Софизмы

Введение.

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?

В отличие от непроизвольной логической ошибки — паралогизма,являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм — это преднамеренное, но тщательно замаскированное нарушение требований логики.

Вот примеры довольно простых древних софизмов. «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего». «Лекарство, принимаемое больным, есть добро; чем больше делать добра, тем лучше; значит, лекарство нужно принимать в больших дозах».

Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Очень часто софизмы ставят в неявной форме проблему доказательства. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.

Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.

Глава 1. «Понятие софизма. Исторические сведения»

Понятие софизма:

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле,  софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Историческая справка.

1. Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.

Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме  того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.

Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это- двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.

Аристотель называл софистику не действительной, а кажущейся, мнимой мудростью. Софистика произрастает на искаженном понимании подвижности вещей, используя гибкость отражающих мир понятий.

  Вот один из древних ее образчиков.
- Знаешь ли ты, о чем я хочу тебя спросить?
- Нет.
- Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
- Знаю.
- Вот об этом я и хотел тебя спросить.

Софизм обескураживает: дескать, возможны положения, когда человек не знает того, что он хорошо знает. С другой стороны - хорошо было в древности! Все знали, что добродетель есть добро, и не сомневались в этом.

Некий Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что плату за обучение он внесет, когда, после окончания обучения, выиграет свой первый процесс. Но окончив обучение, Эватл и не думал браться за ведение процессов. Вместе с тем считал себя свободным и от уплаты денег за учебу. Тогда Протагор пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл будет платить. Если судьи присудят к уплате, то по их приговору, если же не присудят, то в силу договора. Ведь тогда Эватл выиграет свой первый процесс. Но Эватл был хорошим учеником. Он возразил, что при любом исходе дела он платить не станет. Если присудят к уплате, то процесс будет проигран и согласно договору между ними он не заплатит. Если не присудят, то платить не надо уже в силу приговора суда. Чем кончился спор, история умалчивает.

А вот софизм - песенка английских студентов.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

Широко известный российский анекдот является прямым переложением этой песенки на национальную специфику.

Чем больше я пью, тем сильнее у меня дрожат руки.
Чем сильнее у меня дрожат руки, тем больше я проливаю.
Чем больше я проливаю, тем меньше я пью.
Таким образом, чем больше я пью, тем меньше я пью.

Это уже не просто софизм, а прямой парадокс.

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются. Проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.

"Когда опыт кончается неудачей, начинается открытие" - так сказал известный немецкий изобретатель XIX века Р. Дизель, которому человечество обязано высокоэкономичными двигателями внутреннего сгорания. А он-то был, без сомнения, знатоком своего дела. И обязательно - педантом. Потому что только педант мог полтора десятка лет усовершенствовать свой двигатель, первый экземпляр которого сделал всего семь оборотов. Не семь оборотов в секунду, а семь оборотов за все время своей эксплуатации.

Зато теперь, как мне кажется, общее число оборотов всех дизельных двигателей на Земле приближается к числу атомов во вселенной. А число софизмов и парадоксов остается почти тем же самым, что и в древние времена. Наверное, потому, что трудолюбивых Дизелей в истории человечества было все-таки значительно больше, чем хитроумных Протагоров, скупых Эватлов и клевещущих Эпименидов. И это обнадеживает.

Вот несколько интересных логических софизмов:

Начнем анализ софизма Рогоносца: 1) то, что ты не терял, у тебя есть; 2) ты не терял рогов; 3) следовательно, у тебя есть рога. Парадоксально! И эффектно, не правда ли? Однако после некоторого умственного напряжения становится ясно, что парадоксальность вывода в этом софизме происходит из-за 1-ой его посылки, которая представляет из себя неудачную попытку определения отношения “иметь”: если А не терял Б, то А имеет Б. Неочевидная ошибочность этого определения следует из его необратимости, то есть очевидной ошибочности его обращения: неверно, что если А имеет Б, то А не терял Б, так как чтобы что-то потерять, нужно сначала иметь это. Следовательно, правильная формулировка выглядит так: если А имел Б и А не имеет Б, то А потерял Б. На правильность этой формулировки указывает и ее обратимость. Если теперь из отрицания обращения этой посылки (если А не терял Б, то А имел Б и А имеет Б) исключить 1-ую часть правой части (А имел Б), то получится неправильная 1-ая посылка софизма Рогоносца. Более корректно она выглядела бы так: в некоторых случаях если А не терял Б, то А имеет Б (а именно в тех случаях, когда еще и А имел Б). “В некоторых случаях” и “в любом случае” - это, как нетрудно видеть, кванторы. Таким образом, кванторы имеют значение также и в высказываниях об отношениях, они вездесущи. Но вездесуще также и стремление опускать их, которое при некоторых дополнительных обстоятельствах порождает то ли умышленно, то ли нечаянно разнообразные то ли софизмы, то ли паралогизмы.

