Пособие по изучению графиков продолжение 10-11 класс, факультатив

Слайд 1

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №9 с углублённым изучением отдельных предметов г. Чехов Московской области. Авторы: Татаринцев В. Крюков А. Руководитель Карпенко А.П. Тема: « Наглядный справочник по изучению графиков с примерами ». продолжение 2008 Проектная работа

Слайд 2

графики функций и их свойства Кривые как траектория движения точки. Проверочная работа – игра « Математический Black Jack » Графики и их свойства 7-8 класс. Проверочная работа – игра « COMIX’S GRAPHICS » Графики и их свойства 9-10 класс. Графики и их свойства 11 класс. Проверочная работа – игра « Игра график » Проверочная работа – игра « Математическая гонка » Основные свойства Список литературы

Слайд 3

Логарифмическая функция Y = log а x , где а>0, a ≠ 1

Слайд 4

01 Область определения (0 ; ∞) (0 ; ∞) Область значений R R Четность , нечетность : Функция не является ни четной , ни нечетной нули У=0 при x=1 У=0 при x=1 Промежуток знакопостоянства Y >0 при x є (0;1), y <0 при x є (1; ∞) Y >0 при x є (1; ∞), y <0 при x є (0;1) Промежутки монотонности Функция убывает при x є (0;∞) Функция возрастает x є (0 ; ∞) Экстремумы нет нет График функции проходит через точку (1 ;0) (1 ;0) асимптота X=0 X=0 Замечание. Логарифмическая и показательная функции с одним и тем же основанием а являются взаимно обратными функциями . свойства логарифмической функции.

Слайд 5

Показательная функция Y = a x , где a>0, a ≠ 1

Слайд 6

Свойства показательной функции При а =1 функция y = a x является постоянной: 1 x =1 при x є R . Область определения: R Область значений (0;∞) Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной Нулей нет Промежуток знакопостоянства : y >0 при x є R Промежутки монотонности При 0< а<1 функция убывает при x є R . при а>1 функция возрастает при x є R Экстремумов нет График функции проходит через точку (0;1) Асимптота : y=0

Слайд 7

Свойства степенной функции а>0 а<0 Область определения [0 ; ∞ ) ( 0 ; ∞ ) Область значений : [0 ; ∞ ) ( 0 ; ∞ ) Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной Нули : Y=0 при x=0 Нулей нет Промежуток знакопостоянства : y > 0 при x є ( 0 ; ∞ ) Промежутки монотонности функция возрастает при x є [0;∞) функция убывает при x є (0;∞) экстремумы Нет Нет График функции проходит через точку (0 ;0), (1;1) (1;1) асимптоты X=0 и y=0

Слайд 8

Пример №1 Y=|log 3 (|x-2|)| построение: 1) y=log 3 x 2 ) y=log 3 |x| симметрия относительно оси y 3) y=log 3 (|x-2|) параллельный перенос на 2 ед. в право 4) y=|log 3 (|x-2|)| симметрия относительно оси x

Слайд 9

Y=log 3 x Y=log 3 |x|

Слайд 10

Y=|log 3 (|x-2|)| Y=log 3 (|x-2|)

Слайд 11

Пример №2 Построение: 1) 2) Параллельный перено c вдоль оси y на ед вниз. 3) Инверсия относительно оси у

Слайд 14

Самостоятельная работа Построить графики функций: ВАРИАНТ I ВАРИАНТ II № 1 №1 y=e x ;y=2 -x № 2 №2 Y=log 3 (|x-3|)

Слайд 15

ответы ВАРИАНТ I № 1 №1 ВАРИАНТ II

Слайд 16

ответы ВАРИАНТ I № 2 №2 ВАРИАНТ II

Слайд 17

Пример №1 Пример №2

Слайд 18

Математическая гонка Новая игра

Слайд 19

Правила игры. Математическая гонка рассчитана на трех игроков, или на три команды. После того, как каждый игрок выбрал свою машинку, учитель засекает время. И гонка начинается. В данной гонке предложено пройти три этапа. После прохождения всех этапов, игрок затративший меньше всех времени, объявляется победителем. далее

Слайд 20

Надо выбрать одну машинку. I этап

Слайд 21

Определить к какой функции принадлежат свойства. Область определения: R Область значений (0;∞) Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной Нулей нет Промежуток знакопостоянства : y >0 при x є R Промежутки монотонности При 0< а<1 функция убывает при x є R при а>1 функция возрастает при x є R Экстремумов нет График функции проходит через точку (0;1) Асимптота : y=0 Ответы: степенной логарифмической показательной

