Площадь трапеции

Опубликовано Буторина Галина Григорьевна вкл 22.04.2012 - 8:13
Автор: 
Андриевская Виктория Владимировна

 

Актуальность данной работы определяется тем, что знания и умения находить площадь трапеции имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет найти новые подходы к решению геометрических задач. Такая работа даст учащимся почувствовать себя открывателями нового, повысит самооценку, разбудит интерес к новым знаниям.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл trapeciya.rar356.79 КБ

Предварительный просмотр:

                Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Площадь трапеции.      

Выполнила: Андриевская Виктория Владимировна

ученица 8  класса МОУ «Новоорловская средняя

общеобразовательная школа».

                                                                           Руководитель: Буторина Галина Григорьевна,

учитель математики МОУ «Новоорловская

 средняя общеобразовательная школа»

                                                           

 Российская Федерация

Забайкальский край, Агинский район, гп.Новоорловск

2011

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее».

Площадь трапеции.

Андриевская Виктория Владимировна

Российская Федерация, Забайкальский край, Агинский район, гп. Новоорловск МОУ «Новоорловская общеобразовательная средняя школа»

        Краткая         аннотация.

Актуальность данной работы определяется тем, что знания и умения находить площадь трапеции имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет найти новые подходы к решению геометрических задач. Такая работа даст учащимся почувствовать себя открывателями нового, повысит самооценку, разбудит интерес к новым знаниям.

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее».

Площадь трапеции.

Андриевская Виктория Владимировна

Российская Федерация, Забайкальский край, Агинский район, гп. Новоорловск МОУ «Новоорловская общеобразовательная средняя школа»

                 Аннотация.

Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. В древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанном формулой, невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции  и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

 Цель:   определить, существуют ли другие способы нахождения  площади трапеции.

Объект исследования:  трапеция

Предмет исследования: площадь трапеции.

Гипотеза исследования: если провести дополнительные построения, то можно найти различные способы нахождения площади.

Задачи: 1.  Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации;

 2. Исследовать трапецию с помощью дополнительных построений и вывести формулы для нахождения  площади трапеции;

3. Разработать различные способы решения одной задачи на нахождение площади на конкретном примере.

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее».

Площадь трапеции.

Андриевская Виктория Владимировна

Российская Федерация, Забайкальский край, Агинский район, гп. Новоорловск МОУ «Новоорловская общеобразовательная средняя школа»

Введение

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.

                                        А. Д. Александров

Геометрия обладает целым рядом качеств, располагает огромными возможностями для эмоционального и духовного развития человека. «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX в., очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нём, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира помогает нам геометрия.

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов.  Почти все великие учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами.

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство четырёхугольников. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанном формулой, невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции  и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее».

Площадь трапеции.

Андриевская Виктория Владимировна

Российская Федерация, Забайкальский край, Агинский район, гп. Новоорловск МОУ «Новоорловская общеобразовательная средняя школа»

Научная статья

Глава I.

1.1Площадью  фигуры называется положительная величина со следующими свойствами:

  1. равные фигуры имеют одну и ту же площадь;
  2. если фигура разбита на конечное число простых фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих простых фигур;
  3. площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Измерение площади состоит в сравнении площади SF данной фигуры F с площадью квадрата со стороной, равной единице измерения. В результате сравнения получается некоторое число – численное значение площади данной фигуры, которое показывает, во сколько раз отличается площадь фигуры F от площади единичного квадрата. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.

Существует множество способов, чтобы найти площадь трапеции, остановимся на них подробнее:

1.2Понятие трапеции. Площадь трапеции.
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку


Что и требовалось доказать.

1.3 Различные подходы для нахождения площади трапеции.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
 

Проведем через вершину B прямую параллельную  АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник ABCD будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=AE и AB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)

. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:

Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами). Найдем сумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то  — вторая ее половина. Ч.т.д.

Форма вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции.

       2.1 Совместно с руководителем был разработан ход исследования: 

1.  Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и найти новые способы нахождения площади трапеции.

2.  Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

В ходе работы нам предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют другие способы нахождения площади трапеции.

Следуя намеченному плану,  мы рассмотрели  задачу:

Дана трапеция ABCD. Найти её площадь.

Первый способ:

Решение.

  1. Провели высоты ВН и СК , ВН = СК,  HK = BC. Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АВН, прямоугольник НВСK  и треугольник CKD.
  2. Таким образом, SABCD = SABH + SHBCK + SCKD 
  3. SABCD =  = BH 

=BH  

Второй  способ:

Решение.

  1. Провели высоты АН и DК , AН = DК,  AD  = HK. Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АHВ, прямоугольник AНKD  и треугольник CKD.

2. Таким образом, SABCD = SAHKD –  SAHВ -  S DKC

3.    SABCD = A = AH 

=AH  

Третий  способ:

Решение.Провели  СКАВ, высоту  ВН. Тогда наша трапеция разбивается на две части:  параллелограмм АВСК (по определению, так как АВСК по построению, АКВС по условию) и ΔКСD.  Причём, высоты параллелограмма и треугольника равны.

