Творческая работа. Математическое исследование:"Сфера и шар"

1. Введение

     На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.

    Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.

     В своей работе я дала понятие шара и сферы, привёла некоторые свойства этих тел. Я постаралась привести несколько показательных задач. В моей работе имеются некоторые исторические сведения. Основными этапами работы над данной темой явились: подборка соответствующей литературы, изучение нужного для работы материала, применение к конкретным задачам, а также практическое применение.      

2. Шар и сфера.

  2.1. Шар и шаровая поверхность.

     Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространст ва, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстоя ние R (радиус). Все пространство по отношению к данной ша ровой поверхности разбивается на внут реннюю область (куда можно присоеди нить и точки самой поверхности) и внешнюю.

       Первая из этих областей назы вается шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстоя ние, не превышающее данной величины R  (радиуса). Шаровая поверхность яв ляется границей, отделяющей шар от ок ружающего пространства.

     Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

     Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоско сти Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою оче редь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М0—проекцию вращающейся точки М на ось враще ния АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вра щения, и потому точка М все время будет находиться на сфе рической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

     Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.

      Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоско сти. Для этого, имея некоторый шар и плоскость , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М0 окажется вне шара   (рис. 2),   то   остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой    поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с  поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

     Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара един ственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точ ками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

     Если, наконец, основание пер пендикуляра М0 окажется внут ри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверх ностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d. Для доказательства проведем через М0 произвольный луч М0М, лежащий в секущей пло скости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ0М с прямым углом при вершине М0. Катет М0М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М0М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точ ки пересечения плоскости , с поверхностью шара лежат на од ной окружности с центром М0 и радиусом, равным. Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости ) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения - полная окружность, а не какая-либо часть ее.

      Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

при d>R плоскость не пересекает шара;

при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

при d.

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пере секает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, про ходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны ми плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пе ресечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем слу чае она будет называться касатель ной к шару.