СОДЕРЖАНИЕ.

Введение………………………………………………………………… 2

История Паркета…………………………………………………………4

Паркет из правильных многоугольников……………………………...5

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа…………………………………….....6

II. Замощение окрестности точки двумя   правильными многоугольниками ……………………………………………………..8

III.Замощение окрестности точки тремя    правильными многоугольниками …………………………………………….12

IV.Замощение окрестности точки тремя    правильными многоугольниками …………………………………………….14

V.Замощение окрестности точки пять и шестью    правильными многоугольниками ……………………………………………..14

Вывод……………………………………………………………………..16

Заключение……………………………………………………………....17

Используемая литература……………………………………………….18

Приложение……………………………………………………………...19

Введение

          В начале прошлого столетия великий» французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия! ». Сегодня уже в начале  21 столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки,   интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Все это создано руками человека, вооруженного геометрическими знаниями.                                                                                                                                                              На уроках геометрии мы изучали тему «Многоугольники», и я решила выяснить, где можно найти применение этой темы. Если посмотреть вокруг, то можно увидеть, что в настоящее время  для оформления интерьера квартир широко используют паркет. Паркеты имеют разную форму и   окраску. Мне стало интересно, как создаются паркеты и как это связано с геометрией.    На уроках геометрии  изучается тема: «Многоугольники». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать эти многоугольники вокруг себя: паркет, линолеум, кафельная плитка, геометрические орнаменты в художественных изделиях, в оформлениях книг. А сколько же их может быть этих паркетов, встал передо мной вопрос? Как их так мудро и красиво соединяют? Этот материал мы еще не изучали, и передо мной встала

цель: подробно изучить паркеты.

 Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.

Задачи:

1. Изучить литературу, интернет-ресурсы по заданной теме.

1. Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
2. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.
3. Оформить презентацию для защиты работы.

      Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

      Объект исследования  - паркеты.

     Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.

История Паркета

          Во все времена и у всех народов в строительстве интерьера полам и их убранству уделялось большое внимание. Еще в древние времена в Египте, Индии, Китае, и во многих других странах создавали прочные и красивые полы. В средние века «паркету» стали уделять больше внимания, он стал неотъемлемой частью новых домов, дворцов и замков. Но своего художественного совершенства пол из «дубовых кирпичей» достигает к началу XVII века в разных странах Европы. Следует отметить, что художественная форма паркета тесно связана с общим стилистическим развитием искусства и архитектуры.

        В общественных зданиях Древней Руси полы делали из дерева, досок или из «деревянных кирпичей». Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название «елочка», а сам пол называли «косящатым». Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.

        Так, уже в XVII в. наиболее распространенным приемом укладки паркета был способ, называемый «дубовым кирпичом»: паркетины в форме кирпичей укладывали на известковой основе, швы между дубовыми кирпичами заливали известью, смешанной со смолой. Вдоль стен иногда делали дубовый бордюр. Такой паркет знали на Руси и раньше, он уже был известен по Дмитровскому собору во Владимире, по храму Василия Блаженного и Донскому монастырю в Москве. Но в отличие от тех полов к концу XVII в. он стал более искусным в художественном отношении. Паркет начала XVIII в. связан с русской резьбой. Высокохудожественная резьба по дереву и металлу процветала в XVII в. в московских мастерских Оружейной палаты. В 1711 г. Петр I закрыл эти мастерские, а всех резчиков перевел в Петербург на корабельные верфи. Эти кадры мастеров и были использованы адмиралтейством при изготовлении паркетов петербургских дворцов. Паркет — лицевой слой пола, настилаемый по определенному рисунку из отдельных строганых дощечек (клепок). Паркетом называют также и сам материал, из которого выкладывается паркетный пол. Полы из паркета настилаются в жилых и общественных зданиях, они отличаются красивым внешним видом, малой тепло- и звукопроводностью. 

Паркет из правильных многоугольников

        Итак, чтобы определить кол-во правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны».

Что же называется правильным паркетом?

     Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда n-2∙180°– сумма всех внутренних углов многоугольника.  αn=n-2n∙180°- каждый угол правильного многоугольника.  

    Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360.

Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

I. Замощение окрестности точки плоскости правильными многоугольниками одного типа.

1. Паркеты, состоящие только  из правильных треугольников.

