Модуль и его приложения

Екатеринославская муниципальная общеобразовательная

 «Средняя общеобразовательная школа №2 с.Екатеринославка».

Методическое пособие

Модуль и его приложения

Выполнили:

Молочева А., ученица 10 класса,

Рыльченко Ю., ученица 10  класса

Руководитель:

Легенчук О.И..

2010 г.

Содержание информационного проекта  «Модуль и его приложения» позволит интересующимся изучением  математики получить определённый набор теоретических сведений по теме, познакомиться со способами решения некоторых задач, содержащих модули, заняться отработкой способов решения, используя    тренировочные упражнения.

        Материал проекта выходит за рамки школьной программы общеобразовательной школы  и может оказаться полезным всем учащимся, стремящимся совершенствовать свои знания в образовательной области  «математика».

Раздел 1.

 Теоретический материал.

1. Определение модуля.

Модулем числа а называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно.

 ‌ ‌‌│а │= .

Например:

 | 4 |= 4;      | -4 | = -(-4) = 4, так как -4< 0;     | 0 | = 0;    │π -2 │= π – 2, так как  π – 2 > 0.

      Геометрически ‌‌│а │ - расстояние от точки О до точки, изображающей число а;

│а - в│         - расстояние между точками а и в.

2. Свойства модуля.

1. │ а│  0.

2. │ав│=│а││в│
3. │а│2 = а2.
4. │а│=│-а│.
5. ,  в ≠ 0.
6. │а│ ≥ а.
7. Если │а│= │в│, то а = в  или  а = -в.

8. │а + в│≤│а│+│в│.

9. │а + в│=│а│+│в│ тогда и только тогда, когда ав ≥ 0.

10. │а│+│в│ = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

11. │а - в│ = │а│+│в│ тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

12. │а│-│в│≥0 тогда и только тогда, когда а2 – в2 ≥ 0.

       13.   = │а│.

3. Геометрическая интерпретация модуля.

1. Равенство   │х │ = а  задаёт на оси  ОХ пару точек, расположенных на  расстоянии а от точки  О(0).  

Пример.

│х │= 5 задаёт пару точек, изображённых на рисунке:

2. Равенство  |х – а | = г задаёт  на оси ох пару точек, расположенных  на расстоянии г от точки а, т е точки х=а-г  и  х=а+г.

Пример:

 Равенство вида │х - 2│= 3 задаёт пару точек, расположенных на расстоянии трёх единичных отрезков от точки 2.

3. Неравенство |х - а| < г  задаёт на оси ох точки, расстояние от которых  до точки а меньше, чем г, т е все точки из промежутка ( а- г;  а + г).

 Пример:

 Неравенство вида  │х - 2│< 3 задаёт на оси  точки из промежутка

 (-1; 5).

4. Неравенство |х – а | > г задаёт на оси ох точки, расстояние от  которых до  точки а больше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г) (а + г; +∞).

Пример:

 Неравенство вида  │х - 2│> 3  задаёт на оси точки из промежутков

 (-∞; -1) и (5; +∞).

5. Неравенство |х - а| ≤ г задаёт на оси ох точки, расстояние от которых  до точки а  не больше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г]  [а + г; +∞).

 Пример:

Неравенство вида  │х - 2│≤ 3 задаёт на оси  точки из промежутка

 [-1; 5].

6. Неравенство |х – а | ≥ г задаёт на оси ох точки, расстояние от  которых до  точки а  не меньше, чем г, т е все точки из множества (-∞; а – г] [а + г; +∞).

Пример.

 Неравенство вида  │х - 2│≥ 3  задаёт на оси точки из промежутков

 (-∞; -1]  [5; +∞).

4.  Способы   решения  уравнений, содержащих модуль.

1. | f(x)| = a

А) если а < 0, то решений нет.

Б)  если а = 0, то  f(x) = 0.

В)  если  а > 0,  то   ;

2. |f(x)| = | g(x)|.

Решить совокупность  уравнений ;

3. |f(x)| = g(x)  

Решить совокупность двух систем:

4. Уравнения вида  | f 1(x) ||+ | f2(x) | + …+ |f3(x)| = g(x).

