Мир удивительных чисел

МОУ – Кобяйская СОШ имени Е.Е. Эверстова

Мир удивительных чисел

Выполнили: ученики 5 «в» класса

Эверстов Алексей

Эверстов Андрей

Руководитель: учитель математики

Федотова М.И.

с. Кобяй 2011

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………………3

I. Теоретическая часть

1. Простые числа………………………………………………………………………..4
2.  Простые числа – близнецы…………………………………………………………5
3. Еще раз о «близнецах»………………………………………………………………6

II. Практическая часть

2.1 Нахождение чисел – близнецов, среди первой сотни простых чисел…………7 - 9

III. Заключение…………………………………………………………………………10

Литература………………………………………………………………………………11

Введение

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.

В нашем докладе отдано предпочтение стихии чисел. Такая одноплановость состава задач не уменьшает ни удовольствия, ни пользы от самостоятельного поиска их решений.

Само возникновение понятия числа – одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью числа не только что-то измеряют, сравнивают, вычисляют. Но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы.

Самые древние по происхождению числа – натуральные. «Ручейки» натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особых специальных чисел.

Мы со второго класса начали исследовательскую работу. Тема доклада была «Биhиги уонна икки сыыппара». Так как мы братья – близнецы, нас двое. Поэтому мы интересовались происхождением числа 2. Ознакомились происхождением числа 2, как взаимосвязано число 2 с окружающим миром, изучили близнецов нашего села, провели анкету среди близнецов, прочитали в газете «Кэскил» статьи о близнецах, изучив свое родословное, узнали, что по линии матери в нашем роде есть 6 близнецов.

Нас увлекло исследовательская работа. Хотелось расширить свои знания о числах. Поэтому выбрали тему доклада «Мир удивительных чисел».

Цель работы: в мире удивительных чисел изучить числа-близнецы.

Задачи:

1. работа с научной литературой, энциклопедией математики, занимательной математикой;
2. расширить понятия о числах, изучить понятие о числах - близнецах;
3. среди простых чисел найти числа-близнецы, выяснить закономерность расположения чисел-близнецов.

Предмет исследования: удивительный мир чисел.

Объект исследования: числа - близнецы

Гипотеза: если проникнуть разумом в удивительный  мир чисел, на раскопку его богатств, то возникнет математическая любознательность, интерес к предмету, новые открытия для себя.

Теоретическая часть

1.1 Простые числа

Каждое натуральное число, большее единицы, делится по крайней мере на два числа: на  1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным. Почему?... Об этом речь впереди (см. статью «Основная теорема арифметики»).

Небольшую «коллекцию» простых чисел нам поможет составить старинный способ, придуманный ещё в III в. до н.э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2 (рис. 1). Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнём. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее не зачёркнутое число – это 5. Берем пятёрку, а остальные числа кратные 5, зачеркиваем. Повторяя  эту процедуру снова и снова, мы, в конце концов добьёмся того, что  не зачёркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название «решето Эратосфена».

Можно ли, вторя поэту, сказать, что простых чисел столько, «сколько звёзд на небе, сколько рыб в воде»? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида «Начала»-нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: «Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их».

Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число Р. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая Р, увеличим полученное произведение на единицу:

2х3х5х7хх…хР+=М.Если число М составное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, ….., Р, поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит , предположение , что суествует наибольшее простое число Р, неверно и множество простых чисел бесконечно.  

                                       1.2  Простые числа-близнецы

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 51), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (277, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883), …

     Простые числа-близнецы – это пары простых чисел, отличающихся на 2.

1. Что мы знаем о простых чисел-близнецов, кроме первых двух, имеют вид 6n + 1.
2. По модулю 30 все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид (11, 13), (17, 19) или (29, 31).
3. Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано.
4. Но если простых чисел-близнецов и бесконечно много, то они расположены в натуральном ряду довольно редко.
5. На данный момент наибольшими известными простыми близнецами являются числа 65516468355 x 2+ 1. В этом числе 100355 цифр.

            Вот ещё несколько чисел из самых больших известных простых - близнецов:

            2003663613 x 2 +  - 58 411 цифр;            

            194772106074315 x 2 + - 51 780 цифр;

            100314512544015 x 2+ - 51 780 цифр;

            16869987339975 x 2 + - 51 779 цифр.  

1.3  Еще раз о «близнецах»

 Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11, 13, 17 и 19, получили образное название «близнецы». Любопытно, что в натуральном ряду имеет даже «тройня» - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует чисел-близнецов в современной науке неизвестно.

