Исследование и моделирование фракталов.
Исследовательская работа по информатике.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 issledovatelskaya_rabota_pinaeva.zip | 990.73 КБ |
Предварительный просмотр:
Министерство образования и науки
Удмуртской Республики
Муниципальное образовательное учреждение
Кезская средняя Общеобразовательная школа №1
Научно-исследовательская
работа по информатике
на тему:
«Исследование и моделирование фракталов».
Выполнила:
ученица 10а класса
МОУ КСОШ№1
Пинаева Дарья
Руководитель:
учитель информатики
МОУ КСОШ №1
Ветошкина Наталья Владимировна
2008 – 2009 год.
Содержание.
Введение………………………………………………………………………………..3
Рождение и развитие фрактальной геометрии…………………………………… 3-4
Бенуа Мандельброт-основатель фрактальной геометрии…………………………. 4
Типы фракталов ……………………………………………………………………..4-6
Способы построения фракталов…………………………………………………….6-9
Применение фракталов……………………………………………………………..9-10
Заключение…………………………………………………………………………10-11
Литература…………………………………………………………………………….11
Введение
Кто хотя бы раз видел фракталы – удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки – вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.
До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой – так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.
Тогда возникает проблема: можно ли в школьных языках программирования смоделировать фракталы, и если можно, то в каких целях и где это можно применить?
Гипотеза: нет ли специальных систем для программирования фракталов?
Объект: фрактальные множества.
Материал: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта и Е. Федера, программное обеспечение.
Цель: исследование фракталов в природе, в математике.
Задачи:
• узнать, что такое фракталы;
• изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
• ознакомиться с биографией создателя фракталов – Бенуа Мандельброта;
• смоделировать фракталы на языках программирования – QBasic и Pascal.
Рождение и развитие фрактальной геометрии.
Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделённый на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.
С математической точки зрения фрактал – это прежде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата-2, куба и параллелепипеда-3. Дробная размерность-основное свойство фракталов.
Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В ней использованы научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.
Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или моря. Облака -это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах бесконечно».
Новая фигура – фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.
Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.
Бенуа Мандельброт-первооткрыватель фрактальной геометрии.
Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. После войны Бенуа стал студентом Сорбонны. В 1958 году Мандельброт приступил к работе в научно исследовательском центре IBM в Йорктауне. Переформулировал закон Ципфа-Мандельброта. Также Мандельброт исследовал экономику и обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку. Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели деньги и ткани. Сегодня Бенуа
Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Он удостоен многочисленных почетных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.
Классификация фракталов.
Для их изучения фракталов следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.
Фракталы
Алгебраические Геометрические Стохастические
Геометрические фракталы
История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие другие. В графике геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д.
Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.
Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых.
Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.
Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.
Стохастические фракталы
Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».
Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза.
С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.
Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. в действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.
Фракталы и способы их моделирования.
Треугольник Серпинского
В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого фрактала. Один из них представляет следующий процесс. Берется сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется перевернутый треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трех оставшихся треугольников. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге удаляем 3n-1 перевернутых треугольников из центров 3n-1 оставшихся треугольников. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется - получится объект, состоящий из одних только дырок. Это и есть треугольник Серпинского. Треугольник Серпинского также называют салфеткой или решетом Серпинского.
Программа для моделирования треугольника Серпинского в PASCAL:
Program Sierp10;
Uses CRT, Graph;
Var
gd, gm: Integer;
l, x, y: Real;
Begin
gd:=Detect;
InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
x:=0; y:=0;
Randomize;
While not Keypressed Do Begin
l:=2/3*pi*random(3);
x:=x/2+cos(l);
y:=y/2+sin(l);
PutPixel(320 + Round(x*130), 240 + Round(y*130), 14);
End;
Readkey;
CloseGraph;
End.
