Конкурс исследовательских и проектных работ учащихся

Лямбирский муниципальный район РМ

МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа №2»

исследовательская работа

предмет – геометрия

образовательная область - математика

«Способ нахождения объёма прямой призмы через построение прямоугольного параллелепипеда»

                                                                                                                   автор: ученик 7 класса

                                                                                                       МОУ «Лямбирская СОШ №2»

                                                                                                           Плотников Сергей Юрьевич

                                                                                         научный руководитель: Одышева О.В.,

                                                                                                        учитель математики высшей

                                                                                                        квалификационной категории

Лямбирь, 2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение…………………………………………………………………………...3
2. Некоторые факты классической геометрии……………………………………..5
3. Равновеликие и равносоставленные фигуры……………………………………7
4. Фигуры на плоскости и в пространстве…………………………………………8

4.1. Многоугольники……………………………………………………………...8

4.2. Призма, пирамида и их элементы…………………………………………...8

4.3. Постановка вопроса и его геометрическое разрешение…………………...9

4.3.1. Параллелограмм……………………………………………………………10

4.3.2. Ромб…………………………………………………………………………10

4.3.3. Трапеция……………………………………………………………………11

4.3.4. Результаты и выводы исследования……………………………………...12

5. Применение к решению задач…………………………………………………...13
6. Заключение………………………………………………………………………  15
7. Список литературы……………………………………………………………… 17
8. Приложения………………………………………………………………………18

1. ВВЕДЕНИЕ

Игорь Фёдорович Шарыгин сказал: «Высшее проявление духа — это разум. Высшее проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная».

Всё развитие математики представляет собой путь постоянных обобщений. Обобщение может идти по различным направлениям. Иногда оказывается возможным распространить соответствующее утверждение на более широкое  множество объектов. Другим возможным направлением обобщения является перенос некоторого геометрического факта с одних объектов на другие, в частности, выход из плоскости в пространство. Преимущество чисто геометрических методов состоит в том, что они сочетают наглядность и логическую прозрачность. Имеется много различных задач на разрезание и складывание плоских и пространственных фигур – задачи о равновеликих и равносоставленных фигурах, которые исходят от античных геометров. Задачи на разрезание и составление фигур являются не алгоритмизируемыми в общем виде задачами, потому что вывести единый универсальный алгоритм их решения невозможно. Решение таких задач тренирует геометрическое мышление и интуицию. Одними из основоположников этого увлекательного раздела геометрии были Генри Э. Дьюдени, Гарри Линдгрен. Отечественные ученые Л.В. Канторович и В.А. Залгаллер в первой половине прошлого века определили задачу рационального раскроя материалов, которая с успехом востребована и в настоящее время. Ее применение в промышленном производстве дает ощутимый экономический эффект. Исследованию задач на разрезания посвящены работы многих авторов (М. Гарднер, Ж.Г. Дедовец, М.А. Екимова, А.Т. Колотов, Б.А. Кордемский, Ю.А. Шашкин, И.М. Яглом и др.). 

Именно поэтому  я выбрал темой своей исследовательской работы «Способ нахождения объёма прямой призмы через построение прямоугольного параллелепипеда». В ходе исследовательской работы была выдвинута гипотеза, что объём прямой призмы можно найти через объём прямоугольного параллелепипеда, если основание призмы преобразовать в прямоугольник.

Цель исследования

Рассмотреть способ нахождения объёма прямой призмы через преобразование её в прямоугольный параллелепипед.

Объект исследования

Применение теории равносоставленных фигур и задач на разрезание на плоскости к многогранникам определённого вида для нахождения их объёмов.

Предмет исследования

Преобразование различных оснований прямой призмы в прямоугольник и доказательство равносоставленности полученных фигур.

Задачи

1. Изучить литературу по теме исследовательской работы.
2. Рассмотреть частные случаи многоугольников, лежащих в основании прямой призмы.
3. Выявить границы применимости данного способа.
4. Обобщить основные признаки, определяющие возможность преобразования многоугольника в прямоугольник.
5. Получить формулы, позволяющие находить объёмы прямых призм с различными основаниями.
6. Рассмотреть приложение исследуемого материала к решению задач.
7. Использовать современные информационные технологии, в том числе глобальную сеть Интернет.
8. Подготовить презентацию по теме исследования в Power Point.

Методология

Анализ, синтез, сопоставление, наблюдение, моделирование, эксперимент.

2. НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Измерение объемов с незапамятных времен вошло в человеческую практику. Уже в древнеегипетских папирусах содержатся правила определения вместимости житниц египетских фараонов. С тех пор прошло три с половиной тысячелетия, на протяжении которых способы вычисления объемов непрерывно совершенствовались. Правда, математические и практические приемы измерения объемов частенько расходились. Причиной такого расхождения явились разные подходы к понятию объема. Математики ставили своей задачей выразить объем тела через его линейные размеры, а торговцы удовлетворялись мерами, полученными из веса продукта. Любопытно, что в основу меры веса (а следовательно, и объема) у многих народов: индусов, египтян, итальянцев, англичан и других, — был положен вес ячменного или пшеничного зерна. Наиболее показательными являются английские меры. В 1266 году английский король Генрих III своим указом определил, что «с согласия всего английского государства, английский пенни, называемый стерлингом (самая малая монета), круглый и без обрезки, должен весить столько же, сколько 32 пшеничных зерна, взятых в середине колоса, 20 пенни должны составлять унцию, 12 унций — фунт». Нетрудно подсчитать, что здесь фунту соответствовало 7680 зерен. В России применялись свои меры объема: ведро — 12 литров, насадка — 30 литров, бочка — 490 литров. Конечно же, изготовлялись бочки разного объема и формы. Одна из самых замечательных математических работ, посвященных вычислению объемов, была написана выдающимся немецким математиком и астрономом И.Кеплером. Поводом для ее написания явился случай, так описываемый самим Кеплером: «Ко мне пришел продавец с измерительной линейкой, с помощью которой промерил подряд все мои бочки, не обращая внимания на форму, без всяких соображений и вычислений». Исследования Иоганна Кеплера явились продолжением работ знаменитого Архимеда, который умел находить объемы цилиндров, конусов и шаров. Его метод, в дальнейшем развитый итальянским математиком Кавальери (1598 — 1647), состоял в том, что тело представлялось в виде стопки пластинок. Поэтому, если у двух тел все сечения, проведенные на одинаковых высотах, имеют одинаковые площади, то заключалось, что они имеют и одинаковые объемы. Этим методом легко установить, что все пирамиды, имеющие одинаковые высоты и равные площади оснований, имеют и равные объемы.

Определение объема аналогично определению площади плоской фигуры. Что значит найти площадь фигуры? Это значит найти, сколько раз в ней укладывается единичный квадратик. Соответственно, объем тела — это количество единичных кубиков, составляющих это тело. Ясно, что площадь прямоугольника равна произведению его ширины и высоты, а объем прямоугольного параллелепипеда — произведению его измерений. Следующий шаг — определение площади треугольника — совершается с помощью разрезания его на три части, из которых можно сложить прямоугольник, а любой многоугольник всегда можно разрезать на треугольники. Тем самым определяется площадь многоугольника. Любой многогранник также можно разрезать на простейшие фигуры — тетраэдры, но разрезать произвольный тетраэдр на части, из которых можно было бы сложить прямоугольный параллелепипед, никак не получалось. В 1900 году выдающийся немецкий математик Д.Гильберт на II Международном математическом конгрессе сформулировал 23 важнейшие проблемы, требующие разрешения. Среди них был и вопрос о возможности такого разрезания. Почти сразу на него был получен ответ. Оказалось, что такое разрезание возможно лишь в некоторых случаях. В частности, куб и равновеликий ему правильный тетраэдр нельзя разрезать на попарно равные части.

Задачами на разрезание увлекались многие учёные с древнейших времён. Решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома X века, жившего в Багдаде. Геометры всерьёз занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале XX века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э.Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления на разнообразном геометрическом материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

3. РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ

Равновеликие фигуры — это плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма). Равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей. Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновеликими. Венгерский математик Я.Больяй (1832) и немецкий математик П.Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными (теорема Больяй — Гервина). Поэтому разрезанием на части и перекладыванием их можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику. (Приложение 1, рис.1, рис. 2) Равнонозначным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», т. Е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Свойство равновеликости и равносоставленности многоугольников не имеет себе аналогии в пространстве. Два многогранника называются равновеликими, если их объемы равны. Два многогранника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многогранников. Ясно, что два равносоставленных многогранника будут и равновеликими. А вот обратное неверно: равновеликие многогранники не всегда являются равносоставленными. Например, для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход («чертова лестница»), а в современных учебниках – интеграл, определение которого также связано с предельным переходом. Обоснование использования «лишнего» (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1901 М.Ден (М.Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Эти работы были продолжены швейцарским математиком Х. Хадвигером и его учениками. Через два года русскому математику В.Ф.Кагану удалось упростить доказательство. Равносоставленность равновеликих многогранников является исключением; как правило, два равновеликих многогранника не будут равносоставлены.

4. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1. МНОГОУГОЛЬНИКИ

Фигура, составленная из отрезков АВ, ВС, CD, …, FA так, что смежные отрезки (т.е. соседние) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется многоугольником. (Приложение 2, рис. 1) Точки А, В, С, …, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, CD, …, FA – сторонами многоугольника.

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Одну из сторон параллелограмма называют основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма.

  Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. (Приложение 2, рис. 2, рис. 3)

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. (Приложение 2, рис. 4) Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание, называется высотой трапеции.

Правильным многоугольником называется такой многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

4.2. ПРИЗМА, ПИРАМИДА И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

        Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер – вершинами многогранника.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2А3…Аn и В1В2В3…Вn, расположенных в параллельных  плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. (Приложение 3, рис. 3) Многоугольники А1А2А3…Аn и В1В2В3…Вn называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1, А2В2, …, АnBn называются боковыми рёбрами призмы. Они, как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложены друг к другу, равны и параллельны.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Многогранник, составленный из n-угольника А1А2А3…Аn и n треугольников, называется пирамидой. (Приложение 3,  рис. 4) Многоугольник А1А2А3…Аn – называется основанием, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1, РА2, …, РАn – её боковыми рёбрами.

Перпендикуляр, поведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАЗРЕШЕНИЕ

В учебнике математики за 6 класс ( Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.) в рубрике занимательных задач есть задача №834 (стр. 136): Известно, что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы такой же высоты и с таким же основанием. Вычислите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сторонами  дм и  дм, а высота равна 5 дм.

Эта задача очень легко решается, т.к. прямоугольный параллелепипед – это тоже призма, а мы знаем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его измерений.  Значит, Vпирамиды =  = 1 (дм3).

Решая эту задачу, мы сделали вывод, что прямоугольный параллелепипед составлен из двух равных по объёму треугольных призм. И тут же перед нами встали вопросы: из каких ещё многогранников можно составить прямоугольный параллелепипед? Объёмы каких пирамид (с какими основаниями) можно найти по этой же формуле?

Так возникла проблема, которую я решил исследовать известными мне способами (для 7 класса).

Рассмотрим различные многоугольники, которые могут лежать в основании пирамиды, и попробуем составить из них прямоугольник. Значит, тогда можно будет рассматривать прямоугольный параллелепипед и применять известную формулу.

4.3.1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Пусть в основании лежит параллелограмм. Предположим, что из параллелограмма можно составить прямоугольник, если разрезать его на части - на прямоугольник и два  прямоугольных треугольника, и приложить эти треугольники равными сторонами. Докажем справедливость нашего предположения. (Приложение 4, рис 1)

Доказательство.

Пусть ABCD – параллелограмм, тогда AB || DC, AD || BC, AB = DC, AD = BC.

Проведём DD1  AB, DD1  DC и BB1  DC, BB1  AB.

Тогда D1BB1D – прямоугольник, значит, D1B = DB1 и  DD1 = BB1.

AB – D1B = AD1, DC – DB1 = B1C.

Рассмотрим ADD1 и  CBB1:

то ADD1 =  CBB1 (по 3 признаку равенства треугольников)

Теперь попробуем найти объём пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм. Т.к. прямоугольник и параллелограмм равновелики и равносоставлены, то достаточно найти площадь полученного прямоугольника:

Vпризмы = Sh = abh, Vпирамиды =  abh. (Приложение 4, рис.2)

Но нам неизвестна высота многоугольника. Можно сделать вывод, что пока я не могу найти объём этого многогранника, потому что ещё не всё знаю, и необходимый мне материал будет изучен в старших классах.  

4.3.2. РОМБ

Пусть в основании пирамиды лежит ромб. Предположим, что из ромба можно составить прямоугольник, если разрезать его на части по диагоналям и приложить их равными сторонами. Докажем справедливость нашего предположения. (Приложение 4, рис 3)

Доказательство.

Пусть ABCD – ромб, тогда AB || DC, AD || BC, AB = DC = AD = BC, BD  AC. Тогда в результате разрезания по диагоналям получатся 4 равных треугольника (по 3 признаку равенства треугольников: АО = ОС, ВО = ОD, AB = DC = AD = BC). Значит, из ромба можно составить прямоугольник. Найдём его площадь: Sромба = Sпрям = BD  AO = ab, где a и b – диагонали ромба.

        Значит, если нам будут известны диагонали ромба, то мы сможем воспользоваться известной формулой и найти объём пирамиды, в основании которой лежит ромб.

