Спирали в математике и окружающем мире

V районная научно-практическая конференция

«Спирали в математике и окружающем мире»

                                                                          Автор: Ковалева Ирина,

                                               11класс,

                                                                                  МОУ «Родниковская СОШ»

                                                         Руководитель:

        Клетченко Улбала Жиентаевна

                                                                   учитель математики,

                                                                 высшая категория,

                                                                                  МОУ «Родниковская  СОШ»

п. Родники

2009 г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

1. Спирали в математике……………………………………………………...4 - 6

2. Спирали в окружающем мире……………………………………………..7 - 9

3. Заключение………………………………………………………………….10

4.Литература…………………………………………………………………...11

5.Приложение………………………………………………………………….12 - 15

Введение

Я – Ковалёва Ирина, учусь в одиннадцатом. Однажды учитель математики  предложил мне и моим одноклассникам порассуждать о единстве  мира природы и математики. В ходе дискуссии очень часто высказывалась мысль о том, что  «природа стремится к спирали».  На интегрированном занятии-семинаре я и, думаю, все присутствующие,  глубже  познали истину утверждения Гёте, что спираль   является  «кривой жизни» (приложение 1). Меня заинтересовала эта  тема, и я решила более подробно изучить спирали и их проявления в природе.

Актуальность:

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так: "Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать её». Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях.

 Цель исследования:

 Анализ видов спиралей, известных в математике, а также в рассмотрении биологических объектов, имеющих вид спирали.

 В соответствии с поставленной целью были определены следующие задачи:

1.  изучение  литературы;
2. анализ Интернет-ресурсов, посвящённых  спиральным кривым в математике;
3. рассмотрение природных объектов, имеющих вид спирали.

1.Спирали в математике

  СПИРАЛЬ (франц. spirale, от лат. spira - виток) - плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной  (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от неё.

Понятие о спиралях и вихрях возникло в науке очень давно. С вихрями, как и с волнами, мы хорошо знакомы. Каждый видел вихри, оставляемые веслами, кольца табачного дыма или спиральную структуру, образованную вращением ложки в стакане с чаем.

Виды криволинейных спиралей [3]:

В своей работе я хочу более подробно остановиться на Архимедовой и логарифмической спиралях.

Хорошо известна Архимедова спираль — плоская кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек.

Наглядно представить спираль Архимеда можно следующим образом: представим, что по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муха. Траектория движения мухи будет спиралью Архимеда. Свойства ее великий древнегреческий ученый описал в 3 веке до нашей эры.    

Изучение вихрей и анализ их свойств побудили знаменитого ученого Рене Декарта положить вихревое движение в основу всего наблюдаемого мира. В 1632 году он открыл так называемую логарифмическую спираль. При определенных значениях параметра логарифмическая спираль графически мало отличима от спирали Архимеда. Возникающие в конкретных эмпирических ситуациях споры относительно предпочтения той или иной спирали отражают, очевидно, методический подход исследователей к изучаемому явлению или объекту. Если исследователь предпочитает простоту вычислительных операций, то при описании конфигураций, близких к окружности, он выберет уравнение спирали Архимеда; если же он желает познать процесс формообразования, рассмотреть изменение формы объекта в его динамике, развитии, то в аналогичной ситуации следует предпочесть логарифмическую спираль.

   В отличие от спирали Архимеда,  логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движет ся вдоль равномерно вращающейся прямой, удаля ясь от полюса или приближаясь к нему со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. В лога рифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой (как это имеет место в спирали Архимеда), а логарифм это го расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом. Поэтому она иногда называется  «равноугольной спи ралью». Наглядный пример — раковина улитки и других моллюсков( Приложение 19).

           Якоб Бернулли описал свойства логарифмической спирали, и был так поражен ее красотой, что впоследствии велел выгравировать на своем надгробном камне слова: “Измененная, я воскресаю той же самой”, а также логарифмическую спираль. Но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили Архимедову спираль (приложение 18). Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований. При определенных значениях параметра логарифмическая спираль графически мало отличима от спирали Архимеда .