Множество Мандельброта
Program M2;
Uses Graph, Crt;
Type
TComplex = Record
X : Real;
Y : Real;
End;
Const
iter = 50;
max = 16;
Var
z, t, c : TComplex;
x, y, n : Integer;
Cancel : Boolean;
gd, gm : Integer;
mx, my : Integer;
Begin
Cancel := False;
Randomize;
gd := Detect;
InitGraph(gd,gm,'e:\bp\bgi');
Mx := GetMaxX div 2;
My := GetMaxY div 2;
For y := -my to my do
For x := -mx to mx do Begin
n := 0;
C.X := X * 0.005;
C.Y := Y * 0.005;
z.X := 0;
z.Y := 0;
While (sqr(z.X) + sqr(z.Y) < max) and (n < iter) do Begin
t := z;
Z.X := sqr(t.X) - sqr(t.Y) + C.X;
Z.Y := 2 * t.X * t.Y+ C.Y;
Inc(n);
If keypressed then cancel := true;
End;
If n < iter then Begin
Put Pixel (mx + x,my + y,16 - (n mod 16));
End;
If cancel then exit;
End;
Readkey;
CloseGraph;
end.
Фракталы из окружностей
Program Circle;
Uses Graph, Crt;
Var
x, y, z : Integer;
gd, gm : Integer;
mx, my : Integer;
Begin
gd := Detect;
InitGraph(gd,gm,'e:\bp\bgi');
mx:=GetMaxX div 2;
my:=GetMaxY div 2;
For y:=-my to my do
For x:=-mx to mx do Begin
z:=trunc(0.1*(sqr(x)+sqr(y)));
PutPixel(mx + x,my + y,z mod 16);
End;
Readkey;
CloseGraph;
end.
Кривая Коха
SCREEN 12
p = 4
pi = 3.14
x = 0
y = 400
l = 640 / (3 ^ p)
PSET (x, y)
FOR i = 0 TO 4 ^ p
a = 0
n = i
k = 0
WHILE k <= p
m = n MOD 4
n = n \ 4
IF m = 0 THEN a = a + 0
IF m = 1 THEN a = a - pi / 3
IF m = 2 THEN a = a + pi / 3
IF m = 3 THEN a = a + 0
k = k + 1
WEND
x = x + l * COS(a)
y = y + l * SIN(a)
LINE STEP(0, 0)-(x, y)
NEXT i
END
Применение фракталов.
Главное применение фракталов - современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы, посредством изменения параметров в том или ином уравнении.
Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов. Можно сказать, что учёные нашли простой способ представления сложных объектов, образы которых напоминают природные формы.
Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами.
Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. Другое преимущество фрактального сжатия состоит в том, что при увеличении картинки не наблюдается эффекта пикселизации. При фрактальном сжатии после увеличения картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.
Механика жидкостей и газов. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, и поэтому очень сложно строить их модели. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя лучше понять динамику сложных потоков.
Телекоммуникации. Для передачи данных на расстояние используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
Физика поверхностей. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух различных фракталов.
При помощи фракталов также можно моделировать языки пламени и другие , ещё более сложные, физические процессы. Фрактальные формы хорошо передают пористые материалы, которые имеют очень сложную геометрическую структуру. Эти знания используются в науке о нефти.
Теория фракталов используется и пи изучении структуры Вселенной.
Биология. Здесь такие примеры - биосенсорные взаимодействия и биения сердца, моделирование хаотических процессов, в частности, при описании моделей популяций. Интересным приложением фракталов является генерация деревьев, как плоских, так и пространственных. Компьютерная программа, с помощью которой строятся эти фракталы, позволяет изменять различные параметры дерева: от ветвистости, толщины ствола и веток, до угла наклона веток и цвета листьев.
Фрактальное искусство. Ещё одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов является компьютерное искусство. Фракталы не только служат учёным, но и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы.
Заключение
Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедилась в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.
Список литературы и ресурсы Интернета
1.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2005
2.«В мир информатики», журнал «Информатика»: №23, №24/2008, изд-во «1ое сентября»
3.Волошников А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000
4. http://fractalworld.xaoc.ru/ article/tree 3.html
5. http://www.fractals.nsu.ru/
7. http://ru.wikipedia.org/wiki
А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?
Филимоновская игрушка
"Морская болезнь" у космонавтов
Весенние чудеса
Ворона