Решают методом интервалов. Сущность этого метода заключается в следующем:

- найти нули  выражений, находящихся под знаком модуля (критические точки);

- разбить найденными точками область допустимых значений уравнения  на промежутки, на каждом из  которых  выражения под знаком модуля  сохраняет знак;

- решить уравнение на каждом из промежутков, раскрывая  модульные скобки;

-объединить  ответы, полученные при решении уравнений на промежутках.

Следует отметить, что любое из уравнений вида 1-4  также можно решить методом интервалов.

5.  Способы решения неравенств, содержащих знак модуля.

1.|f(x)| < a.

А)  Если а≤0, то решений нет.

Б)   Если а >0, то решением является система .

  2. |f(x)| > a.

А)  Если а <0, то решением являются любые х из области определения функции f(x).

Б) Если а=0, то решением являются все х из области определения функции f(x), кроме тех х,  которые обращают  функцию в ноль.

В) Если а>0, то решением является совокупность .

3. |f(x)| >|g(x)|.

 Решение равносильно  неравенству f2(x) >g2(x).

      4..

  Решение равносильно системе  

             5. .

 Решение равносильно совокупности  

1. Неравенства, содержащие  сумму нескольких модулей.

Решаются методом интервалов. Сущность метода заключается в следующем.

- Найти нули  выражений, находящихся под знаком модуля (критические точки);

- разбить область допустимых значений уравнения  на промежутки, на каждом из  которых  выражения под знаком модуля  сохраняет знак;

- решить неравенство на каждом из промежутков, раскрывая  модульные скобки;

-объединить  ответы, полученные при решении неравенств на промежутках.

Следует отметить, что любое из неравенств  вида 1-5 можно решить методом интервалов. 

Сводная таблица.

Простейшие выражения с модулем.

Раздел 2.

Практическая часть

1. Чему равен  | у |, если у  -  положительное число?
2. Чему равен | у |, если у  -  отрицательное число?
3. Чему равен | у |, если  у = 0?
4. Раскрыть модульные скобки (представить выражение в виде, не содержащем  знака модуля):    а)  | 1 - √2|;

б)  |π – 3 |;

в)  │7 - 5√2 │;

г)   | √3+√5 |;

д)  | √5  -  2 |;

5. Может ли быть отрицательным значение суммы: а)  2 + | x |;  б) | x | + 6?
6. Может ли равняться нулю значение разности: а)   2| x | – | x |;  б) 3| x | – | x |?

При каких значениях y верно равенство:  а)   – y = | – y |;  б)  – y = | y |?

 7.  Изобразить  на действительной оси  ОХ точки х, удовлетворяющие соотношениям:

1. а) │х│ = 4;   б)  │х│4;   в)  │х│ 4;   г)  │х│ 4;  д)  │х│ 4.

2. │х – 1 │ = 1;   б)  │х – 1 │  1;   в)  │х – 1 │  1;  г)  │х – 1 │  1;  

д)  │х – 1 │  1.

8.  Раскрыть модульные скобки:

1. | х4 + 1 |;
2. │х – 3 │;
3. │х – 5 │ + │х – 2 │;
4. |х2  -  х  +  ¼ |;
5. | х2 +  2х + 2 | ;
6. | х  -  х2/4 - 1|;
7. | -х2 + 3х - 4|;
8. Упростить выражение:
9. Упростить выражение:

