Математика и музыка

Старокулаткинская средняя общеобразовательная школа № 1

Учебно-исследовательская работа

По теме: «Математика и музыка»

Выполнил:

Ученик 6 «А» класса

Вальшин Айдар

Учитель математики: Умярова Р. А.

2012год

Оглавление.

1. Введение.

Я учусь в 3 классе музыкальной школы. С большим увлечением посещаю музыкальную школу. Так как это очень важно для меня и интересно, но и в то же время трудно. Теория музыки (сольфеджио) – давалась мне очень не легко. Но когда я стал понимать, и заниматься дополнительно, то я полюбил занятия музыки. В общеобразовательной школе предложили написать исследовательскую работу на тему «Математика и музыка». Я задумался и не знал о чем писать? В какой связи находятся эти, казалось бы, на первый взгляд несовместимые предметы? Как подойти к этой теме? И начал искать материал по данной теме. Показалось интересным найти эти связи, найти ответ. На память пришло когда-то услышанное изречение, что «Математика и музыка - сестры». Каким образом?

2. Восприятие  математики и музыки

Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Отсюда появляется термин «высота звука». Как измерить эту высоту?

Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. И стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. На уроке сольфеджио мы обычно при изучении произведения «прохлопываем » ритм. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. И вот что у нас получится (см. пример). Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4. Проанализировав все произведения музыкальной хрестоматии 3класса, я убедился еще раз в том, что в основе их лежит ритм (3/4, 6/8, 9/8, 12/8, 2/2 и т.д.) В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота(), половинная(), одна четверная(), одна восьмая(), одна шестнадцатая(). Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что  длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты() на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

 =  +  

Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/10

 =  +   +  = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 и т.д.

И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1 = +  +  +  = 4/8 + 1/8 + 8/8 = 13/8 =+  + 

Если все длительности в музыкальном произведении увеличить вдвое, произведение надо исполнять медленнее и наоборот.

 Композитор может сочетать в различных пропорциях звучание различных музыкальных инструментов (струнных, духовых, ударных). На уроке сольфеджио я узнал значении слова «концерт». Это слово обозначает «соперничество, сопереживание». А в концертах часто звучат произведения в исполнении симфонического оркестра. Вот здесь и соблюдаются пропорции солирующего инструмента (фортепиано, скрипка и др.) Значения слов «пропорция» и «пропорциональность» существенно отличаются. В пропорции могут находиться лишь две такие величины, которые можно выразить в общих единицах измерения (например, 30 картин и 2 картины; 2 см длины и     4 см длины и т.д.) Создавая вариации на одну и ту же тему (а вариаций существует 3 типа: мелодические, ритмические, гармонические), композитор может изменять мелодический рисунок, изменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Он может изменить сразу 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией все больше уходя от начальной темы. Тогда может измениться фактура, ритм, регистр, жанр.

        В музыке параллели встречаются в нотах. Прежде всего, это 5 прямых, образующих нотный стан. Почему ноты располагают на параллельных прямых?

В древности музыканты записывали музыку по-разному: при помощи букв, графическими знаками. Они передавали общее направление интонации, но они не могли выразить длительность звучания, изменение по высоте вверх или вниз. Ведь музыканту надо знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки.

Параллельные линии не только в нотном стане, но даже и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: например, струны арф, органные трубы. Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» - «идти рядом».

Параллели находим не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно двумя голосами, т.е. в унисон (например, мужским и женским голосом). Женский будет звучать в верхнем регистре, а мужской голос - в нижнем, а звучать они будут параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.

В математике существуют противоположности:

Отрицательное число – положительное число,

Плюс – минус,

Деление – умножение,

Четное число – нечетное число,

Больше – меньше,

Простое число – составное число и т.д.

В музыке существует еще одна пара противоположностей: медленно – быстро. Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.

         Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие  - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.

         Связь музыки и математики – тема довольно емкая. Мне еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества – математики и музыки. Однако материал, с которым я познакомился, убедил меня в том, что «математика и музыка - сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать. В этом и состоит величайшая сила музыки.

3. Математическая чистота звука.

             Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.

           Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

           Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.

           Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.

           Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа.

4. Симметрия в музыке.

             Симметрия часто используется в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

             «Душа музыки - ритм, он состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г.известный русский физик Г. В. Вульф, - « Правильное же повторение – сущность симметрии».

            Приложим к музыкальному произведению понятие симметрии при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ.

               Гамма до мажор. Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее. Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена.  

5. Ритмы.

Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется как равномерное чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать общим понятием в области науки и искусства.

           Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических ритмов являются периодические дроби (кстати, слово «период» также знакомо музыкантам).

6. Прогрессия

          Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

           Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

           Как ни странно, обе эти прогрессии «живут» и в музыке.

          Интересно, что принцип построения длительностей соответствует принципу построения геометрической прогрессии. И если записать длительности от «целой» (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим:

           В математике такая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, как бесконечная геометрическая прогрессия, модуль знаменателя которой меньше единицы

(в данном случае – ).

