Многогранники
Презентация составлена как учебное пособие по теме правильные многогранники: есть теоретический материал, дополнительные сведения, установлены межпредметные связи, подобраны задачи ЕГЭ по теме
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 mnogogranniki.pptx | 2.76 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело.
История Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани являются равными правильными многоугольниками; В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Изображение Название Число сторон у грани Число рёбер Число граней Число вершин Тетраэдр 3 6 4 4 Гексаэдр (куб) 4 12 6 8 Октаэдр 3 12 8 6 Додекаэдр 5 30 12 20 Икосаэдр 3 30 20 12
Теорема Эйлера Теорема: Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г = 2
Звёздчатые многогранники Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников грани попарно соединяются в рёбрах. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.
Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например Снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.
Правильные звёздчатые многогранники Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.
Звёздчатый октаэдр Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров.
Звёздчатый додекаэдр Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, а образует новый многогранник.
Звёздчатый икосаэдр Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Звёздчатый кубооктаэдр Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
Звёздчатый икосододекаэдр Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм. Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники.
Многогранники в архитектуре
Египетские пирамиды Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величественные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей. А между тем они были действительно сложены из отдельных каменных глыб, как в наше время дети складывают пирамиды из кубиков.
Башня Сююмбике Башня Сююмбике находится в Казани и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники.
Мечеть Кул-Шариф Одна из главных мусульманских мечетей республики Татарстан и Казани. Расположена на территории Казанского кремля. Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.
Спасская башня Кремля Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.
Многогранники в архитектуре нашего города
Многогранники в природе
Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба.
Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.
Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.
Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.
Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.
Интересные факты Нить, проволока и любая иная линия — это уже одно- мерные предметы: у них есть длина. Сфера в пространстве одного измерения — это две точки на прямой: центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними. Представители двумерного мира имеют и длину и ширину — это ленты, куски ткани, листы бумаги. Окружность, граница двумерного круга — вот что такое сфера в пространстве двух измерений.
И наконец, кубы, пирамиды, дома, корабли и самолеты , так же, как и мы с вами, входят в неисчислимую армию «трехмерцев », обладающих вдобавок к длине и ширине еще и высотой. У них есть объем. Сфера в трехмерном пространстве — это шар, «обычная» сфера. Но вот что любопытно. Проволоку можно сломать, лист бумаги разрезать, а куб распилить. И при этом получается , что одномерная поверхность — линия — разделяется поверхностью нулевого измерения — точкой. Двумерная плоскость делится надвое одномерной линией, а трехмерный куб — двумерной плоскостью. Иными слова- ми, границей «разлома » тела служит какое-то другое тело , измерение которого на единицу ниже.
Задания ЕГЭ ,В9 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Решение: V1-V2 = 3 * 2 * 1 - 1 * 2 * 1 = 4 Ответ: 4.
2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Решение: Пусть сторона основания равна a (в основании правильный треугольник - по условию), тогда Sосн = a2 √3 /4, а объем воды V=Sосн * h= Sосн * 16= 4a2√3. Если сторону основания увеличить в 4 раза, то площадь основания второй призмы станет S= (4a)2 * √¯3 / 4= 16a2 √¯3 / 4= 4a2 √¯3. Разделим объем воды на эту площадь и получим высоту уровня воды: h1=V / S= 1. Ответ: 1.
. 3.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18. Решение: Vцилиндра = Sоснования * h; Vконуса = Sоснования * h / 3, т.е. объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.Vцилиндра = 18 * 3 = 54. Ответ: 54.
4.Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Решение: объем большого конуса V1 равен πR2H/3 = 64. В маленьком конусе: r=R/2, h=H/2, т.о.V малого конуса = п(R/2)2 * (H/2) /3 = пR2/4 * H/2/3 = пR2H/3 /8= 64/8 = =8 Ответ: 8.
Выполнила ученица 10а класса МОУ СОШ №4 Кузнецова Полина , под руководством Янченко Оксаны Викторовны
Колумбово яйцо
Музыка космоса
«Течет река Волга»
Как нарисовать зайчика
Большое - маленькое