7-

= в²/3+с²/3-вс/3*cosА- вc/√3*sinА= в²/3+с²/3-(в²+с²-а²)/6-2S∆/√3=(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Итак, Q1Q3=√(в²+а²+с²)/6-2S∆/√3.

Мы доказали равенство всех сторон «внутреннего» треугольника Q1Q2Q3.

Мы убедились в справедливости задачи Наполеона, доказав её координатным методом.

2. Исследование «четырёхугольника Наполеона»

2.1Рассмотрим ситуацию для произвольного четырёхугольника.

Пусть три стороны четырёхугольника равны между собой. Такой случай является явным контрпримером и не требует доказательства.

2.2. «Квадрат Наполеона» для трапеции .Рисунок указывает на ситуацию, аналогичную предыдущей и не требует доказательства.

-8-

2.3. «Квадрат Наполеона» для  квадрата.Задача для квадратов, построенных на сторонах квадрата очевидна и не требует доказательства, но позволяет предположить возможность решения и для параллелограмма, поскольку

квадрат является параллелограммом, а ещё и потому, что параллелограмм задаётся двумя сторонами и углом между ними, также как и треугольник.

Итак, возможно «квадрат» Наполеона существует

-9-

2.4. «Квадрат Наполеона» для параллелограмма.

2.4.1. «Внешний квадрат Наполеона»

На сторонах произвольного параллелограмма построим внешние квадраты

 Найдём координаты центровQ1, Q2, Q3, Q4.                                                    Х1=-Q1А*cos(180-45-A)=

=-а/√2*cos(135-А)

У1=а/√2*sin(135-А)

Q1(-а/√2*cos(135-А);а/√2*sin(135-А))

Х2=а*cosА+в/2,

у2=а*sinА+в/2

Q2(а*cosА+в/2, а*sinА+в/2)

Найдём  Q1Q2

Q1Q22=((a*cosA+b/2)+a/√2cos(135-A))2+(a*sinA+b/2)-a/√2sin(135-A)2=

a2*cos2A+a*b*cosA+b2/4+2a2/√2*cosA*cos(135-A)+ba/√2cos(135-A)+a2/2cos2(135-A)+

+a2*sin2A+ab*sinA+b2/4-2a2/√2*sinA*sin(135-A)-ba/√2*sin(135-a)+a2/2sin2(135-A)

=a2+a2/2+abcosA+b2/4+2a2/√2*cos135+ba/√2*cos(135-A)+ab*sinA+b2/4-ba/√2*sin(135-A)=a2+a2/2+b2/2+ab*cosA-a2+ba/√2*(-√2/2*cosA+√2/2*sinA)+ab*sinA-ba/√2(√2/2*cosA+√2/2*sinA)=a2/2+b2/2+ab*cosA-ba/2*cosA+ba/2*sinA+ab*sinA-ba/2*cosA-ba/2*sinA=a2/2+b2/2+ab*sinA=

=a2/2+b2/2+2S∆=a2/2+b2/2+Sпар

-10-

Найдём  Q2Q3

Q2Q32=((b+a/√2cos(A-45))-(a*cosA+b/2))2+(a/√2*sin(A-45)-(a*sinA+b/2))2=b2+2ba/√2*cos(A-45)+a2/2*cos2(A-45)-2b*a*cosA-2b2/2-2a2/√2*cos(A-45)*cosA-2a/√2*cos(A-45)*b/2+a2*cos2A+ab*cosA+b2/4+a2/2*sin2(A-45)-2a2/√2*sin(A-45)*sinA—ab/√2*sin(A-45)+a2*sin2A+ab*sinA+b2/4=a2/2+a2+b2+b2/2+2ba/√2(cosA*√2/2+sinA*√2/2)-2ba*cosA-b2-2a2/√2(cos45)-ab/√2*(cosA*√2/2+sinA*√2/2)+ab*cosA-ab/√2(sinA√2/2-cosA*√2/2)+ab*sinA=a2/2+a2+b2/2+ba*cosA+ba*sinA-2ba*cosA-a2-ab/2*cosA-ab/2*sinA+ab*cosA-ab/2*sinA+ab/2*cosA+ab*sinA=a2/2+b2/2+ab*sinA=a2/2+b2/2+2S∆=a2/2+b2/2+Sпар