9. Решить уравнения^

1. | х – 3 |= 2
2. |х2-3х – 2 | = 3
3. |х2 + 5х +5 |= 1
4. |5 + 2х |= 0
5. | -2х | = 4.6
6. | 3 – х | = 8
7. | х5  - 8х4 + 2х3 – 6х2 -12 | = -3
8. |3 - |х + 2 || = 4
9. || х |  +  2 | = 1
10. | | х | - 2 | = 2
11. | |х| + 2 | = 2
12. |х - 6| = | х + 8 |
13. | х – 4 | = | х - 5|
14. | х – 4 | = | х+ 1|
15. |3х + 2| = | 3 + 2х |
16. | х2 – 6х – 2 | = |х2 + 7х + 11|
17. | х  -  1 | = 2х – 3
18.  | 2х – 5 | = х + 2
19. | - х + 2 | = 2х + 1
20. х2 – 3х – 4 = |х + 1|
21. | х | = х
22. | х | = -х
23. 7 – 4х = | 4х – 7 |
24. | х2 – х – 8 | = - х
25. | х + 2 | = 2(3 – х)
26. | х +3 | = х2 + х – 6
27. |х2 + х – 3 | = х
28. | х2 + х - 1|  = 2х – 1
29.  | 5х + 2 | = 3 – 3х
30. | х2 – 2х | =  3 – 2х
31. | 3х2 – х | = 8 + х
32. |х3 – х | = х + 4
33. | х – 3 | = -х2 + 4х – 3
34. |х | + | х – 1 |  = 1
35. | х + 1| + | х – 3 | = 4
36. | х2 – 9 | + | 9 – х2 | = 8
37. |х + 2| + | х - 4| = 6
38. |х - 2 | - 3 |3 - х| + х = 0
39. |х2 – 5х + 4 | + |х2 – 5х + 6| = 2
40. |х| - 2|х + 1| + 3|х + 2| =0
41. |х| + |х – 2 | + 2| х – 5 | = 6
42. |2х + 2 | + |х – 5 | + 1 = 0
43. |4 – х | +|2х - 2| = 5 – 2х
44. |х2 – 4х + 3| + |х2 – 5х + 6 | = 1
45. |х2 – 4 | - |х2 – 9 | = 5
46. |х2 – 3х + 2| + |х2 – 5х + 6 | = 2
47. | |х +1 | - | х – 3 | | = | х |
48. | | х + 2 |- |х – 6 | | = | х|

10. Раскрыть модульные скобки и построить график функции:

1.  у = |х + 3| + |х - 4|
2. у =  | х – 1 | - | х + 1 |
3. у =  | 6 - х| +| х + 2 |
4. у  =  | 2х – 1 | - |3х + 2 |
5. у =  | 17х - 11| - |11 – 17х|
6. у  =  | 2х – 4 | + |6 + 3х |
7. у  =  | х + 2 | + | х + 5 |.
8. у = |х2 – 4 |+ 3
9. у = |1/2 х2 – 3 | - 2
10. у = |1/2х - 2|  - |1/2х + 2 |

11.Построить графики функций:

1. у = х │х│
2. у = │х│
3. у = │х│+2
4. у = -│х│
5. у = -│х│+2
6. у = │3х - 4│- х
7. у = │х│+ х
8. у = │х│(х – 2)
9. у = │х + 4│х
10. у =
11. у =
12. у = │х + 2│+ 2│х - 1│ - х
13. у = х (│х + 2│+ │х – 2 │)
14. у =  |1/3 х + 2|

15. у =  |1 – 2х|
16. у = | 3х + 1 |

17. у = |9 – х2 |
18. у = |х2 – 5х + 6 |
19. у = |х2 + 2х – 8 |
20. у = |3 – 0.5х2 |
21. у =
22. у =
23. у = х │х│ + 1
24. у =
25. у =
26. у =

12.Решить графически уравнение:

1. │х – 2│ = х2
2. │х + 5│= -х – 1
3. │х│ = (х- 1)2 – 1
4. │х│ =
5. │х│ = -(х + 2)2 + 2

13.Решить неравенство:

1. │2х – 3 |< 5
2. |4х + 5 | <3
3. |х – 1 | <  1
4. |х2 – х - 3|  < 9
5. |х2 + 5х | < 6
6. |3х + 1 |  < х/2
7. |х2 – 4 |< 3х
8. |х2 + 3х | < х +4
9.  |4х2 – 1 | < х + 2
10. х2 – 5х + 9 >|х – 6 |
11. |3х + 2 | < х2 + 7х + 6
12. |2х + 1|  ≥ 1
13. | х2 – 2х | ≥ 1
14. |3х – 2 | > 2х + 1
15. |3х – 5 | > 9х + 1
16. | х | > х + 2
17. | х2 + 3х | ≥ 2 – х2
18.  |х2 – 3х | ≥ х + 5
19. |х3 – 1 |≥  1 – х
20. |2х2 – 9х + 15 | ≥ 20
21. |х2 – 6х + 8 |  < 5х  - х2
22. | 3х – 2 |> |2х + 1|
23. | х2 + х – 2 | > |х + 2|
24. |х + 4  - х2| ≤ |х2 – 5х + 4|
25. |х + 2| < |х – 2 |
26. | 2х – 1 ||< |3х + 1|
27. |3 + х | ≥ | х |
28. | 4х – 1 | ≥ | 2х + 3 |
29. | 2х2 + х – 1 | >| х + 1 |
30. |24х2 – 39х - 8| ≤ | 18х2 -  25х +32 │
31. | х2 – 3х – 3 |  > |х2 + 7х – 13 |
32. |3х – 2 |х < 1
33. |х – 4| (х + 2 )  ≥4х
34. | х – 1 | - 2 |х + 3|  > х + 7
35. 2 |х – 3 | + | х + 1 |  ≤ 3х+ 1
36.  |х|- 2 |х – 2 | + 3 |х + 5 | ≥ 2х
37. 2 |х + 1 | - |х - 1| > 3
38. | х + 1 | + |х – 1 | ≤ 2
39. | х | - 2 | х + 1 | + 3 |х + 2 | ≥ 4
40. | х | - 2 | х + 1 | + 3 |х + 2 | > 4
41. х2  -  4 |х| < 12
42. х2  +  3 |х | > 10
43. х2 + | 5х – 4 | - 1   ≤  |3х – 2 |
44. х2 + 2 | х – 1 | + 7  ≤  4 |х – 2 |