Слайд 22

а>0 а<0 Область определения [0 ; ∞ ) ( 0 ; ∞ ) Область значений : [0 ; ∞ ) ( 0 ; ∞ ) Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной Нули : Y=0 при x=0 Нулей нет Промежуток знакопостоянства : y > 0 при x є ( 0 ; ∞ ) Промежутки монотонности функция возрастает при x є [0;∞) функция убывает при x є (0;∞) экстремумы Нет Нет График функции проходит через точку (0 ;0), (1;1) (1;1) асимптоты X=0 и y=0 Определить к какой функции принадлежат свойства. Ответы: степенной логарифмической показательной

Слайд 23

Определить к какой функции принадлежат свойства. Ответы: степенной логарифмической показательной 01 Область определения (0 ; ∞) (0 ; ∞) Область значений R R Четность , нечетность : Функция не является ни четной , ни нечетной нули У=0 при x=1 У=0 при x=1 Промежуток знакопостоянства Y >0 при x є (0;1), y <0 при x є (1; ∞) Y >0 при x є (1; ∞), y <0 при x є (0;1) Промежутки монотонности Функция убывает при x є (0;∞) Функция возрастает x є (0 ; ∞) Экстремумы нет нет График функции проходит через точку (1 ;0) (1 ;0) асимптота X=0 X=0

Слайд 24

Начать сначала выход конец игры

Слайд 25

Начать сначала выход конец игры

Слайд 26

Начать сначала выход конец игры

Слайд 27

I Этап II этап далее III этап

Слайд 28

I Этап II этап далее III этап

Слайд 29

I Этап II этап далее III этап

Слайд 30

Добро пожаловать во второй этап далее

Слайд 31

Добро пожаловать во второй этап далее

Слайд 32

Добро пожаловать во второй этап далее

Слайд 33

Определить точку пересечения графиков (графический способ). Y=log 3 x Y=-x+1 Ответы: 2) А(0;3) 3) А(2;1) 1) А(1;0)

Слайд 34

Определить точку пересечения графиков (графический способ). Y= 5 x Y=6-x Ответы: 2) А( 4 ;3) 3) А(2; 3 ) 1) А(1; 5 )

Слайд 35

Определить точку пересечения графиков (графический способ). Y=2 x Y=4 Ответы: 2) А( 2 ; 4 ) 3) А(2;1) 1) А( 5 ;0)

Слайд 36

I Этап II этап далее III этап

Слайд 37

I Этап II этап далее III этап

Слайд 38

I Этап II этап далее III этап

Слайд 39

Добро пожаловать в третий этап далее

Слайд 40

Добро пожаловать в третий этап далее

Слайд 41

Добро пожаловать в третий этап далее

Слайд 42

ПОСТРОИТЬ И ОПРЕДЕЛИТЬ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКОВ Y=log 3 (|x-3|) Y=x+1 Ответы: 1) А(2;0) 2) А(0;1) 3) А(3;3)

Слайд 43

ПОСТРОИТЬ И ОПРЕДЕЛИТЬ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКОВ Y=log 3 (|x-1|) x=-2 Ответы: 1) А(2;0) 2) А( -2 ;1) 3 ) А( -2 ;3)

Слайд 44

ПОСТРОИТЬ И ОПРЕДЕЛИТЬ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКОВ Y=log 3 (|x-4|) x=1 Ответы: 1) А(1;0) 2) А( 1 ;1) 3) А(1;3)

Слайд 45

финиш далее

Слайд 46

финиш далее

Слайд 47

финиш далее

Слайд 48

Конец игры.

Слайд 49

графики функций и их свойства Кривые как траектория движения точки. Проверочная работа – игра « Математический Black Jack » Графики и их свойства 7-8 класс. Проверочная работа – игра « COMIX’S GRAPHICS » Графики и их свойства 9-10 класс. Графики и их свойства 11 класс. Проверочная работа – игра « Игра график » Проверочная работа – игра « Математическая гонка » Основные свойства Список литературы

Слайд 50

Кривые как траектории движения точек Кривые с древних времён привлекали к себе внимание учёных и использовались ими для описания различных природных явлений – от траектории брошенного камня до орбит космических тел.

Слайд 51

В школьном курсе математики из всего многообразия кривых рассматриваются только графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам, возрастанию, убыванию и т.п. Геометрические же свойства остаются в стороне даже для таких известных, как парабола , гипербола и др. Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрическое представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии, создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук. В курсе математики рассмотрены некоторые кривые, определяемые как геометрические места точек. Среди них: парабола , гипербола и др. Мы предлагаем материал о кривых, которые не рассматриваются при проведении такого курса.