Найдём  Q3Q4 

 Q3Q42= (b/2– (b+а/√2*cos(A-45))2 + (-b/2-а/√2*sin(A-45))2 = b2/4– b2– аb/√2*cos(A-45)+ b2+2bа/√2*cos(A-45)+а2/2*cos2(A– 45)+b2/4+аb/√2*sin (A-45)+а2/2*sin2(A-45)=b2/4+а2/2+ b2/4+bа/√2*cos(A-45) +bа/√2*sin(A–45)=

=b2/2+а2/2+bа/√2(cosA*√2/2+sinA*√2/2)+bа/√2(sinA*√2/2– cosA*√2/2) =b2/2+а2/2+bа/2*cosA+bа/2*sinA+bа/2*sinA– bа/2*cosA =                                                          

=b2/2+а2/2+2S∆ или b2/2+а2/2+ Sпар-ма .

Найдём  Q1Q4

Q1Q42= (b/2+а/√2*cos(135–A))2 + (– b/2– а/√2*sin(135–A))2=              

=b2/4+bа/√2*cos(135–A)+ a2/2*cos2(135–A)+b2/4+bа/√2*sin(135–A)+

+ a2/2*sin 2(135–A) =b2/4+a2/2+bа/√2(-√2/2*cosA+√2/2*sinA)+ b2/4+

+bа/√2(√2/2*cosA+√2/2*sinA) =b2/2+a2/2– bа/2*cosA+bа/2*sinA+

+bа/2*cosA+bа/2*sinA =b2/2+a2/2+ ba*sinA =b2/2+a2/2+Sпар-ма .

Мы получили равенство всех сторон четырехугольника Q1Q2Q3Q4 .

-11-

2.4.2. «Внутренний квадрат Наполеона»

X1=√2/2*a *cos(A-45)

Y1=√2/2*a* sin(A-45)

Q1(√2/2*a *cos(A-45);√2/2*a* sin(A-45))

На сторонах параллелограмма построим внутренние квадраты и определим координаты их центров: X2=acosA+b/2

Y2=asinA-b/2

Q2(acosA+b/2;asinA-b/2)

-12-

X3=b-√2/2*a *cos(135-A)

Y3=√2/2*a* sin(135-A)

Q3(b-√2/2*a *cos(135-A); √2/2*a* sin(135-A))

X4=b/2

Y4=b/2

Q4(b/2;b/2)

-13-

Найдём расстояния между центрами внутренних квадратов, используя формулу d=√(х2-х1)²+(у2-у1)².

Q1Q2²=( а*cosА+в/2- √2/2а*cos(А-45))²+( а*sinА-в/2- √2/2а*sin(А-45))²=а²cos²A+abcosA+b²/4-2(acosA√2/2а*cos(А-45)+b/2√2/2а*cos(А-45))+1/2a²cos²(A-45)+a²sin²A-absinA+b²/4-2asinA√2/2а*sin(А-45)+b/2√2а*sin(А-45)+1/2 a²sin²(A-45)= =(а²cos²A+ a²sin²A)+( 1/2a²cos²(A-45)+ 1/2 a²sin²(A-45))-2(acosA√2/2а*cos(А-45)+ asinA√2/2а*sin(А-45))+ b²/4+ b²/4+ abcosA –2 b/2√2/2а*cos(А-45)+ b/2√2а*sin(А-45)- absinA=a²+1/2a²-a²+b²/2+ abcosA- absinA–2 b/2√2/2а*cos(А-45)+ b/2√2а*sin(А-45)=a²/2+b²/2-absinA.

Итак, Q1Q2²=b²/2+a²/2-absinA.