Понятие арифметической прогрессии. Связано с музыкальным понятием квинтовый круг

           Квинтовый круг представляет собой логику создания любой тональности. (Для того, чтобы записать музыку в какой-либо тональности, необходимо знать ее тонику и знаки при ключе. Квинтовый круг реализует данные условия).

           Принцип его построения предельно прост: с увеличением тоники тональности на квинту количество знаков в тональности увеличивается на единицу (здесь мы встречаемся фактически с двумя арифметическими прогрессиями).

7. Математический анализ гармонии в музыке.

         Очень давно, начиная с Пифагора, а может быть и ранее, математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки – временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы, поэтому я рискнул бы назвать музыкантов самыми первыми программистами. Впрочем, и в письменном наследии древних культур, пожалуй, только нотные записи, как описание временного процесса, ближе всего к текстам программ. Как в партитурах, так и в текстах программ есть блоки, условия, циклы и метки, только не многие программисты и музыканты знают об этих параллелях. Но, помня об этом, уже нельзя удивляться тому, что инженеры заставляли воспроизводить мелодии самые первые ЭВМ. Правда музыканты не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в ней не было ничего, кроме мертвых звуков. Да и сам машинный звук, являвшийся на первых шагах простым меандром, был крайне далек от звучания акустических инструментов. Видимо поэтому следующим периодом в развитии музыкальных компьютерных технологий стали исследования и разработки методов синтеза звука.

           Инженеры обратились к анализу спектров акустических инструментов и к алгоритмам синтеза электронных тембров. В начале расчет звуковых колебаний выполнялся центральным процессором и крайне редко в реальном времени. Поэтому на первых ЭВМ создание музыкального произведения было очень утомительным процессом. Надо было закодировать ноты и назначить тембры, затем запустить программу для расчета звуковой волны и... подождать несколько часов, чтобы послушать результат. Если музыкант, а точнее программист-оператор, вносил какое-то изменение в партитуру-программу, то ему приходилось снова ждать несколько часов до прослушивания. Понятно, что такая музыкальная практика не могла быть массовой... Но исследователям феномена музыки хотелось пойти дальше, чем применение машины в виде электронной музыкальной шкатулки. Так возникло другое, вполне естественное направление в музыкальном использовании ЭВМ – порождение, генерация самого нотного текста. Если в музыке действительно есть законы и человек-композитор пишет ее по правилам, то наверное и машину, умеющую думать, можно попытаться заставить сочинять музыку?...

           В становлении музыкальных компьютерных технологий все это уже давно история. Что же в этой истории связано с Россией? Оказывается очень многое, если вспомнить о работах Л.Термена, Е.Мурзина, А.Володина, создавших уникальные средства синтеза звука, не «после», а «до» западных коллег, Р.Зарипова, посвятившего свои исследования анализу и генерации нотных текстов, А.Тангяна, работавшего над проблемами распознавания и автонотировки. Причем, это лишь те исследователи, работы которых признаны за пределами России...

8. Заключение

        Примечательно также, что на протяжении многих веков судьбы музыки и математики переплетались, а сегодня музыка «вплетена» и в информатику. Теперь можно не только слушать «неживую» музыку с лазерного диска, но и самому сочинять (на сайте в Internet). Компьютеры могут и придумывать музыку, и оформлять: создавать дополнительные голоса к основной мелодии, заменять один аккомпанемент другим, использовать любые музыкальные инструменты, - словом, выполнять аранжировку. Правда, музыка эта довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые не укладываются в математические каноны. В самом деле, ученые до сих пор не могут сказать, в чем качественное отличие консонанса (приятного для слуха звучания) от диссонанса (неприятного для слуха звучания). Никакие математические анализы не помогают. Никому так и не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Это можно объяснить только тем, что нам неизвестно, что в действительности происходит в голове композитора, создающего шедевр…

          Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.

9. Список литературы

« В тональности ми мажор», Азевич Алексей.

«Рациональность и аффект», Хельга де ля Мотт-Хабер.

«Язык, музыка, математика», Б. Варга. Ю Дюмень, Э. Лопариц.

« Элективные курсы». Издательство «Учитель», 2006 год, г. Волгоград, Л. Сагателова, В. Студенецка.

file://localhost/Математика%20. и %20 Музыка.html.

file://localhost/Математика%20. и %50 Музыка.html.

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков и др. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М., Просвещение, 1993.- С. 153, №926

2. Н. Васюткин. „Золотая пропорция”.  

3. Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.

4.Журнал «Начальная школа»

     5. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1985.

6. Н.Д. Изместьева, Н.Л. Терский.

7. http://www.yandex.ru

8. http://www.google.ru

(Материал из Викицитатника )

В.П. Ковалев "Математика в музыке". Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции  математических основ жизнеустройства.

  О.Н.Макеева Научно-исследовательская работа по теме:   «Математическое представление музыки».

  Интернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki

 Интернет ресурс: Letopisi.ru  Проект «Музыкальная математика»

А. Устинов «Музыка и математика»