4.3.3. ТРАПЕЦИЯ

а) Пусть в основании лежит прямоугольная трапеция. Предположим, что её можно дополнить до прямоугольника, если разрезать её по высоте, опущенной на большее основание, на прямоугольник и прямоугольный треугольник, и приложить к большей боковой стороне равный прямоугольный треугольник. Докажем правильность нашего предположения. (Приложение 4, рис.4)

        Доказательство.

Пусть в результате разрезания получились фигуры прямоугольник и прямоугольный треугольник. Дополним трапецию до прямоугольника прямоугольным треугольником так, что АА1 || BH, AH || A1B. Мы знаем, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

1. Пусть АА1 || BH, АВ – секущая, то 1 = 2 – накрест лежащие углы.
2. Пусть AH || A1B, АВ – секущая, то 3 = 4 – накрест лежащие углы.
3. АВ – общая сторона.

Значит, АА1В = АВН по второму признаку равенства треугольников.

Тогда Sтрап = Sпрям + Sтр, но Sтр = S1прям .

          Sосн = bh + (a-b)h = h(b + a - b) = h(a + b) = h(a + b).

А) Пусть в основании лежит равнобедренная трапеция. Предположим, что её можно дополнить до прямоугольника, если разрезать её по высотам, опущенным на большее основание, на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, и приложить к боковой стороне равные прямоугольные треугольники. Докажем правильность нашего предположения. (Приложение 4, рис.5)

        Доказательство.

Равенство прямоугольных треугольников доказывается аналогично п.а). Найдём площадь данной трапеции. Т.к. треугольники равны, то S1 = S2.

Sтрап = Sпрям + 2Sтр, Sпрям = bh, 2Sтр = АВ1h , АВ1 = (а – b) : 2 ,

АВ1 + b = (a – b) + b = (a + b), Sтрап = h(a + b).

Мы убедились, что площадь трапеции не зависит от её вида. Значит, если нам будут известны основания трапеции и её высота, то мы сможем воспользоваться известной формулой и найти объём пирамиды, в основании которой лежит трапеция.

4.3.4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Обобщим основные признаки, определяющие возможность преобразования многоугольника в прямоугольник:

Выводы: 

1. Произвольный многоугольник можно преобразовать в прямоугольник, если:

а) его можно разрезать на части, которые будут прямоугольниками и (или) прямоугольными треугольниками;

б) хотя бы две противоположные стороны многоугольника параллельны;

3) хотя бы две противоположные стороны многоугольника равны;

4) разрезание нужно выполнять по прямым линиям перпендикулярно к параллельным сторонам.

2. Если в основании прямой призмы лежит такой многоугольник, то её можно преобразовать в прямоугольный параллелепипед.

5. ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На ребрах АА1 и ВВ1 отмечены точки М и Р соответственно так, что АМ:МА1=10:7 и BP:PB1=1:4. Во сколько раз объем пирамиды PBMD1 меньше объема параллелепипеда? (Приложение 4, рис. 5)

Решение:

I способ

Пусть АА1=(10+7)Х=17Х, BB1=(4+1)y=5y, AB=а, AD=b. Объем параллелепипеда обозначим V1, он равен произведению трех измерений параллелепипеда. Объем пирамиды V2 равен  произведения площади основания пирамиды на высоту пирамиды. Так как параллелепипед прямоугольный, высота пирамиды равна ребру A1D1. Теперь надо найти площадь основания пирамиды, обозначим ее S. MPBA - прямоугольная трапеция. Ее площадь S1 равна произведению полусуммы оснований на высоту. А еще ее площадь можно найти как сумму площадей MPB (S) и MBA (S2). Поэтому площадь MPB можно найти, отняв от площади трапеции площадь MBA. Площадь прямоугольного MBA равна половине произведения катетов. Получаем:

V1 = abh, где h = AA1 = 17X, то V1 = ab(17X).

V2 =S  A1D1, где S = SMPB , S1 = SMPBA =(10X + y)a, S2 = SMBA =(10Xa), то

S = S1 – S2 = (10X + y)a -(10Xa) = (10Xa + ya – 10Xa) = (ya),

V2 = (ya)b = (yab).
AA1 и BB1 - противоположные ребра одной грани, они равны.
Поэтому 17X = 5y, выразим y через X: y = .
Тогда V2 = (yab) = ab = (17Xab).
Теперь найдем отношение объема параллелепипеда к объему пирамиды:

 = (17Xab) : (17Xab) = 30.
Итак, объем пирамиды в тридцать раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: в 30 раз.