Слайд 52

Рассмотрим кинематический способ образования кривых, при котором кривая получается как траектория движения точки. Пусть окружность радиуса R катится по прямой а ; С-точка, закреплённая на окружности, в начальный момент времени находящаяся в положении А . Кривая которую описывает точка, закреплённая на окружности, катящейся без скольжения по прямой, называется циклоидой. Циклоида

Слайд 53

Для изображения циклоиды отложим на прямой а отрезок АВ , равной длине окружности, т.е. АВ =2π R .Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2, …,А8 = В. Ясно, что когда окружность, катясь но прямой а , сделаем один оборот, т.е. повернётся на 360 о ,она займёт положение (8), а точка С переместится из положения А в положение В . Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернётся на 180 о , она займёт положение (4), а точка С переместится в самое верхнее положение С4. Если окружность повернётся на угол 45 о , то окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1.

Слайд 54

На рисунке показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45 о . Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклоиды, соответствующий оному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т.е. циклоида будет состоять из периодически повторяющихся участков ,называемых арками циклоиды .

Слайд 55

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде . Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колёса капли будут лететь по касательной (оранж.) к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста. Первым, кто стал изучать циклоиду Галилео Галилей (1564-1642). Он же придумал и название. Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о них.

Слайд 56

Свойство 1. (Ледяная гора). В1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время. Искомую кривую назвали «брахистохроной», т.е. кривой кратчайшего времени. Ясно, что кратчайшим путём из точки А в точку В является отрезок АВ. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим .

Слайд 57

Скорость набирается тем быстрей, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения. Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г. Лейбниц, И.Ньютон, Г. Лопиталь и Я. Бернулли. Они доказали, что искомой прямой является перевернутая циклоида. Методы, развитые этими учеными при решении задачи брахистохроне, положили начало новому направлению математики- вариационному исчислению.

Слайд 58

Свойство2. ( Часы с маятником). Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйген (1629-1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой. По которой движется шарик, является окружностью.

Слайд 59

Искомой прямой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, изготовить желоб в форме перевернутой циклоиды и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды. За это свойство циклоиду называют также «таутохрона» - кривая равных времен.

Слайд 60

При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды. Из этого свойства циклоиды, в частности, следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и тоже время.

Слайд 61

П усть С -точка, закреплённая на окружности, в начальный момент времени находится в положении A . Разделим неподвижную окружность на 8 равных частей точками А1,А2,…,А8=А. Кардиоида

Слайд 62

Ясно, что когда окружность сделает один оборот, т.е.повернётся на 360о, она займёт исходное положение, и точка С переместится в исходное положение. Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернётся на 180 о , она займет положение (4), а точка С переместится в положение С 4. Если окружность повернётся на угол 45 о , окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1 . На рисунке показаны также другие точки кардиоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45 о . Соединяя плавной кривой посторонние точки, получим кривую, соответствующую одному полному обороту окружности. При следующих оборотах окружности точка С будет описывать ту же самую кривую.

Слайд 63

На рисунках показаны траектории движения точек в случаях, когда отношение радиусов катящейся и неподвижной окружности равно: а)1 : 2; б)1 : 3; в)1 : 5.

Слайд 64

Улитка Паскаля Рассмотрим теперь кривую, называемую улиткой Паскаля в честь знаменитого французского физика и математика Блеза Паскаля. Ее используют для решения трудных геометрических задач. Для того, чтобы получить улитку Паскаля поступим следующим образом. Возьмем окружность радиуса a и на ней некоторую точку A .

Слайд 65

Вокруг точки A будем вращать луч AC . Пусть его вторая точка пересечения с окружностью будет точка B . По обе стороны от точки B будем откладывать на луче один и тот же отрезок b . Геометрическое место концов этих отрезков М и М1 и будет улиткой Паскаля.

Слайд 66

Составим уравнение улитки Паскаля. Для этого возьмем систему координат и построим окружность радиуса a с центром в точке P ( a , 0). Точку A – центр вращения расположим в начале координат. Пусть концами отрезка b , отложенного от точки B , будут точки M и M 1. Они будут текущими точками улитки Паскаля. Обозначим координаты текущей точки M через x и у .

Слайд 67

Для того чтобы вывести уравнение улитки, надо алгебраически записать через координаты x и у текущей ее точки то свойство, которое ее определяет. Из рисунка видно, что треугольники ABC и ANM прямоугольные. Имеем : Но AM = , AN = x, AC = 2a, AB = AM – BM = AM – b = - b. Отсюда можем записать: Освобождаясь от знаменателя, находим: x 2 + y 2 – b = 2 ax . x 2 + y 2 – 2 ax = b Чтобы избавиться от знака радикала, возводим обе части уравнения в квадрат. Находим: ( x 2 + y 2 – 2 ax ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) . Это и есть уравнение улитки Паскаля .

Слайд 68

На рис. 1, 2, 3 построены три улитки Паскаля, согласно трем возможным случаям: b <2 a , b =2 a , b >2 a .