2. Таким образом, SABCD = SABCK +  S KCD 

3. SABCD =  = BH 

=BH  

Четвёртый способ:

Решение.

  1. Через середину стороны CD  (точка К)  провели прямую, пересекающую сторону AD  в точке L.
  2. Рассмотрим треугольники BCK  и  LDC:  CK = DK (по построению), ∟ВCК = ∟LDK  (как соответственные при параллельных прямых),  ∟CKB = ∟DKL  (как вертикальные),  Δ BCK = ΔLDК  (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно, BC = LD  и  SBCK = SLDК.
  3. SABCD = SABL =

Пятый способ:

Решение.

  1. Через середины сторон AB  и  CD (точки M  и K ) провели перпендикуляры NH  и  PT к основаниям трапеции.
  2. Рассмотрим Δ AMH  и  ΔBMN:  ∟H = ∟N = 900 ,  AM = MB (по условию),  ∟AMH = ∟BMN (как вертикальные), значит, ΔAMH = ΔBMN  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  AH = BN  и  SAMH = SBMN 
  3. Рассмотрим Δ CPK  и  ΔDTK:  ∟T = ∟P = 900 ,  CK = KD (по условию),  ∟CKP = ∟DKT (как вертикальные), значит, ΔCPK = ΔDTK  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  CP = DT  и  S CPK =  S DTK 
  4. SABCD = SHNPT = NHNP

Шестой  способ:

Решение.

  1. Провели диагональ BD. Тогда наша трапеция разбивается на две части: два треугольника  ΔABD  и   ΔBCD.
  2. SABCD = SABD  + S BCD =

Седьмой  способ:

Решение.

  1.  В трапеции даны диагонали AC = d1, BD = d2, ∟COD = .
  2.  ∟AOB = ∟COD (как вертикальные), ∟BOC  = ∟AOD = 1800 – ,  и  = .
  3. SABCD = SABO + SBOC + SCOD + SAOD =   +

 +  +  +  =

=   =

 =   =

 =  =  

=  d1d2.

Восьмой  способ:

Решение.

  1. В трапеции ABCD   MN – средняя линия, т. е.   AM = MB и  CN = ND,  MN =    .
  2. Так как   SABCD =  .

Девятый  способ:

Решение.

  1. Через середину стороны CD  трапеции ABCD  провели перпендикуляр  KM к стороне AB, т. е. CK = KD, KM = q,  AB = d.
  2.   PN AB.
  3. ΔCPK = ΔDNK   по стороне и двум прилежащим к ней углам  (∟CKP = =∟DKN   (как вертикальные,   CK = DK  (по условию),   ∟PCK = ∟NDK   (как накрест лежащие при параллельных прямых),  значит,  SCPK  = SDNK
  4.   SABCD = SABCKN  + SCPK = SABPN  = dq.

Заключение

Наша гипотеза подтвердилась: существуют различные способы нахождения площади трапеции. Рассмотрев некоторые из них, мы сделали следующие выводы:

  1. существуют как простые, так и сложные способы нахождения площади трапеции;
  2. все эти способы нахождения объединяет использование метода площадей;
  3. в каждом из рассмотренных способов доказательства используется метод дополнительного построения;

Следовательно, мы пришли к выводу, что  существует много способов нахождения площади трапеции. При решении задач используется тот метод, который удобен.

Литература

1. Учебник “Геометрия 7–9” , Л.С. Атанасян

2. Рабочая тетрадь “Геометрия 8”, Л.С. Атанасян

3. Учебник “Геометрия 7–9”, автор И.Ф. Шарыгин

4. Учебник “Геометрия 7–9”, автор В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер5. Поурочные разработки по геометрии 8 класс, автор Н.Ф. Гаврилова

6. Тематическое и поурочное планирование по геометрии 8 класс, автор, Т.М. Мищенко.

Приложение

Задачи на площадь трапеции:

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна  Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.

9)  Вычислить среднюю линию трапеции, если известна высота и площадь трапеции.
Решение:

 10) В прямоугольной трапеции (угол А=90 градусов) ABCD, основания равны BC=16см, AD=20см, а боковая сторона CD=12см. Угол CDA=30 градусов. Найти S abcd=?
Решение:

11) В прямоугольной трапеции ABCD (угол C и D равен 90 градусов) BC=CD, AC=10см, AD=8см. Найти площадь трапеции.

Решение:

12) По рисунку найти площадь трапеции.

Решение:
13) По рисунку найти площадь фигуры.

Решение:


14) В равнобокой трапеции ABCD высота 10см, ED=18см. Найти площадь трапеции.

Решение:


Бабочка

Вода может клеить?

Акварельный мастер-класс "Прощание с детством"

Как Снегурочке раскатать тесто?

Будьте как солнце!