Проект по алгебре "Проценты"

Слайд 1

Слайд 2

История процентов. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5 % избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75 %, промышленное производство сократилось на 11,3 %, уровень инфляции составляет 8 % в год, банк начисляет 12 % годовых, молоко содержит 3,2 % жира, материал содержит 60 % хлопка и 40 % полиэстера и т. д. Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum , что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Слайд 3

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно сto . Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Слайд 4

Нахождение процентов. Три основных действия: 1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти а % от в, надо в·0,01а. П р и м е р. 30 % от 60 составляет: 60·0,3 = =18.

Слайд 5

2. Нахождение числа по его процентам. Если известно, что а % числа х равно в, то х = в : 0,01а П р и м е р. 3 % числа х составляют 150. х = 150 : 0,03; х = 5000.

Слайд 6

3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %: Пример: сколько процентов число 45 составляет от числа 70. (45/70)*100=64%

Слайд 7

Основные сокращённые процентные отношения. 100 % = 1 12,5 % = 5 % = 50 % = 200 % = 2 1 % = 25 % = 10 % = Р а з л и ч н ы е о б о з н а ч е н и я: 18 % 0,18 р % 0,01 р

Слайд 8

Задачка. Задача 1. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара? Р е ш е н и е. Пусть первоначальная цена товара а, тогда: а – 0,3а = 0,7а – цена товара после снижения, 0,7а + 0,7а·0,3 = 0,91а – новая цена. 1,00 – 0,91 = 0,09 или 9 %. Используя формулу (*), получим: О т в е т: цена снизилась на 9 %.

Слайд 9

Формула сложных процентов. Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов: в = а (1 + 0,01 р ) п, где а – первоначальное значение величины; в – новое значение величины; р – количество процентов; п – количество промежутков времени. Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так в = а ·(1 + 0,01 р 1)(1 + 0,01 р 2) … (1 + 0,01 рп ).

Слайд 10

Процентные вычисления в жизненных ситуациях. Задача про распродажу: Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре? Р е ш е н и е. Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р., т. е. 360·0,85 = 306(р.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 р., т. е. 306·0,9 = 275,4 (р.). О т в е т: 275 р. 40 к. Д о п о л н и т е л ь н ы й в о п р о с: На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт? Р е ш е н и е. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5 %. Значит, зонт подешевел на 23,5 %. О т в е т: 23,5 %.

Слайд 11

Задача про тарифы. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 27 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %. Р е ш е н и е. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545… Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5 %. О т в е т: да, соответствует. Д о п о л н и т е л ь н ы й в о п р о с. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если эта услуга сейчас оценивается в 5 р. 50 к? Р е ш е н и е. Цена услуги увеличивается на 14,5 %, т. е. станет 5,5·1,145 = 6,3 (р.). О т в е т: 6 р. 30 к.

Слайд 12

Банковские операции. Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество – выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц. Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада.

Слайд 13

Простые и сложные проценты. Простые проценты. Увеличение вклада So по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада So независимо от срока хранения и количества начисления процентов. Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него So рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы So . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет So · p /100 рублей и величина вклада станет равной S = So (l + p /100) рублей; р % называют годовой процентной ставкой.

Слайд 14

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, So , но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами . Sn = So (1 + p /100) n , где n = 1, 2, 3…

Слайд 15

Задача про вклады. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12 %, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? Р е ш е н и е: Воспользуемся формулой сложных процентов: , получим = 2000·1,126 = 2000·2508,8 = 3947,65 (р.) О т в е т: 3947 р. 65 к.

Слайд 16

Задачи на смеси, растворы, сплавы. Связь различных задач между собою станет яснее, если рассматривать типичные ситуации в общем виде. При решении задач данного типа используются следующие допущения: 1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются равенства: V = V1 + V2 – сохраняется объем; m = m1+ m2 – закон сохранения массы. 2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора). 3.Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: а = т/M . Отсюда получаем т = аМ , М = т/а . Понятие доли чистого вещества можно вводить следующей условной записью:

Слайд 17

Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Заметим, что складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя. Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с = а ·100 %, а = с /100 %. Полезно знать формулу, по которой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов): где п – концентрация, mв – масса вещества в растворе (сплаве), mр – масса всего раствора (сплава).

Слайд 18

Задача. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор? Р е ш е н и е. Пусть х – количество воды, которое надо добавить. Новое количество раствора – (50 + х ) г. Количество соли в исходном растворе 50·0,08 г. Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50 + х ) г, т. е. 0,05(50 + х ) г. Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли». 50·0,08 = 0,05·(50 + х ), 50·8 = 5·(50 + х ), 80 = 50 + х , х = 30. О т в е т: 30 г.

