Кантьемы и их применение при решении нестандартных задач

Тезисы.

Название работы:«Кантьемы и их применение при решении

                               нестандартных задач»

Ф.И.О. участника: Маклакова Екатерина Александровна

Образовательное учреждение: МОБУ СОШ №1 г.Баймака

Класс: 8

Ф.И.О. научного руководителя: Ильясова Фируза Мужавировна

     Цель исследования: Найти общую формулу для представления кантьемов (дробей с числителем, равным 1) в виде разности кантьемов

и выявление класса задач, где можно применить данную формулу.

     Задача исследования: Поэтапное исследование кантьемов, знаменатели которых представляют произведение 2-х,3-х,4-х ,…,нескольких натуральных множителей, как инструмент для достижения цели исследования.

      1. Задача математического турнира Архимеда 2004 года.

      2. Постановка проблемы.

      3. Определение кантьема.

      4. Представление кантьема, знаменатель которого произведение

          двух натуральных чисел, в виде разности двух кантьемов.

      5. Выдвижение гипотезы ,ее проверка и доказательство для

          кантьемов из п.4.

      6. Представление кантьема, знаменатель которого произведение

          трех последовательных натуральных чисел,отличающихся на

            на одно и то же натуральное число, в виде разности кантьемов.

      7. Выдвижение гипотезы ,ее проверка и доказательство для

           кантьемов из п.6

      8. Выдвижение гипотезы ,ее проверка и доказательство для

            кантьемов, знаменатели которых представляют произведение

            k+1множителей: последовательных натуральных чисел,

            отличающихся на одно и то же число.

      9. Выдвижение гипотезы и ее проверка для кантьемов, знаменатели

             которых-произведение любых натуральных чисел.

     10. Применение полученных выводов –формул для решения

              нестандартных задач следующих видов:

               1) вычисление сумм;

               2) упрощение выражений;

               3) доказательство равенств;

               4) доказательство неравенств.

      11. Задачи, составленные автором данной работы и решения

                некоторых из них.

1. Выводы.

    Использованная литература:

1. Задания математических турниров и олимпиад.
2. « Подготовка к математическим олимпиадам» А.В.Фарков.
3.  «Сборник заданий по математике для 8-9-х классов» М.Л.Галицкий.
4. «Алгебра и начала анализа,10-11 класс» А.Н.Колмогоров.
5.  «Занимательная математика, нескучный учебник» С.Акимова.        

Министерство образования Республики Башкортостан

Научно-исследовательская работа на тему:

«КАНТЬЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ».

                                                                        Научный руководитель:

                                                                    учитель математики

                                                                             МОБУ СОШ №1 г.Баймака

                                                      Ильясова Ф.М.

                                                  Выполнила:

                                                              ученица 8 в класса

                                                                             МОБУ СОШ №1 г.Баймака

                                                                     Маклакова Екатерина

2008 год

1.  Задача математического турнира Архимеда 2004 года:

     Вычислите сумму  где nN

   Проблема: нельзя ли представить каждую дробь этой суммы в другом виде, нет ли какого-нибудь алгоритма?

   Эти дроби похожи тем, что у них числители равны 1.

    Древние египтяне такие дроби ,т.е. дроби с числителями равными 1,называли кантьемами.(«Занимательная математика», С.Акимова) Воспользуемся этим названием.

      Гипотеза 1:

      Проверка гипотезы  

       Значит формула верна

       Постановка новой проблемы: если знаменатель представляет

   произведение различных натуральных чисел, нельзя ли вывести

   для таких случаев общую формулу?

       Рассмотрим дроби-кантьемы .знаменатели которых представляют

    произведение двух натуральных чисел .

    Например  

     Кантьем  представим через разность

       ==    Значит   Аналогично получим

      Гипотеза 2:кантьемы, знаменатели которых представляют произведение натуральных чисел, отличающихся на число d тоже можно представить в виде разности кантьемов следующим образом

Проверка гипотезы 2:      

Получили общую формулу для всех кантьемов с двумя натуральными множителями в знаменателе.

   Постановка новой проблемы: а если знаменатель-произведение трех последовательных натуральных множителей, отличающихся на дно и то же натуральное число, можно ли представить такой кантьем в виде разности кантьемов?

   Рассмотрим дроби   и т.д.Разница между множителями в знаменателе  равна 1.

Получим  = так как  

                  так как  

                    Аналогично  

     Гипотеза 3:  

     Проверка  

  Гипотеза 3  подтвердилась.

Рассмотрим дроби, разница между множителями которых равна 2.

             и т. д.

              так как

  Аналогично  

Гипотеза 4:

Проверка :  ч.т.д.

Гипотеза 5:Кантьемы,знаменатели которых произведение трех натуральных множителей ,разница между которыми равна числу d

можно представить следующим образом

Проверка:

   Из предыдущих гипотез вытекает следующее предположение-гипотеза 6 ,что любой кантьем, знаменатель которого-произведение k+1 последовательных натуральных множителей, отличающихся на

 число d, можно представить следующим образом

Доказательство:

ч.т.д.

  Итак, мы получили общую формулу для всех кантьемов ,построенных подобным образом.

  Рассмотрим кантьемы, знаменатели которых представляют произведение  любых  последовательных натуральных чисел и поставим такой же вопрос: можно ли их представить в виде разности кантьемов?

     Возьмем дроби

  Гипотеза 7: 

   Проверка гипотезы:  

     Значит любой кантьем можно представить в виде произведения

2-х множителей , один из которых дробь со знаменателем, равным разности последнего и первого множителей исходного кантьема а второй представляет разность кантьемов.

Применение полученной формулы при решении нестандартных задач

1.   Нахождение суммы.

        Найдите сумму

2.   Упрощение выражений.

       Упростите выражение

3.   Доказательство равенств.

   Докажите:

     Доказательство: 

1. Доказательство неравенств.

Докажите, что

   Так как

                   то

Задачи,составленные автором:

1.     Задачи на нахождение суммы.

1)    

2)      

3)      

4)    

 Решение:

2.  Задачи на упрощение выражений:

1)  

2)  

3.   Докажите равенства:

1)  

2)    

4.     Докажите неравенства:

1)    

2)     ,где n

   Решение:      

                    Значит

   Вывод.

  Итак, получены формулы , с помощью которых любую дробь-кантьем можно представить в виде произведения 2-х множителей , что намного упрощает  решение нестандартных задач на нахождение суммы, упрощение выражений, доказательство равенств и неравенств, составленные из кантьемов.  

Использованная литература.

             1.  Задания турнира Архимеда 2004 года;

             2. «Готовимся к олимпиадам по математике» А.В.Фарков;

             3. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, А.Н.Колмогоров;

             4. «Сборник задач по алгебре  для 8-9 классов» М.Л.Галицкий.

         5.  «Занимательная математика , нескучный учебник»

                   С.Акимова.