Всегда ли дважды два четыре?

Муниципальное общеобразовательное  учреждение
«Абазинская средняя общеобразовательная школа №50»

Секция: Математика и информационные технологии.

НАЗВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ:

«Всегда ли 2 · 2 = 4?»

                                                          Автор: Распутина Анастасия,                     учащаяся 7 класса «А»

                                                     Руководитель: Трофимова Елена Иозасовна, учитель математики

г. Абаза, 2011 год

Содержание.

    Введение…………………………………………………………………      3

1. Зарождение математики в древности.…………………………………..     4 - 6

2. Системы счисления ……………………………………………………..      7  

    2.1. Непозиционные системы счисления ………………………………     7 - 8

    2.2. Позиционные системы счисления. …………………………………    8

    2.3. Десятичная система счисления……………………………………..     8

    3.4. Двоичная система …...………………………………………………     8 - 10

3. Всегда ли дважды два  – четыре?.………………………………………  10 - 12

    Заключение………………………………………………………………     13

    Литература……………………………………………………………….     14

Введение.

Числа – это выражение определенного количества чего-либо. Почему позиционные системы счисления оказались самыми удобными в использовании? Почему математика, используя числа, строит самые различные модели систем? Такие вопросы можно задавать до бесконечности.

Чтобы найти ответы, давайте проследим историю развития числа и счёта. И конечно же немного пофантазируем и рассмотрим доказательства.

В данной работе перед собой ставлю следующие цели и задачи.

Цель: выяснить всегда ли дважды два – четыре используя доказательства на простых примерах.

Задачи:

1. Исследовать историю возникновения счёта, появление цифр и систем счисления.
2. Выяснить, что такое система счисления и происхождение десятичной системы счисления.
3. Отыскать другие способы подсчёта предметов и выяснить их происхождение.
4. Провести свои эксперименты по своим версиям.
5. Ответить на вопрос: всегда ли дважды два четыре?

1 Зарождение математики в древности.

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. И.Гёте

Возникновение математических понятий произошло задолго до появления собственно математических текстов.  По мнению авторов «Истории математики», первобытно-пещерным людям, как и высшим животным, доступен «чувственный счет». Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает.

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Так как пальцы всегда при нас, то и считать стали по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног.  Причем, если в странах с холодным климатом наибольше распространение получила «десятеричная» система счёта, то в странах с более тёплым климатом, где не требовалось часто пользоваться обувью, был распространён счет по «двадцаткам». “Двадцатиричные названия у французов и грузин представляют собой пережитки счета двадцатками, при котором считались не только пальцы рук, но и пальцы ног”. Интересно отметить, что в большинстве современных языков “названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах.  Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить еще слова А. Лебега: “Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления”.

Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть.  О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках, как, например: «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» – 7 тоже означало «много». Позже появились особые названия для чисел. Сначала для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.

Итак, десять пальцев рук - вот тот первоначальный аппарат для счёта, которым человек пользовался, начиная с доисторических времён. Таким образом, именно счёт по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем –то само собой разумеющимся.

В 1937 году в раскопках около деревни Вестонице в Моравии (Чехославакия) была обнаружена лучевая кость молодого волка с отметинами. Эта находка старейшая из найденных записей числа (кость относится к ХХХ веку до н.э.). Кость имеет длину в 18 см, на которой высечено 55 глубоких зарубок - параллельных черточек. Видимо, кость служила для записи трофеев первобытных охотников.

Древние шумеры пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

Можно уверенно утверждать, что римские цифры (I, II, III) воспроизводят скорописную запись одной, двух, трех черточек. Однако римская цифра “пять” V, вероятно, “возникла упрощением иероглифа, изображавшего руку”.  Римская же цифра “сто” - С,  является начальной латинской буквой числительного centum.

Обозначение чисел и числовых знаков возникло вместе и на основе иероглифической письменности. Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000ю

В Древней Греции числа 5, 10, 100, 1000, 10000 сначала обозначали буквами  Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения   r r r  Г (35) и т.д. Позднее числа стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку. Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак.

Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи  чисел,  которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Системы счисления.

Понятие числа взято не откуда – нибудь, а только из действительного мира.

 Ф. Энгельс

Так что же такое – система счисления?  Система счисления – символический метод записи чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления: Даёт представление множества чисел.

1. Даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
2. Отражает структуру числа.

В настоящее время их существует очень много. Я расскажу о некоторых. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. 

2.1 Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую образует цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положения цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Славянская система счисления Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией.

Древнегреческая система счисления.  В древнейшее время в Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками I,II, III, IIII Число 5 записывалось знаком Г (древнее начертание буквы "пи", с которой начинается слово "пенте" пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались ГI, ГII, ГIII, ГIIII. Число 10 обозначалось п (начальной буквой слова "дека" десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Н , X , М начальными буквами соответствующих слов. Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000. В III в. до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1—9 обозначались первыми девятью буквами алфавита: числа 10, 20, .... 90 — следующими девятью буквами: Римская система счисления  Эта система счисления появилась в Древнем Pиме. Первые 12 натуральных чисел в римской системе счисления: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII. Примеры записи чисел: XXVIII - 28, MCMXXXV - 1935. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов, в ряде других случаев.

2.2 Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. Развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

2.3 Десятичная система счисления.

Изобретение десятичной системы приписывают древним арабам, развитие индусам.

Причины появления всем понятны. Десять пальцев рук – вот первоначальный аппарат для счёта, которым пользовался человек, начиная с доисторических времён. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счётного аппарата», естественно принять само число десять за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т.д. Таким образом, именно счёт по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся.^[1]

Появление её в Европе датируется примерно 1200 годом нашей эры. Десятичными цифрами выражается время, номера домов, телефоны, цены, показания приборов и т.д. На них базируется метрическая система мер.

2.4 Двоичная система.

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, - это число 2. Соответствующая этому основанию система, называется двоичной, - одна из очень старых. Она встречалась у некоторых племён Австралии и Полинезии. Удобство этой системы – в её необычайной красоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1. А число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами

0+0=0,        0+1=1,        1+1=(10)2

А таблица умножения для двоичной системы имеет вид

Кто как считает? На островах Океании используется одинадцатиричная система счисления. Японцы иногда используют пятеричную систему счисления. Система гадания китайской «Книги перемен» («И – Цзин»), уходит корнями в глубину древности, при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи числа. Двоичная система используется в ЭВМ. Двоичный код - в телеграфии.

По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племён распространена пятеричная система счисления.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

1. 1 — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);
2. 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
3. 3 — троичная;
4. 4 — четверичная;
5. 5 — пятеричная;
6. 8 — восьмеричная;
7. 10 — десятичная (используется повсеместно);
8. 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
9. 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах
10. 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

3. Всегда ли дважды два – четыре?

1. Представьте себе, что мы вместо яблок начали считать зайцев. Сначала запустили в загон двух зайцев, затем еще двух. Пока они забегали, у одной родился зайчонок - и стало их пятеро.

 И не удивляйтесь…  В наше время можно сомневаться даже, казалось бы в прописных истинах, но на этот раз будьте внимательны. Это не шутка!

2. Для некоторых задач это условие (2х2=4) не выполняется. Согласитесь, что окружив атомную бомбу миллионом датчиков и тысячью самых современных компьютеров, все равно не удастся подсчитать число вылетевших из килограмма урана нейтронов.

Согласитесь, что все расчеты, в том числе и дважды два, имеют смысл только в том случае, если мы успеваем считать быстрее, чем меняется число объектов.

3. Вспомним весеннюю капель, когда при падении четырёх капель можно получить одну и сколько угодно.

Значит, закон 2х2 = 4 работает только для твёрдых не проницаемых друг в друга тел.

Давайте попробуем разобраться с этим случаем.

1) Дано: Всё, что только может быть дано... 
Доказать: Что ни в сказке сказать, ни пером описать:2*2=5 
Доказательство:

Что и требовалось доказать!!!