Количество сторон: n=3;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=3-23∙180°=60°

Количество многоугольников: 360°:60°=6 – натуральное число.

2. Паркеты, состоящие из правильных четырехугольников (квадрат).

Количество сторон: n=4;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=4-24∙180°=90°

Количество многоугольников: 360°:90°=4 – натуральное число.

3. Паркеты, состоящие из правильных пятиугольников.

Количество сторон: n=5;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=5-25∙180°=108°

Количество многоугольников: 360°:108°=3,(3) – ненатуральное число.  

4. Паркет, состоящие из правильных шестиугольников.

Количество сторон: n=6;

Угол многоугольника: αn=n-2n∙180°=6-26∙180°=120°

Количество многоугольников: 360°:120°=3 

Итак , величина угла правильного n-угольника определяется по формуле  αn=n-2n∙180°

Используя эту формулу , для различных значений получаем следующие величины углов правильных n-угольников

Для того чтобы определить  , при каком значении αnвокруг данной точки укладывается целое число углов , надо определить , для каких значений αn 3600 делится на это число.  Значит из результатов расчета следует это возможно только при αn=600, 900,1200.

II. Замощение окрестности точки двумя   правильными многоугольниками

Выясним условия , при которых окрестность точки можно замостить без пропусков и перекрытий комбинациями разных правильных многоугольников. Так величина углаαn должна быть  60°≤αn≤180°.

3600:3=1200<1800 , следовательно, наименьшее количество правильных многоугольников , которые можно уложить , чтобы покрыть окрестность точки, равно3.

3600:6=600<1800. Значит наибольшее количество правильных многоугольников , которые можно уложить , чтобы покрыть окрестность точки, равно 6.

1. Пусть n1 – количество треугольников,  n2– количество квадратов. Чтобы составить паркет  должно выполняться равенство 600 n1+900 n2=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов

1. тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.

1. Пусть n1 – количество треугольников, n2 – количество шестиугольников. Чтобы составить паркет  должно выполняться равенство 600 n+1200m=3600

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов двумя

1. двумя треугольниками и двумя шестиугольниками ;
2. четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.

2. Обозначим n1 – количество квадратов, m – количество восьмиугольников, Чтобы составить паркет  должно выполняться равенство 900 n1+1350 n2=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

III.Замощение окрестности точки тремя    правильными многоугольниками

 Пусть окрестность точки замощена правильными многоугольниками только трех типов : n1—угольниками, n2—угольниками, n3—угольниками.

Пусть  n1≤ n2≤ n3. Так как правильный многоугольник с наименьшим количеством углов – это треугольник, то n1≥3,.

αn1=(n1-2)∙180°n1, αn2=(n2-2)∙180°n2,  αn1=(n3-2)∙180°n3

(n1-2)∙180°n1+(n2-2)∙180°n2+(n3-2)∙180°n3=360°.

(n1-2)n1+(n2-2)n2+(n3-2)n3=2

1n1+1n2+1n3=12

Расмотрим четыре возможных случая :

1)n1=3   , тогда1    3+1n2+1n3=12,  1n2+1n3=16.

При n2=6, уравнение  не имеет решение

при n2<6,     1n2+1n3>16 уравнение  не имеет решение

при n2<6,     1n2+1n3<16 уравнение  не имеет решение

Итак, получили , что  62<12. Используя эту оценку , получаем следующие случаи:

Сразу исключим случай  n1=3, n2=11, n3=13,2.

Применим следующую теорему : Вокруг правильного многоугольника с нечетным количеством сторон невозможно последовательно уложить многоугольники двух типов, т.е. с разными количеством сторон, с чередованием типов.

Значит, Можно замостить плоскость вокруг одной точки только комбинацией: n1=3, n2=12, n3=12.

2) n1=4   , тогда1    4+1n2+1n3=12,  1n2+1n3=14.

Аналогично , получилим , что  42<8. Используя эту оценку , получаем следующие случаи:

Значит, Можно замостить плоскость вокруг одной точки только комбинацией: n1=4, n2=6, n3=12 и n1=4, n2=8, n3=8

3)n1=5  , тогда1    5+1n2+1n3=12,  1n2+1n3=310.

4) n1=6,  1    6+1n2+1n3=12,  Решением данного уравнения будет n1=6, n2=6,  n3=6.