Спираль Фибоначчи и золотая спираль -  частные случаи логарифмической спирали. Можно представить числа Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д.)  в виде квадратов и нарисовать особым образом спираль, соединяя противоположные углы квадратов по диагонали. Это спираль Фибоначчи.

Спираль Фибоначчи построена с использованием шести равных квадратов, тогда как спираль золотого сечения не начинается, а продолжается бесконечно. Нижняя часть спирали Фибоначчи занимает зону, равную половине верхней зоны; спираль золотого сечения внизу занимает зону размером в 0,618 от верхней.

Спираль Фибоначчи  столь быстро приближается к золотой спирали, что с трудом можно заметить разницу.

Золотая спираль не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу.

II.Спирали в окружающем мире

        Изучив литературу и информацию из Интернета, я убедилась в том, что воздушные вихри  и смерчи, водовороты, внешняя форма раковины улитки, воронка, образующаяся при спуске воды в отверстие ванной - все это спиральные пространственные структуры. Форму спирали имеют как бесконечно большие объекты (в частности многие галактики), так и малые.

Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Самый очевидный пример – раковина (приложение 2). Если ее спираль развернуть, то получится длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Кроме того, бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов, и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны (виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали.

Добавим, что спираль определяется также в строении шишек сосны (приложение 3), расположении семян подсолнечника, кактусах, ананасах (приложение 4), расположение листьев на ветке  строении лепестков  роз, спиралью закручивается ураган, испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

Существование самого человека в основе своей обусловлено спиралью.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей (приложение 5). К тому же, во внутреннем ухе человеке имеется орган, именуемый «улиткой», исполняющий функцию передачи звуковой вибрации (приложение 6). Эта костевидная структура сотворена в форме улитки, содержащей в себе стабильную логарифмическую форму спирали.

Рассмотрим такие трёхмерные геометрические фигуры, как  тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Повторим ещё раз, что закон спирали является одним из основных в природе. Береговой контур, а также ландшафтная схема Антарктиды ясно указывают на существование двух спиральных ветвей, продолжением одной из которых является Южная и Северная Америка и, по-видимому, Африка, и Европа; продолжение другой составляют Австралия, Индия и Азия.

Аналогичное планетарное явление просматривается на Марсе, где чётко видна спиралевидная структура полярной шапки льдов.

Величайшие из всех спиралевидных образований в природе – спиралевидные галактики, диаметры которых измеряются тысячами световых лет (приложение 7).

Современные теории спиральной структуры галактик объясняют яркие спиральные ветви как области активного звездообразования. Так находит ещё одно подтверждение высказывание Гёте о том, что спираль – это «кривая жизни», так как мы нашли ещё одно доказательство тому, что в спиралевидной  форме заключён потенциал величайшего – Жизни.

В северной части Млечного пути, нашей Галактики, выявлено было в конце XX века 3 отрезка околосолнечных спиральных ветвей: ветви Стрельца, Местной ветви и ветви Персея.

Часто диалектику всего сущего, то есть постоянное изменение Вселенной в результате взаимодействия её составляющих, иллюстрируют с помощью вертикально расположенной пружины (спираль(!)), по которой ползёт божья коровка. Каждый пройденный ею уровень поднимает коровку вверх, однако, каждый новый уровень является, словно проекцией предыдущего, ведь настоящее и будущее нельзя представить вне связи с прошлым.

Предпосылка развития всего живого и самой Вселенной – спираль.

Спирали в природе замечают не только математики, но и художники. В искусстве спираль – не редкое явление. Мы встречаем ее в композиции музыкальных и литературных произведений. Многие архитектурные стили используют эту форму. Многие сооружения похожи на спирали (различные стадионы, Пизанская башня, Останкинская башня и т.д.) (приложение 8). При проектировании зданий такая модель является одной из наиболее надежных. Зачастую в танцах используются спиральные движения. В изобразительном искусстве спиральные узоры привлекают своей глубиной и эстетикой.