Q2Q3²=(в- √2/2*а*cos(135-A)-( а*cosА+в/2))²+ (√2/2*a sin(135-A)- (а*sinА-в/2))²=

=(в- √2/2*а*cos(135-A)²-2((в- √2/2*а*cos(135-A))( а*cosА+в/2))+ (а*cosА+в/2)²+a²/2*sin²(135-A)-√2*a sin(135-A)* (а*sinА-в/2)+ (а*sinА-в/2)²=b²-√2аb*cos(135-A)+a²/2*cos²(135-A)-2abcosA-b²+√2*а²cos(135-A)cosA+√2/2*а*cos(135-A)*b+a²cos²A+abcosA+b²/4+a²/2*sin²(135-A)- √2*a² sin(135-A)sinA+√2/2*ab sin(135-A)+a²sin²A-absinA+b²/4=b²/2+a²+a²/2+√2*a² cos135-√2/2*abcos(135-A)+ √2/2*ab sin(135-A)-abcosA-absinA=b²/2+a²/2-absinA.

Итак, Q2Q3²= b²/2+a²/2-absinA.

Q3Q4²=(b/2-(в- √2/2*а*cos(135-A))²+(b/2- √2/2*a sin(135-A))²= (b/2-(в- √2/2*а*cos(135-A))²+2((b/2-(в- √2/2*а*cos(135-A))(b/2- √2/2*a sin(135-A))+ (b/2- √2/2*a sin(135-A))²=a²/2*cos²(135-A)- √2/2*аbcos(135-A)+b²/4+b²/4-√2/2*ab sin(135-A)+a²/2sin²(135-A)=a²/2+b²/2-absinA.

Итак, Q3Q4²= a²/2+b²/2-absinA.

Q1Q4²=(b/2- √2/2а*cos(А-45))²+(b/2- √2/2а*sin(А-45))²= (b/2- √2/2а*cos(А-45))²+2* (b/2- √2/2а*cos(А-45))(b/2- √2/2а*sin(А-45))+ (b/2- √2/2а*sin(А-45))²= b²/4-√2/2аb*cos(А-45)+a²/2*cos²(A-45)+b²/4-√2/2аb*sin(А-45)+a²/2sim²(A-45)=

=b²/2+a²/2-√2/2аb(cos(A-45)+sin(А-45))= b²/2+a²/2-absinA.

Итак, Q1Q4²= b²/2+a²/2-absinA.

-14-

Мы получили равенство всех четырёх сторон внутреннего четырёхугольникаQ1Q2Q3Q4.

Таким образом, можно утверждать , что четырехугольный аналог

задачи Наполеона существует .

«Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли»

                             А.Д. Александров.

-15-

                                                                Заключение.

1. Пользуясь изученным координатным методом, мы доказали задачу Наполеона, то есть убедились в справедливости треугольника Наполеона аналитически.

1. Кроме того,  расширив задачу, мы доказали существование  четырёхугольного аналога задачи Наполеона тем же координатным методом

1.  Треугольник Наполеона –уникальная фигура, так как исходный треугольник может быть произвольным, а чтобы получить «квадрат Наполеона» нужно строить квадраты на сторонах параллелограмма, а не произвольного четырёхугольника

2.   Треугольник Наполеона- красивая геометрическая задача, которая не только украшает серьёзный предмет математику, но и может послужить дизайнерской находкой, например для цветника на нашем пришкольном участке. Такие красивые звёзды – « звёзды  Наполеона» мы предлагаем разбить на нашем пришкольном участке в этом году.

-16-

Литература.

1.Журнал «Математика для школьника»№2/ 2009.

2. «Я познаю мир» Детская энциклопедия: Математика под редакцией О.Г. Хинн

М: АСТ, 1997г.

3.Атанасян Л.С. «Геометрия 10-11 кл»

Приложение.

1Дубровский В. Динамическая геометрия с «Математическим конструктором»

 «Модель К8 -  теорема Наполеона».

2.Презентация.

-17-