II способ

        Рассмотрим пирамиду AA1B1BD, имеющую общую вершину и равную высоту с данной пирамидой PBMD1.

Известно, что VAA1B1BD = V1 , где V1 = VABCDA1B1C1D1 , то V1 =  3VAA1B1BD .

VAA1B1BD = SAA1B1B A1D1, V2 = VPBMD1 = SPBM A1D1.

Найдем отношение объема параллелепипеда к объему пирамиды:

 == = = = = 310 = 30.

Заметим, что положение точки М на ребре AA1 не играет никакой роли.

Итак, объем пирамиды в тридцать раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: в 30 раз.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1) Изучив различные литературные источники, используя современные информационные технологии, в том числе глобальную сеть Интернет, я подобрал много фактов и примеров, иллюстрирующих актуальность выбранной мной темы. Я выяснил, что древняя Греция отличалась особым развитием в области геометрии плоских фигур. Открытие учеными свойств многих фигур использовалось в практической деятельности. Примером применения геометрических свойств стало составление мозаики. Мозаичные изображения составлялись из подручных материалов геометрической формы. В средние века для составления мозаик стали использовать стекло. Но выдувать стекло большого размера не умели, поэтому рамы в картинах были свинцовыми, с мелкими ячейками. Стеклышки располагались в определенном порядке, из которых получался витраж. В наши дни витражи можно увидеть в древних церквях и соборах. Активно используются витражи и в современном искусстве. Картины, которые можно составить с помощью мозаики и витражей, основаны на свойствах равносоставленности.  Эти свойства применяют и при изготовлении детских игрушек. Одной из таких игрушек является калейдоскоп. Действие цветного изображения, увиденного в калейдоскопе, завораживает воображение ребенка, помогает ему развить свою фантазию и внимание. По такому же принципу собираются в фигуру детали конструктора «Лего» и «Танграм». Свойства равносоставленности помогают и в бытовой деятельности. Например, с помощью этих свойств мы сможем составлять кружевные рисунки, разбивать домашний минипарк, красиво оформлять цветочные клумбы, оригинально располагать грядки на пришкольном участке.

2) Поставленную в исследовательской работе цель я постарался достигнуть различными методами, изучая научно-популярную литературу по данной теме, применяя на практике свойства равновеликости и равносоставленности. В ходе исследовательской работы я выяснил, что зная теорию о равновеликих и равносоставленных плоских фигурах, можно эффективно использовать эти знания в практической деятельности, решать логические задачи на разрезание, в которых исходное тело разрезается на определенное число элементов, из которых составляется та или иная фигура. В связи с этим в работе рассмотрены способы деления многоугольников на равновеликие части и  составление из них прямоугольника, обобщены основные признаки, определяющие возможность преобразования многоугольника в прямоугольник, рассмотрено приложение исследуемого материала к решению задач. Многие из предложенных способов широко применимы при решении задач на нахождение площадей фигур. Рассмотренный способ деления на части я постарался обобщить и перенести в пространство для нахождения объёма прямой призмы через построение прямоугольного параллелепипеда. Зная, что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма прямой призмы с такими же основанием и высотой, можно рассмотренный способ применять для вычисления пирамид с разными основаниями.

3) Я считаю, что данная работа может быть использована в любой практической деятельности, связанной с измерением, сравнением, составлением и оценкой величин и площадей фигур. А также на уроках геометрии при изучении свойств различных фигур и при проведении факультативных и кружковых занятий по геометрии.

4) По результатам исследовательской работы я подготовил презентацию по теме исследования в Power Point.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены. Гипотеза, выдвинутая в исследовательской работе, подтверждена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика. 6 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений / Н.Я.Виленкин,

    В.И.Жохов, А.С.Чесноков идр. – М.: Мнемозина, 2009.

2. А так ли хорошо знаком вам объем? // Квант. — 1993. — №1. — С. 40-41.

3. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, сер. Секреты

    преподавания математики, 2002.

4. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина / Сост. А. А. Заславский,

    В.Ю. Протасов, Д. И. Шарыгин. — М.: МЦНМО, 2007.

5. Г. Линдгрен. Занимательные задачи на разрезание, М.: «Мир», 1977.

6. И. М. Яглом. Как разрезать квадрат? М.: «Наука», 1968.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Рис. 1.

Рис. 2.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Фигуры на плоскости и в пространстве.

Многоугольники

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Фигуры на плоскости и в пространстве.

Призма, пирамида и их элементы.

Рис. 3.

Рис. 4.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Постановка вопроса и его геометрическое разрешение.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6. Применение к решению задач.