Эта комбинация реализуется правильными шестиугольниками

IV.Замощение окрестности точки тремя    правильными многоугольниками

Пусть окрестность точки замощена  правильными многоугольниками только четырех типов : n1—угольниками, n2—угольниками, n3—угольниками, n4— угольниками.

Пусть  n1≤ n2≤ n3≤.n4  Так как правильный многоугольник с наименьшим количеством углов – это треугольник, то n1≥3,.

αn1=(n1-2)∙180°n1, αn2=(n2-2)∙180°n2,  αn3=(n3-2)∙180°n3. αn4=(n4-2)∙180°n4

(n1-2)∙180°n1+(n2-2)∙180°n2+(n3-2)∙180°n3+(n4-2)∙180°n4=360°.

1n1+1n2+1n3+1n4=1

Из этого уравнения и ограничений n1возможны следующие комбинации:

V.Замощение окрестности точки пять и шестью    правильными многоугольниками

Пусть окрестность точки замощена  правильными многоугольниками только четырех типов : n1—угольниками, n2—угольниками, n3—угольниками, n4— угольниками, n5—угольниками

Пусть  n1≤ n2≤ n3≤.n4≤n5  Так как правильный многоугольник с наименьшим количеством углов – это треугольник, то n1≥3,.

αn1=(n1-2)∙180°n1, αn2=(n2-2)∙180°n2,  αn3=(n3-2)∙180°n3. αn4=(n4-2)∙180°n4, αn5=(n5-2)∙180°n5

(n1-2)∙180°n1+(n2-2)∙180°n2+(n3-2)∙180°n3+(n4-2)∙180°n4+(n5-2)∙180°n5=360°.

1n1+1n2+1n3+1n4+1n5=32

Из этого уравнения и ограничений n1возможны следующие комбинации:

Все комбинации возможны.

Замощение окрестности  шестью правильными многоугольниками возможно только для случая n1=n2=n3=.n4=n5  =3.

Вывод

1. Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов, следующими правильными многоугольниками:

   - шестью правильными треугольниками

   - четырьмя квадратами

   - тремя правильными     шестиугольниками  

- тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.

- треугольниками и двумя шестиугольниками ;

-  четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.

- одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками

- треугольника и 12-угольников

-квадрата и  двух восьмиугольников

-двух треугольников и  двух шестиугольником.

-одного треугольника , двух квадратов и шестиугольника

-тремя треугольниками и двумя квадратами

- четырьмя треугольниками и шестиугольником

Количество паркетов , состоящих из правильных многоугольников конечна. Следовательно, моя гипотеза была неверна.

Заключение

     В результате изучения научной литературы о паркетах я подробно изучила паркеты, поняла принципы их построения, научилась строить паркеты с помощью компьютерных программ, сделала вывод, что правильных паркетов одиннадцать, увидела их широкое применение в жизни людей, обнаружила связь геометрии и информатики.

     В результате изучения данной темы я поняла, что существует бесчисленное множество паркетов, но правильных только одиннадцать. Назначение своей работы я вижу в её использовании на занятиях элективных курсах, уроках и внеклассных мероприятиях.

          В процессе работы я узнала много нового, интересного. Данная тема дала мне возможность математического, информационно-технологического творчества, и уже поэтому я оцениваю свою работу: хорошо выполненной.

     Кроме того, полученные результаты довольно интересны и открывают широкие перспективы дальнейшего развития работы и применения полученных результатов.

     Применение исследовательской работы:

 Использование данной исследовательской работы в строительстве и ремонте жилых помещений.

Используемая литература:

1.Геометрия 7 – 9 , учебник для общеобразовательных школ.П.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и другие,13 – е издание, Просвещение , 2003 г.

2.А.Н.Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал

 "Квант" №3, 1970

3. http://ru.wikipedia.org/wiki

4.http://netnotes.narod.ru/math/parket1.html

5.Совертков П.И., Слива М.В.,Хохлов Д.Н. Геометрический паркет на экране компьютера. Журнал "Информатика и образование", 9-2002.

Приложение

                                         Некоторые формы паркетов

УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Правильные паркеты

                                                                            Автор работы: Алдарова Динара

                                                                    учащаяся 8 «В»  класса

                                                                                МАОУ СОШ №11Чайковский

                                                                             Руководитель:Батуева Л,Н.,

                                                                учитель математики  МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год