Чувство значимости спирали в жизни человека, по-видимому, издавна понимали люди. Они изображали ее в своих украшениях, орнаментах (приложение 9). Явно неравнодушными к спирали были древние греки, включавшие ее в капители ионических колонн. Библейская Вавилонская башня строилась на основе пространственной спирали (ее проекция на плоскость представляла собой спираль), посредством ее люди намеревались добраться до Бога на небесах.
          В практике традиционной архитектуры спираль возникает не часто, но оставляет значительный след или фиксирует определенные этапы развития архитектуры. Известны, например, спиралевидная мечеть в Самаре (Ирак, IX в.). В конце XIX в. английский градостроитель Теодор Фрич спроектировал город, развивающийся по спирали. По идее Фрича, спираль дает возможность свободно развиваться городу, одновременно сохраняя компактность и торможение темпов удаления периферии от центра города, что имело большое значение в условиях быстрого развития индустриальных городов. Аналогичный проект города Ауервилль был реализован в 70-е г.г. XX в. в Индии. Ясное выражение принцип спирали нашел в работе художника конструктивиста В. Е. Татлина - модели памятника III Интернационала, выполненного в 1919-1920 гг., а также в вариантах более поздних лет. Прежде всего, спиральная башня поражает динамизмом своего наклона, в котором заложена определенная идея - ось башни параллельна земной оси. Ее высота 400 метров - это 1 / 100000 земного меридиана. Таким образом, с самого начала она была задумана как часть "архитектуры" Земли. В этом ее большой жизненный смысл - она символизирует общность людей всей Земли.
          На знаменитой картине Ивана Шишкина  «Корабельная роща» (приложение 10) просматриваются  мотивы Золотого сечения. Ярко освещенная  солнцем сосна (стоящая на первом плане)  делит картину Золотым сечением по  горизонтали.  Справа от сосны – освещенный солнцем  пригорок. Он  делит картину Золотым  сечением по вертикали. Слева от главной  сосны находится много сосен – можно  продолжить деление Золотым сечением по  горизонтали левой части картины.  Наличие в  картине ярких вертикалей и горизонталей,  делящих ее в отношении Золотого сечения,  придает ей характер уравновешенности и  спокойствия (приложение 11). Рафаэль"Избиение младенцев" (приложение 12).На подготовительном эскизе  Рафаэля проведены красные  линии, идущие от смыслового  центра композиции - точки, где  пальцы воина сомкнулись  вокруг лодыжки ребенка, -  вдоль фигур ребенка,  женщины, прижимающей его к  себе, воина с занесенным мечом  и затем  вдоль фигур такой же  группы в правой части эскиза.  Если естественным образом  соединить эти куски кривой  пунктиром, то с очень большой  точностью получается золотая  спираль!

 «Кривую жизни» в своей работе изобразила молодая московская художница Сполохова Ольга. Её картина называется «Виток спирали» (приложение 13).

Предметы в виде спирали можно встретить повсюду:

1. записи на грампластинку производятся по спирали (приложение 14);
2. многие парикмахеры используют при создании своих шедевров спирали (приложение 15);
3. ювелиры создают украшения в виде спирали (приложение 16);
4. Вращающиеся ножи  в мясорубке, винт самолёта имеют форму спирали (приложение 17).
5. Стружка от карандаша закручивается в спираль (Приложение 23)
6. Рога горного барана закручены по спирали (приложение 22)
7. Все цветы распускаются по спирали (приложение 24)
8. Волны раскручиваются по спирали (приложение 25)
9. Оригинально оформить блюдо можно в виде спирали (приложение 26)

III  Заключение

Знакомство с различными видами спиральных кривых и анализ природных объектов позволяют прийти к выводу, что законы природы часто описываются уравнениями спирали. Всё в мире находится в тесной взаимосвязи и взаимозависимости, ибо он – единое целое. Знания, полученные в ходе  проведения данного исследования, помогут мне  видеть и понимать окружающий мир в единстве, ориентироваться в нём вне зависимости от того, какую профессию я выберу.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Азевич А.И Двадцать  уроков гармонии.М., Школа-экспресс,1998
2. Беляков «Учительская газета». 2007.
3. Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.
4. Моркушевич А.И. Замечательные кривые,2 изд.М.-Л.,1952.