Многоугольники

Слайд 1

Слайд 2

Ло́маная (ломаная линия) — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами. А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А n А n-1 Ломаной (ломаной линией) называется фигура, которая состоит из отрезков А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 , А 4 А 5 , … , А n-1 А n . Точки А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , … , А n-1 , А n называются вершинами ломаной, а отрезки , А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 , А 4 А 5 , … , А n-1 А n — звеньями ломаной. При этом требуется, чтобы более двух вершин не лежали на одной прямой.

Слайд 3

Ломаная может иметь самопересечения: Математика – царица наук, арифметика – царица математики. Карл Фридрих Гаусс

Слайд 4

Если первая и последняя точки ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой. Изображённая здесь ломаная следует называть A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 . Замкнутую ломаную также называют многоугольником. В этом случае изображённая фигура будет называться "многоугольник" A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 " Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. Евклид

Слайд 5

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения многоугольника: Плоская замкнутая ломаная; Плоская замкнутая ломаная без самопересечений; Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Виды многоугольников Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. (Т. Вейерштрасс)

Слайд 6

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°. Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь преобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. (И.Л. Лабочевский)

Слайд 7

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником. Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади. ...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Слайд 8

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий: Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон); Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей; Каждая диагональ лежит внутри многоугольника; Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит. Слеп физик без математики. (М.В. Ломоносов)

Слайд 9

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Правильный многоугольник с самопересечениями называется звёздчатым, например, правильные пятиконечная и восьмиконечная звёзды. Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер)

Слайд 10

Сумма внутренних углов n-угольника равна 180°(n-2). Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника. Пусть A 1 A 2 ...A n — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: A 1 A 3 ,A 1 A 4 ,A 1 A 5 ...A 1 A n − 1 . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника: ΔA 1 A 2 A 3 , ΔA 1 A 3 A 4 ,...,ΔA 1 A n − 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана. Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оптика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)

Слайд 11

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

Слайд 12

Свойства правильного многоугольника. Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)

Слайд 13

Теорема Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают. Доказательство Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников , так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.

Слайд 14

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, формула 1 Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и высота этого треугольника это радиус вписанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника. Также известен угол при вершине — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим: 2 Отсюда получим формулу радиуса вписанной окружности правильного многоугольника: Математика - это язык, на котором написана книга природы . (Г. Галилей)

Слайд 15

1 Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и бедра этого треугольника это радиусы описанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника. Также известен угол между радиусами R — по формуле (1). Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. При помощи тригонометрических функций острого угла получим: 2 Отсюда получим формулу радиуса описанной окружности правильного многоугольника: Радиус описанной окружности правильного многоугольника, формула Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. (А. Франц)

Слайд 16

Проведя некоторые вычисления можно получить таблицу То, что мы знаем, - ограничено, а то, чего мы не знаем, - бесконечно. Пьер-Симон Лаплас

Слайд 17

Построение некоторых правильных многоугольников Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты. Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и правильные 6-ти, 10-ти и 15-ти угольники и все правильные n-угольники. Очень важно, что с помощью линейки проводятся только отрезки прямых, а длины отрезков измеряются с помощью циркуля, а не делений на линейке. Так, используя эти инструменты можно построить отрезок, длина которого выражается числом, полученным из 1 с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и извлечением квадратного корня. Т.е. вначале есть только отрезок, длина которого принимается за 1. Тогда можно построить отрезок, длина которого равна рациональному числу или квадратному корню из рационального числа. Далее, если отрезок длины а уже построен с помощью циркуля и линейки, то можно построить с помощью этих инструментов отрезок длины b, если число b выражается через а с помощью арифметических действий и квадратного корня. Говорят, что такое число выражается в квадратных радикалах. Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого выражается в квадратных радикалах. Все это знали еще математики древней Греции. Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. Анри Пуанкаре

Слайд 18

Задачу построения других правильных многоугольников (или доказательство невозможности таких построений) не могли решить в течение двух последующих тысячелетий, а решена она была немецким студентом филологического факультета Гёттингенского университета Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году. В то время Гауссу было 18 лет и он разрывался между занятиями филологией и математикой и не мог сделать окончательного выбора. Решение древней задачи помогло ему сделать окончательный выбор в пользу (и на пользу) математики. Страшно даже подумать, насколько бы затормозилось развитие математики, останься Гаусс филологом! До сих пор математики всего мира называют Гаусса королем математики Гениальные математики предлагают теорему, талантливые ее доказывают. Жак Адамар

Слайд 19

Построение некоторых правильных многоугольников Рис. 1 Рис.2 Математика - это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)

Слайд 20

Подобие правильных выпуклых многоугольников Правильные выпуклые n -угольники подобны. В часности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Слайд 21

Длина окружности — это длина закрытой кривой Теорема Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и тоже для любых двух окружностей. Однажды один из учеников Евклида спросил его: "А какая мне будет практическая польза от изучения геометрии?" В ответ Евклид позвал раба и, указывая на ученика, сказал: "Дай ему монету - он ищет выгоду, а не знаний!"

Слайд 9

При создании каких-нибудь изделий из ткани, для красоты применяют разные многоугольники.

Слайд 2

Многоугольники также встречаются в природе. Например, паутина паука образует множество замкнутых n -угольников, которые увеличиваются в размерах от середины к концам паутины.

Слайд 3

У рыб и бабочек некоторые части тела похожи на многоугольники.

Слайд 4

Чешуя змей похожа на множество маленьких разноцветных правильных многоугольников.

Слайд 5

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади, то периметр шестиугольника будет наименьшим. Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Слайд 6

Фигуры многоугольников использовали в древности для постройки храмов, соборов и пирамид.

Слайд 7

Существуют загадочные многоугольники. Стоунхендж (англ. Stonehenge, букв. «каменный хендж») — внесённое в список Всемирного наследия каменное мегалитическое сооружение (кромлех) на Солсберийской равнине в графстве Уилтшир (Англия). Находится примерно в 130 км к юго-западу от Лондона, примерно в 3,2 км к западу от Эймсбери и в 13 км к северу от Солсбери. Один из самых знаменитых археологических памятников в мире, Стоунхендж состоит из земляных сооружений окружающих круглую кладку больших менгиров. Он находится в центре самого плотного комплекса памятников неолита и бронзового века в Англии. Сам памятник и его окрестности были включены в список Всемирного наследия ЮНЕСКО в 1986 г. вместе с Эйвбери. Стоунхендж передан британской короной в управление «Английскому наследию», тогда как ближайшие окрестности принадлежат Национальному тресту.

Слайд 8

Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Аналогичный «треугольник» в Тихом океане называют Дьявольским. Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана, и объясняются естественными причинами. Такого же мнения придерживается Береговая охрана США и страховой рынок Lloyd’s.

Слайд 1

Слайд 4

Паркеты из разных правильных многоугольников

Слайд 5

Как-то раз древнегреческого геометра Евклида спросили: - Что бы ты предпочел - два целых яблока или четыре половинки? - Конечно, четыре половинки. - А почему? Это ведь одно и то же. - Отнюдь. Выбирая два целых яблока, как я узнаю, червивые они или нет?