Раздел 3.

Возможные приёмы решения некоторых  типов задач.

Раскрыть модульные скобки │х – 3 │-│2х + 4│.

        Решение:

Х – 3 = 0,  х = 3;

        2х + 4 = 0,  х = -2.

        Рассмотрим три случая:  

        1) х < -2,   2) -2 ≤ х <3,   3)  х ≥ 3.

        В первом случае х < -2, поэтому │х – 3 │= 3 – х, а  │2х + 4│ = -2х – 4, значит │х – 3 │-│2х + 4│= 3 – х +2х +4 = х + 7.

        Во  втором случае -2 ≤ х <3, поэтому    │х – 3 │= 3 – х, а │2х + 4│= 2х + 4, значит │х – 3 │-│2х + 4│=3 – х – 2х – 4 = -3х – 1.

        В третьем случае х ≥ 3,  поэтому  │х – 3 │= х – 3, а │2х + 4│= 2х + 4, значит

│х – 3 │-│2х + 4│= х – 3 – 2х – 4 = - х - 7.

Ответ: │х – 3 │-│2х + 4│ = .

Решить уравнение.

1.│5х + 4│ = 3.

Решение.

, откуда несложно получить

Ответ:  -1/54  -7/5.

2.│х2 – 2х - 7│= 4.

Решение: использование формулы 1–в  позволяет  избежать необходимости нахождения интервалов знакопостоянства квадратного трёхчлена с «неприятными» корнями.

Имеем:  , откуда несложно получить

Ответ: -1;  3;  1 ± 2√3.

3.│х2 – х - 8│= -х

Решение: можно выбрать один из способов: либо использовать метод интервалов, и для этого находить промежутки знакопостоянства, либо воспользоваться  формулой 3. При использовании метода интервалов придётся находить корни квадратного трёхчлена, которые будут не очень приятными. Если же работать по формуле 3. то придётся решать неравенство вида –х ≥ 0. что не представляет затруднительную задачу. Воспользуемся формулой 3.

Получаем: , откуда получаем

Ответ:  -2;  -2√2.

4.│3х - 4│= 4х2 + 3х – 2.

Решение:

Это уравнение принципиально не отличается от предыдущего. Однако здесь более комфортным представляется путь, связанный с раскрытием модуля. Согласитесь, что решать неравенство 4х2 + 3х – 2 ≥ 0 не очень комфортно(просчитайте корни трёхчлена).

3х – 4 = 0,  х = 4/3.

Решение уравнений на двух промежутках  х < 4/3  и х ≥ 4/3 можно оформить как решение совокупности систем:

.

Решая каждую  из систем, получим

Ответ:  

5.│х│-2│х + 1│= 5.

Решение: использовать  метод интервалов, нули подмодульных выражений

0 и -1.  Уравнение равносильно совокупности трёх систем. Решения каждой из систем объединить.

.

Ответ: корней нет.

Решить неравенство.

1.│2х -3│<5.

Решение:

можно  решить это неравенство, раскрывая модульные скобки. Но удобнее в подобных примерах  пользоваться   формулой 1-Б.  Решить систему:

.

 Ответ: -1 < х < 4.

2.│2х - 7│≤│х -3 │.