 Числа-близнецы  из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка «подправив» решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого способом Эратосфена числа n вычеркнуть также число n-2, то в таблице останутся лишь такие числа p, для которых число р+2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы - это следующие пары чисел: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73).

 По мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше, хотя исследования, проводимые «в глубоком числовом космосе», продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. В 1996 г. Рекордсменами считались близнецы 242 206 083 х 2____  +-, найденные, естественно, с помощью ЭВМ.

 Близнецы могут собираться в скопления, образуя четвёрки вида (n-4, n-2, n+2, n+4), например  (5,7,11,13) или (11,13,17,19). Как много таких скоплений - тоже пока неизвестно.

                                            Практическая часть

2.1  Нахождение чисел – близнецов, среди первой сотне простых чисел.

Рассмотрим таблицу простых чисел. По определению числа-близнецы – это такая пара простых чисел разность, которых равна двум.

(2; 3)      3 - 2 = 1 → (2;3)  - не являются, т.к. разность = 1.

(3; 5)      5 – 3 = 2 → (3; 5) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(5; 7)       7-5 = 2 → (5; 7) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(7; 11)      11-7 = 4 → (7; 11)   - не являются, т.к. разность = 4            

(11; 13)     13 – 11 = 2 → (11; 13) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(13; 17)      17 – 13 = 4 → (13; 17) - не являются, т.к. разность = 4          

(17; 19)      19-17=2 → (17; 19) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(19, 23)      23 – 19 = 4 → (19, 23)    - не являются, т.к. разность = 4  

(23, 29)      29 – 23 = 6 →  (23, 29)   - не являются, т.к. разность = 6    

(29; 31)      31-29 = 2 → (29; 31) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

 (31; 37)       37 – 31 = 6 →  (31; 37)   - не являются, т.к. разность = 6

(37; 41)       41 – 37 = 4  → (37; 41)    - не являются, т.к. разность = 4  

(41; 43)      43-41 = 2 → (41; 43) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(43; 47)     47 – 43 = 4 → (43; 47)    - не являются, т.к. разность = 4

(47; 53)    53 – 47 = 6 →  (47; 53)   - не являются, т.к. разность = 6

(53; 59)    59 – 53 = 6 →  (53; 59)   - не являются, т.к. разность = 6

(59; 61)      61-59 = 2 → (59; 61) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(61; 67)      67 – 61 = 6 →  (61; 67)   - не являются, т.к. разность = 6

(67; 71)      71 – 67 = 4 → (67; 71)    - не являются, т.к. разность = 4  

(71; 73)       73 – 71 = 2 → (71; 73) – это числа – близнецы, т.к. разность = 2

(73; 79)       79 – 73 = 6 →  (73; 79)   - не являются, т.к. разность = 6

(79; 83)      83 – 79 = 4 → (79; 83)    - не являются, т.к. разность = 4

(83; 89)     89 – 83 = 6 →  (83; 89)   - не являются, т.к. разность = 6

(89; 97)     97 – 89 = 8 →  (89; 97)   - не являются, т.к. разность = 8

Вывод:

1. Среди первой сотне простых чисел всего 24 пар простых чисел. Из них числами – близнецами являются 8 пар простых чисел.
2. Разность пар чисел оканчиваются в основном цифрами 2, 4, 6.
3. Разность первой пары простых чисел оканчивается цифрой 1. А пары (89; 97) – цифрой 8.

Заключение

Таким образом, из дополнительной литературы, мы узнали о числах – близнецах и были очень рады. В своей работе мы показали, как по определению, находить числа – близнецы, на примере первой сотни простых чисел.

          Анализировав, свои вычисления, сделали вывод.

          Также установили закономерность расположения чисел – близнецов среди первых тысячи простых чисел.

          Из энциклопедии для детей ознакомились другими числами, поэтому раскопка богатств удивительного мира чисел началась. Нас ждет увлекательная работа с числами.

Литература:

1. Журнал «Математика» №8, 1 сентября, с.48.
2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. «Удивительный мир чисел»: Кн. для учащихся.- М.: Просвещение, 1986. 144с.: ил. с. 3
3. Шамаев И.И. «Сананы арыйа уорэн»,
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. Э68 М.Д. Аксёнова ; метод, и отв. ред. В. А. Володин. – М.: Аванта+, 2003. – 668 с.: ил., с.146 – 149.