Слайд 19

Исторические задачи. 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг? О т в е т: 60 сестерциев. 2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80 % суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику? О т в е т: 140 р.

Слайд 20

Задачи с литературными сюжетами. 1. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия. О т в е т: 4800 рублей. 2. В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15 % годовых. Вычислите, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. О т в е т: 606 833,6 франка.

Слайд 21

Экзаменационные задания. 2009 год. Работа №1, вариант 2, задание 5. В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 1,5 раза. В какой библиотеке книг стало больше? А. В первой библиотеке Б. Во второй библиотеке В. Книг осталось поровну Г. Для ответа не хватает данных

Слайд 22

Работа №5, вариант 1, задание 2. После уценки телевизора его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая? А. 0,8% Б. 8% В. 20% Г. 80% Работа №6, вариант 2, задание 5. Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. а) б) в) 0,4 г)0,04 1) 40% 2) 25% 3) 80% 4)4%

Слайд 23

Работа № 10, вариант 2, задание 5. При получении денег через банкомат банк удерживает 3% от снятой суммы. Сколько всего денег будет снято со счёта клиента, если он получает через банкомат а р.? А. а -0,03 а р . Б. а +0,03 а р. В. 0,03 а р. Г. а р. Задание 7.49. 1) В свежих яблоках 80% воды, а в сушёных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? 2) Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушёных абрикосах 25% воды. Работа № 2, часть 1, вариант 2. Что больше: 25% учащихся школы или 0,2 учащихся этой школы? А. 25% учащихся Б. 0,2 учащихся В. Эти числа равны Г. Данных для ответа недостаточно

Слайд 24

Задачи ЕГЭ 2005 года. 1 . Вариант 626. Во время сезонных распродаж цена товара ежедневно снижалась на 10 % по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813 рублей меньше первоначальной? Р е ш е н и е. 3000(1 – 0,1) х = 2187 0,9 х = х = 3. О т в е т: цена снижалась три раза.

Слайд 25

2 . Вариант 622. Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30 000 рублей и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная им сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный». Р е ш е н и е. 30 000(1 + р )3 = 39 930 (1 + р )3 = (1 + р )3 = 1,13 р = 0,1 0,1·100 % = 10 %. О т в е т: на 10 %.

Слайд 26

3 . Вариант 224. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки – на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж? Р е ш е н и е. 1,2 х + 1,7 у = 1,35( х + у ), где х р. – стоили лыжи два года назад; у р. – стоили ботинки два года назад. у = О т в е т: 70 %.

Слайд 27

Задачи тестирования для 9 класса. 1. В первой смене летнего лагеря отдыхали 550 школьников. Во второй смене число мальчиков сократилось на 4 %, а число девочек увеличилось на 4 %. Всего же во второй смене отдыхало 552 школьника. Сколько мальчиков отдыхало в первой смене? О т в е т: 250 мальчиков. 2. Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га угодий. После увеличения площади посевов пшеницы на 10 % и уменьшения площади посева ячменя на 8 % занимаемая ими площадь стала равной 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля? О т в е т: 50 га. 3. На складе хранилось 500 м3 досок и бруса. После продажи 10 % досок и 15 % бруса осталось 445 м3 пиломатериалов. Сколько кубических метров досок продали? О т в е т: 40 м3.

Слайд 28

4. Две фракции областной думы объединяли 60 депутатов. При раздельном голосовании по законопроекту проголосовали «против» 15 % членов первой фракции и 10 % – второй, а поддержали законопроект 52 депутата этих фракций. Сколько депутатов входит в первую фракцию? О т в е т: 40 депутатов. 5. В двух школах поселка училось 640 мальчиков. Через год число мальчиков в первой школе увеличилось на 5 %, а во второй – уменьшилось на 10 %, а общее количество мальчиков стало равным 612. Сколько мальчиков училось в первой школе первоначально? О т в е т: 240 мальчиков. 6. На двух поддонах лежало 15 000 штук красного и белого кирпича. На строительство перегородки было израсходовано 85 % красного и 90 % белого кирпича, после чего осталось 1830 кирпичей. Сколько красных кирпичей было первоначально? О т в е т: 6600 штук.

Слайд 29

Выполнила ученица 8в класса МОУ СОШ №4 г. Комсомольска-на-Амуре: Кузнецова Полина. Под руководством: Янченко Оксаны Викторовны.