Решение:

По формуле 3 получаем:         (2х – 7)2 ≤ (х – 3)2,

                                3х2 – 22х + 40 ≤ 0

                                10/3 ≤ х ≤ 4.

Ответ: 10/3 ≤ х ≤ 4.

3.│х - 1│+│х - 2│≤ х + 3.

Решение:

Здесь нули подмодульных выражений х1 = 1 и х2 = 2. Они разбивают числовую ось на три интервала. Решаем данное неравенство на каждом интервале:

        1)

        2)

        3)

Объединяя   полученные множества  решений, находим решение исходного неравенства.

Ответ: 0 ≤ х ≤ 6.

4. х2 + 6 ≥│3х + 2│-7х.

Решение.

Можно решить неравенство методом интервалов. Но если записать  неравенство в виде

│3х + 2│≤ х2 + 7х +6,

и воспользоваться формулой 4, то переход к равносильной  системе

несколько облегчит работу. Получаем:

Ответ:  х ≤ - 5- √17  или х ≥ -5 + √17.

5. │х2 - 4│+ 2х + 1 > 0.

Решение:

Перепишем неравенство  в таком виде:

│х2 - 4│> -2х – 1.

Воспользуемся  формулой 5.

Получаем ответ.

Ответ:  х < -3  или  х >1 - √6.

6.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Следовательно, решением является  множество (-3; -1)  (-1; 1).

Ответ: (-3; -1)  (-1; 1).

Построить график функции.

у = │х - 2│+│х - 5│.

Решение: сначала раскроем модульные скобки, получим:

Теперь необходимо построить  графики полученных функций на соответствующих промежутках.

у = │х2 -4│

Чтобы построить  график функции  у = │f(x)│, надо сначала построить  график функции у = f(x), а затем  участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже  оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси. Поэтому сначала построим параболу у = х2 – 4, затем часть графика, расположенную ниже оси х, отразим зеркально.

у = │х2 -4│

Раздел 4.

Упражнения,

при решении которых появляется модуль.

Пример1.

Решить уравнение .

Решение.  Опираясь на свойство , получим равносильное уравнение:

│х+1│= 1.

Следовательно, либо

х + 1 = 1, т е  х = 0

либо

х + 1 = -1, т е х = -2.

Ответ:  -2;  0.

Пример2.

Решить уравнение  

1 способ.

Решение.

 Преобразуем выражения под корнем:

.

.

.

Далее решить методом интервалов, учитывая условие х ≥-2.

,  корней нет.

, х = 2.

1) -2 ≤ х < 2,    , 3=3, решением является [-2; 2).

2)  х ≥ 2,  ,  , х = 2.

Объединить ответы.

Ответ: [-2; 2].  

2 способ.

Решение.

Сделаем замену , где а ≥ 0, тогда х+3=а2+1, х+6 = а2+4. уравнение имеет вид

, откуда

│а+1│+│а-2│=3.

А + 1 =0, а = -1,  а – 2 = 0, а = 2. С учётом условия а ≥ 0, получаем:

           то  0 ≤ а ≤2.

Возвращаемся к переменной х, получаем 0 ≤ ≤ 2,  0≤ х + 2 ≤ 4,   -2 ≤ х ≤ 2.

Пример3.

Решить уравнение

Решение.

Возведём в квадрат обе  части уравнения, после чего сделаем замену переменной. (Следует помнить, что безоговорочное возведение в квадрат возможно при условии, когда левая и правая  части уравнения  имеют одинаковые знаки).

После возведения  в квадрат и упрощения получим:

х2 - 4х + 3 +

Произведём замену переменной t = х2 – 4х +3; тогда уравнение примет вид

t + ,

или

t + │t│= 0,

откуда t ≤ 0.  Другими словами, исходное  уравнение имеет множество решений, задаваемое  неравенством

х2 – 4х + 3 ≤ 0,

а, значит,

1≤ х ≤3.

Ответ:  [1; 3].

Тренировочные упражнения.

1. Решить уравнения:

 1).

 2).  .

 3).  

 4).  

5).  .

 6).  

2.  Решить систему уравнений

3.  Вычислить:

  1).  

  2)  

  3)  

  4)  

  5)  2 + √5 -

  6)  

   7)  

4.  Упростить:

  1)  

  2)  .

  3)

  4)  

  5)  

  6)  

  7)  если 0 < в < 3а.

