Научный проект школьника по теме "Задачи с параметром"

КГУ «средняя школа имени Комарова»

                                         Научный проект

             Задачи с параметром

                         Выполнила ученица

                                    10 класса Пустовар Илона.

                                 Руководитель: Сысоева

                               Надежда Степановна

                                    с.Новая Шульба

                                             ВКО

                                         2011 год

                             Содержание.

1.Отзыв учителя о работе………………………………………..стр

2.План работы над проектом…………………………………….стр

3.Введение………………………………………………………...стр

4.Понятие параметра……………………………………………..стр

5.Линейная функция с параметрами…………………………….стр

6. Зависимость веса человека от его роста……………………..стр

7. Квадратичная функция………………………………………..стр

8. Квадратные уравнения с параметрами ………………………стр

9. Применение квадратичной функции…………………………стр

10. Геометрия пчелиных сот……………………………………..стр

11.Сыры……………………………………………………………стр

12.Шар и круг……………………………………………………..стр

13.Поилка для коров………………………………………………стр

14.Консервная банка………………………………………………стр

15.Заключение……………………………………………………..стр

16.Литература……………………………………………………..стр

17.Приложения…………………………………………………….стр

                        Отзыв учителя о работе.      

  Для жизни в современном обществе важным является формирование математического                                                                                                                                                           стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.  Автор проекта выбрала интересную тему, достаточно хорошо раскрыла практическую значимость, что свидетельствует о глубине знаний по данной теме. В процессе решения задач с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, показаны навыки исследовательской деятельности. Задачи, представленные в данном проекте, интересны и часто не просты в решении, проявляется степень новизны в исследованиях.                                                                                        Автор проекта  выдвинула гипотезу, обосновать практическую значимость данной темы и в результате огромной работы ей удалось это обосновать и доказать

                                      План работы над проектом

1.    Формулирование темы, которая  должна быть не только актуальны по    своему значению, но и оригинальны, интересны по содержанию.                                  

2.    Подбор и изучение основных источников по теме.

3.    Составление библиографии (литературы).

5.    Обработка и систематизация информации.

6.     Проведение исследований.

7.      Обработка и оформление результатов исследований.

8.      Консультации в процессе написания проекта.

9.  Консультации по публичному выступлению учащегося с результатами      исследования.(защита проекта).

10.    Составление презентации для представления проекта.

11.  Анализ проекта.

                                       Введение

Цель проекта: на основании теоретического анализа и

практического исследования выявить, обосновать и оптимизировать условия  применения  задач с параметрами для практических  задач .

Задачи проекта: развитие исследовательской компетентности посредством освоения новых знаний, выходящих за рамки школьной программы, по теме «Задачи с параметрами», убеждение в практической значимости этих знаний не только в математике, но и в жизни.

 Актуальность: Наше время называют эпохой математизации знаний. Математические методы исследования находят всё более широкое применение во множестве областей знаний и практической деятельности. Овладение любой современной профессией требует знаний по математике.

Задачи с параметрами являются прообразами тех научно – исследовательских заданий, которыми предстоит заниматься нам в будущем на разных этапах профессиональной подготовки. Теоретическое изучение и математическое моделирование процессов в различных областях человеческой деятельности часто приводит к сложным задачам, в которых «много» различных неизвестных, которые по существу и представляют собой параметры.

Кроме того, работа над проектом позволит мне  выполнять такие творческие задания, которые можно применять в тех областях, которые меня интересуют (а не только в математике).

При решении задач с параметрами приходится все время производить различные по степени сложности  последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи - незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи.

Гипотеза

Исследовать практическую значимость задач с параметрами.

Методы исследования:

 - изучение дополнительной литературы по данному вопросу;

- наблюдение в повседневной жизни;

-проведение собственных исследований.

                                       Что такое параметр?

Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax2+bx+c=0), то обратим внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Например, в уравнениях    и    при   равенства не выполняются при любых значениях переменной , а в уравнения при   их левые части не определены. Иногда допускается рассмотрение значения   во всех приведенных случаях, а также, исключающие его в двух последних, вводя понятие допустимых значений переменной  .

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ, либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.                                                                                                                                        Я хочу начать рассмотрение задач с параметрами с простейших. Таковыми являются задачи, модель которых - линейная функция   , где  – независимая переменная,  и  - некоторые числа, которые выражают зависимость между координатой тела, которая двигается прямолинейно и равномерно, и временем ее движения:   , где  – начальная координата,  – проекция скорости тела; между стоимостью машины и числом лет ее эксплуатации:  , где  - начальная стоимость,  - годовая амортизация. Прямая пропорциональность  выражает зависимость между давлением жидкости  , плотность которой   , и высотою столба жидкости  :  , где g=9,8  ; между мощностью тока P и его силой I при постоянном напряжении U:   .

Задача 1. Как себя будет вести прямая   , если параметр  является постоянным, а параметр  – увеличивается? уменьшается?

Задача 2. Как себя будет вести прямая, если параметр  является постоянным, а параметр   – увеличивается? уменьшается?

По какому принципу построены данные графики?

У  функций данных графиков параметр   постоянный, при увеличении данного параметра график перемещается вверх, при уменьшении- вниз.

Прямые параллельны между собой.

Графики пересекаются в одной точке
, , если , то точка пересечения лежит выше оси  , если , то она  лежит ниже оси  .

Многие связи по своей природе, то есть в реальной жизни, либо являются строго линейными, либо их можно привести к линейному виду. Один пример линейной связи из области медицины ещё одним, уже знакомым нам примером является линейная связь между весом и ростом. При условии наличия достаточного количества респондентов, на основании измеренных пар значений можно вывести уравнение регрессионной прямой, к которой более или менее приближается множество точек, соответствующие парам значений.

Корреляция - (correlation) - (в статистике) степень, с которой какая-либо одна характеристика воздействует на другую, причем эти характеристики являются взаимосвязанными и образуют пару. Такие парные характеристики могут быть представлены на графике в виде ряда точек.

Я провела исследование зависимости веса от роста учеников школы, проанализировала результаты по выборке в 62 человека. Данную зависимость можно считать линейной. Данные исследования  (приложение№1).

          Корреляция веса и роста по выборке в 62 ученика.

            Графическое решение уравнения с параметром.    

Достойное место в решении уравнений с параметрами  занимает графический способ.                                                                                                                        Решить уравнение:   .

При    уравнение не имеет решения. Рассмотрим случай    и построим графики двух функций     и   .

Из графиков видим, что при  ,   уравнение имеет один корень. При   графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня:

   и    

                          Квадратичная функция                                                                                                                                                            

Квадратичной  функцией называется ф-ция вида   ,  где - независимая  переменная,   –некоторые числа, причём  .  

Проблема.

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа   ?

Задача: Исследовать различные случаи расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

      Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число , а другой больше, чем число  (т.е. точка   лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число , а другой больше, чем число  (т.е. точка   лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

Пример.При каких значениях параметра    корни квадратного уравнения

    лежат по разные стороны от числа 2?

Решение.

Рассмотрим функцию   .