Посмотрим теперь, что добавит к нашим знаниям о природе софизмов анализ софизма о сидящем. Вот этот софизм: 1) сидящий встал; 2) кто встал, тот стоит; 3) следовательно, сидящий стоит. На первый взгляд замечаний к этому силлогизму (с точки зрения его внутреннего строения) нет и не предвидится. Очевидно только замечание к выводу силлгизма: “сидящий стоит” эквивалентно высказыванию “тот, кто сидит, стоит” или “А сидит и А стоит”. Точно так же 1-ая посылка “сидящий встал” преобразуется в “тот, кто сидит, встал” или “А сидит и А встал”. Итак, получается, что ошибка содержится в 1-ой посылке силлогизма, так как “А сидит” и “ А встал” не могут быть одновременно истинными. Правильно было бы “сидевший встал”. Именно в этом случае получаемый в результате вывод не вызывает замечаний: “сидевший стоит”. Следовательно, в данном софизме-паралогизме незаметное возникновение ошибочной посылки происходит из-за потери контроля за категорией времени причастия: как только сидящий встал, его больше уже нельзя называть сидящим, так как он при этом немедленно превращается в сидевшего. Но поскольку такая потеря контроля, по-видимому, естественна для естественного языка (как и потеря контроля за употреблением кванторов), то она и проходит, как правило, незамеченной не только для приемников, но и для источников высказывания.

Разобранный выше софизм о сидящем подсказал автору идею софизма о малом: 1) малый вырос; 2) кто вырос, тот большой; 3) следовательно, малый - большой. Нельзя не согласиться с тем, что этот софизм, хоть и обладает юмористическими свойствами, все же дает новые знания о софизмах. Парадоксальный вывод здесь получается не только вследствие потери контроля над формой времени отношения “расти”, но и вследствие потери контроля над взаимосвязью содержаний понятий “малый” и “расти”, которая состоит в том, что отношение “расти” определяется как превращение из малого в большое. Аналогичная связь между содержаниями понятий (“сидеть”, “вставать” и “стоять”) прослеживается и в предыдущем софизме - о сидящем.

2.   Глава 2. «Математические софизмы»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами. В 2003 году в издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в которой более восьмидесяти математических софизмов, по крупицам собранным из различных источников. Цитата из книги: “Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто; иной раз она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.”

Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе:

1. на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
2. в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);
3. при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
4. на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
5. при написании реферативных и исследовательских работ.

Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

При разборе МС выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в МС:

1. деление на 0;
2. неправильные выводы из равенства дробей;
3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
4. нарушения правил действия с именованными величинами;
5. путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
7. неравносильный переход от одного неравенства к другому;
8. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
9. ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Цели применения МС на уроках математики могут быть самыми разнообразными:

1. изучение исторического аспекта темы;
2. создание проблемной ситуации при объяснении нового материала;
3. проверка уровня усвоения изученного материала;
4. для занимательного повторения и закрепления изученного материала.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

  Алгебраические софизмы.

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений:   х+2у=6,     (1)

                                                           у=4- х/2    (2)

подстановкой у из 2го ур-я в 1 по-

лучаем х+8-х=6, откуда 8=6

где ошибка??

Уравнение (2) можно записать как  х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

       Х+2у=6,

       Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.

Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. «Дважды два равно пяти».

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Где ошибка??

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

3. «Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                      а        -а

                     -с         с

Они равны, так как каждое из них равно – (а/с). Можно составить пропорцию:

                    а            -а

                   -с              с

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

Где ошибка??

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

   Геометрические софизмы.

1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка??

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .

Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Где ошибка??

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. «Катет равен гипотенузе»

Угол С равен 90о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

Где ошибка??

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Вот одни из самых интересных и занимательных софизмов:

1. “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому

АВ=СЕ

т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

Разбор софизма.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. “Окружность имеет два центра”

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла . Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку пересечения буквой F.

Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О19 делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

Разбор софизма.

Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и, обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.

Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник BEFD. У этого четырехугольника сумма двух его противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно известному в геометрии утверждению вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у окружности окажется, как и должно быть, один центр.

Арифметические софизмы.

1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что                                                                  А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Где ошибка??

Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).

Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А

1. «Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

                                             1 р.=100 коп,  (1)

                                             10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                                             10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                                              1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка??

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

                               2                                2

                       10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает

                               2                                    2

                        1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А>-В и В>-В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что  

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В>-А и А>-А,           (3)

Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

Где ошибка??

Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>-В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.

3. «Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения..

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка??

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

  Заключение.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам (и парадоксам) можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.

Список литературы.

1. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера  «Математические софизмы»

Москва, «Просвещение», 2003 г.

2. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»

Москва, «Просвещение», 1988 г.

3. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.»
4. www.tmn.fio.ru/works/60x/306/06_2.htm
5. www.referats.net
6. www.ug.ru
7. Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960; Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К., Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.
8. www.referat.ru
9. http://www.lebed.com/2002/art2896.htm
10. http://fio.novgorod.ru/projects/Project1454/logich_sof.htm