   8)  ,  при а > 1.

   9)   при а > в√2 >0.

5. Решить неравенство:

1.  .

2.  .

Раздел 5.

Задания, содержащие модуль, встречающиеся при проведении экзамена в форме тестирования.

1. Сумма корней уравнения │х2 + 3х│=  4  равна

1) 3        2) -3                3) 2                4) 4                5) -4.

2. Сумма корней уравнения │2х - 3│ = │х - 1│равна

1) 2⅓        2) 3⅓                3) 4⅓                4)  5                5)  1⅓.

3. Произведение корней уравнения │х2 + х -3│ = х  равно

1) 3√3        2) 2√3                3) √3                4) 3                5) 4√3.

4. Разность между наибольшим и наименьшим корнями  уравнения  

х2 + │х│ = 2½ равна

1) √11 – 1                2)1        3) √11                4) 1 - √11        5) ½√11.        

5. Среднее арифметическое всех  корней уравнения  │х2 – х - 1│= х2 + 2х + 1  равно

1) -7/6        2) -7/18        3) 7\6                4) 7/18                5) -7/12.

6. Произведение корней уравнения  х2 + 3х + │х + 3│= 0 равно

1) -3        2) -4                3) 3                4) 4                5) -6.

7. Среднее арифметическое всех  корней уравнения  │х - 1│+2│х + 3│= 5 равно

1) -4/3        2) -5/3                3) -2                4) -8/3                5) -4.

8. Среднее арифметическое всех  корней уравнения  ││3х - 1│-3│= 2 равно

1) 4/3        2) 2/3                3) -2/3                4) -1/3                5) 1/3.

9. Произведение корней уравнения  │2х - 1│+│х + 1│= 2х + 1 равно

1) 2/3        2) 3/2                3) 1/3                4) 3                5) 4/3.

10. Сумма корней уравнения   равна

1) √5 + 2        2) √5 – 2        3) √5 + 3         4) √5 + 1        5) √5 – 1.

11. Число целых решений неравенства 1 ≤│х - 2│< 3 равно

1) 3        2) 5                3) 6                4) 2                5) 4.

12. Число целых решений неравенства ││х - 3│ - 2│≤ 1 равно

1) 5         2) 6                3) 7                4) 4                5) 3.

13. Наименьшее целое  положительное решение неравенства  ││2х - 1│ - 2│> 3 равно

1) 4        2) 5                3) 6                4) 7                5) 8.

14. Наименьшее целое решение неравенства │х - 1│< 2х – 4 равно

1) 5        2) 6                3) 4                4) 3                5) 7.

15. Все решения  неравенства х2 +  < 5/4  заполняют на числовой  оси промежуток, длина которого  равна

1)  √6        2) √6 – 1        3) 1                4) ½√6                5) ½ (√6 – 1).

16. Число  целых решений  неравенства  │х - 1│+ │х - 3│≤ х + 1 равно

1) 3        2) 4                3) 5                4) 6                5) 7.

17. Число  целых решений  неравенства   равно

1) 4        2) 3                3) 5                4) 1                5) 2.

18. Число  целых решений  неравенства   равно

1) 2        2) 3                3) 5                4) 0                5) 1.

19. Сумма целых решений неравенства │х + 2│(х2 + 3х – 4 ) < 0 равна

1) -6        2) -10                3) -4                4) -3                5) -9.

Используемая литература:

1. Воробьёва О.Н. Сборник задач по алгебре – пособие для абитуриентов. Санкт-петербург: Яросвет, 1995.
2. Ермак Н.В. и др. Подготовка к тестированию по математике: Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов. В 2-х частях / Н.В. Ермк, И.В. Квасова, Л.В. Филонова. – Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2002. – Ч.1.
3. Сборник конкурсных задач по математике. В помощь абитуриентам. Выпуск 3 /Н.В. Ермак, Е.В. Калабина, И.В. Квасова, Л.В. Насонова, В.В.Попов, Л.В. Филонова. – Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2003. – Вып 3.
4. Мерзляк А.Г. и др.  Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – Киев: А.С.К., 1997.
5. Приходько Л.А. Математика  для поступающих в десятый лицейский класс. Варианты  конкурсных заданий. Учебное пособие / под общей ред. профессора В.Я. Райцина – М.: Изд-во «Экзамен», 2006.