2) Докажем, что 2+2=5?
0=0
15-15=10-10
15-9-6=10-6-4
3*(5-3-2)=2*(5-3-2)
одинаковые множители сокращаются
и получается????
3=2
3+2=2+2
5=2+2
2+2=5

Вопрос: Где ошибка?

Ответ: одинаковые множители не сокращаются.

3) Еще одно доказательство:

4:4=5:5
4*(1:1)=5*(1:1)
(2*2)*(1:1)=5*(1:1) сокращаем на (1:1)
2*2=5

2*2=5
Доказательство:
то есть 4=5
25 - 45 = 16 - 36
Далее прибавим (9/2)^2 ко обеим частям уравнения:
25 - 45 + (9/2)^2 = 16 - 36 + (9/2)^2
5^2 - (2*5*9)/2 + (9/2)^2 = 4^2 - (2*4*9)/2 + (9/2)^2
(5-9/2)^2 = (4-9/2)^2, обе части положительны, можно извлечь квадратный корень 
5 - 9/2 = 4 - 9/2
Далее прибавим 9/2 ко обеим частям уравнения:
5 = 4 что и требовалось доказать
Следовательно 2*2 = 5 
2+2=5
Доказательство:
Пусть 2+2=5.
2*1 + 2*1 = 5*1
Распишем 1, как частное равных чисел:
1 = (5-5)/(5-5)
Тогда:
2*(5-5)/(5-5) + 2*(5-5)/(5-5) = 5*(5-5)/(5-5)
Умножим левую и пpавyю части на (5-5), тогда:
2*(5-5) + 2*(5-5) = 5*(5-5)
Отсюда:
0 + 0 = 0 
...что и требовалось доказать.

4. Закон 2х2 = 4 не может выполняться в двоичной и троичной системе счисления, при доказательстве нарушается порядок и правила!

Следовательно, многие научные проблемы заходят в тупик именно потому, что изучив в школе "простые" вещи, часто забывают или не запоминают, что область применения данной формулы, закона, понятия ограничена.

Заключение.

Дважды два – не всегда четыре. Софизм - ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным (доказательство, что два умножить на два равно 5)

1. результате изучения истории счёта, я узнала, как появились цифры и системы счисления.
2. Выяснила, что такое система счисления и происхождение десятичной системы счисления.
3. Узнала, что есть другие способы подсчёта предметов, используя разные системы счисления, и выяснила их происхождение.
4. Узнала, как люди отвечают на вопрос, который меня интересует (Всегда ли 2*2=4?).
5. Провела свои доказательства по своим версиям.
6. Нашла ответ на интересующий меня вопрос.

Данная работа мне помогла разобраться с вопросом, решить все поставленные задачи, а так же научила доказывать неопределённое определённым.

Список используемых источников:

1. Винер Н. Я - математик. [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.ega-math.narod.ru/Wiener/ch01.htm
2. Депман И.Я. МИР ЧИСЕЛ. [Электронный ресурс]/ И.Я. Депман  Мюнхен.: «Im Werden Verlag». Некоммерческое электронное издание – 2004. – Режим доступа- http://www.koob.ru/depman_i_ya/mir_chisel
3. Ермилов А. Математические представления у первобытных народов / А. Ермилов. // сайт автора [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://nounivers.narod.ru/pub/ae_math.htm
4. История математики [Электронный ресурс] - Режим доступа http://ru.wikipedia.org/wiki
5. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия.[Текст] В 3-х тт. Т.1./ Под ред. А.П. Юшкевича. М.,“Наука”. 1970
6. Кольман, Ж.Э. История математики в древности [Текст] / Ж.Э. Кольман М.: Физматгиз. -  1961
7. С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — (Популярные лекции по математике).
8.  Шейнина О.С., Соловьева Г.М.,  Математика [Текст]/ О.С. Шейнина, Г.М., Соловьева – М.: Из-во НЦ ЭНАС, 2003 -  ISBN – 5-93196-092-9