Слайд 69

Задача. Построим улитку Паскаля, заданную уравнением в полярных координатах ρ= m + ncos Возьмём, например m =1 , n =2 . Уравнение улитки и ее образа (гиперболы) при инверсии [ O , 1] будут ρ =1+2 cosφ , ρ=1/(1+2 cosφ ). Преобразуем уравнение гиперболы, вводя декартову прямоугольную систему координат, в которой осью Ох является полярная ось. Тогда имеем (х-2/3) 2 /1/9-у 2 /1/3=1.

Слайд 70

Это гипербола, центр которой (2/3,0), а полуоси а=1/3, b =1/ .Т.к. b /а = , то асимптоты гиперболы наклонены к оси Ох под углом ±π/3. При φ = ±2π/3 в уравнении улитки ρ =1+2 cosφ радиус-вектор ρ обращается в нуль. Поэтому асимптоты гиперболы параллельны касательным к петле улитки в начале координат. Улитка, гипербола и окружность К инверсии делят плоскость на 14 областей. Улитка и гипербола пересекаются в семи точках, три из них лежат и на окружности инверсии; четыре остальных P , P ’, Q , Q ’ не лежат на окружности инверсии и соответствуют друг другу при инверсии относительно окружности К . Прямые ОРР’ и О QQ ’ можно разбить области D 1 и D 1’ , которые будут соответствовать друг другу при рассматриваемой инверсии. Эти же прямые делят области D 3, D 3’ и D 4, D 4’ каждую на две части, друг другу соответствующие при инверсии [ O , 1].

Слайд 71

Построим кардиоиду ρ = 1 + Cos φ уравнение которой задано в полярных координатах. При инверсии [O, 1] , где О – полюс полярной системы координат, образом этой кардиоиды является парабола, уравнение которой в той же полярной системе координат имеет вид: ρ = Если ввести декартову прямоугольную систему координат, принимая полярную ось за ось Ox , то последнее уравнение примет вид y 2 = 1 - 2x. Исходя из этого уравнения построена парабола.

Слайд 72

Кардиоида ρ = 1 + Cos φ, парабола y 2 = 1 - 2x и окружность K инверсии делят плоскости на шесть областей. Соответствие этих областей при инверсии относительно окружности K указано на рисунке. Области D1 υ D1’ и D3 υ D3’ односвязны и инвариантны при инверсии относительно окружности K (D1 и D1’, D3 и D3’ ) . Область D2, ограниченная частью кардиоиды и дугой параболы, переходит в область D2’ , образованную точками, лежащими и вне кардиоиды и вне параболы. Обратно, при рассматриваемой инверсии область D2’ переходит в область D2 .

Слайд 73

графики функций и их свойства Кривые как траектория движения точки. Проверочная работа – игра « Математический Black Jack » Графики и их свойства 7-8 класс. Проверочная работа – игра « COMIX’S GRAPHICS » Графики и их свойства 9-10 класс. Графики и их свойства 11 класс. Проверочная работа – игра « Игра график » Проверочная работа – игра « Математическая гонка » Основные свойства Список литературы

Слайд 74

Игра «Математический Black Jack » Правила игры: Игрок должен набрать наибольшее количество очков до 21. Отвечая на вопросы игрок зарабатывает очки. Каждому вопросу соответствует определенное количество очков. Наверху карты указано количество очков за правильный ответ, внизу – за неправильный. В игре принимают участие два ученика. Данная игра предпологает присутствие крупье (учитель или другой ученик), ведущего подсчет очков. Игрок 1 Игрок 2

Слайд 75

7 4 5 2 Выберите карту 9 3 11 5 выйти

Слайд 76

Пользуясь графиком определить название кривой: Циклоида Кардиоида Улитка Паскаля

Слайд 77

Правильный ответ

Слайд 78

Неправильный ответ

Слайд 79

Определить график функции заданной в полярных координатах формулой: r = a(1 – Cos φ) a a o p a O p a a a p

Слайд 80

Построить на отдельных листах кривую заданную в полярной системе координат формулой: ρ 2 = 2 Cos 2 φ . Проверь результат построения 2 p O

Слайд 81

Какая функция является параболой? y = 3x + 6 y = x 2 y = Cos 3 φ

Слайд 82

7 4 5 2 Выберите карту 9 3 11 5 выйти

Слайд 83

Правильный ответ

Слайд 84

Неправильный ответ

Слайд 85

Построить на отдельных листах кривую заданную в полярной системе координат формулой: ρ = 1 – Cos2 φ . 1 1 o Проверь результат построения

Слайд 86

На рисунке изображена кардиоида, каково отношение радиуса катящейся окружности к радиусу неподвижной? 1:2 1:3 1:5

Слайд 87

От чего зависит период колебаний часового маятника? От скорости колебаний От длины нити маятника От амплитуды

Слайд 88

Какая функция является гиперболой? y = 2/(x 2 + 3) y = 2x 2 + 5x - 8 y = 1/ x