Государственное образовательное учреждение №321

Реферат по математике

на тему: «Матрица и матричные вычисления»

                     Выполнила:  ученица 9 в кл.

                                                               ГОУ СОШ № 321

Центрального района

                                                                       Винокурова Дарья

                                                          Учитель: Буровникова В.Ю.

Санкт-Петербург

2011г.

Оглавление

1.Матричная алгебра        

1.1.        Матрицы        

1.1.1.        Основные сведения о матрицах        

1.1.2.        Виды матриц        

2.1. Операции над матрицами        

2.1.1. Умножение числа на матрицу        

2.1.2. Сложение матриц одинакового размера        

2.1.3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число        

2.1.4. Вычитание матриц одинакового размера        

2.1.5. Умножение матрицы на матрицу        

2.1.6. Транспонирование матрицы        

2.1.7. Свойства транспонирования матрицы        

3.1. Определители квадратных матриц.        

3.1.1. Введение определителя        

3.1.2. Свойства определителей        

4.1. Обратная матрица        

4.1.1. Свойства обратных матриц        

5.1. Матрицы элементарных преобразований        

5.1.1. Типы матриц элементарных преобразований        

6.1. Метод Гаусса        

1.Матричная алгебра

1. Матрицы

Матричная алгебра является важным элементом математических расчетов.

1. Основные сведения о матрицах

Определение. Матрицей с размерами m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами  матрицы. Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например A, B, C, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца. Числа i и j определяют расположение элемента aijв  матрице A и играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел.

Например, матрица

имеет m строк и n столбцов.

Набор

Называется i-й строкой матрицы A, а набор

называется j-м столбцом матрицы A. Любые строки и столбцы матрицы A, в свою очередь, являются матрицами.

Две матрицы А и В одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается как А=В.

2. Виды матриц

Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0.

Матрица, состоящая из одной строки                               , называется матрицей – строкой или вектором.

Матрица, состоящая из одного столбца               , называется матрицей – столбцом или также вектором.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы aij, у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными и образуют главную  диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

- диагональная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается E. Например, матрица

является единичной матрицей четвертого порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше и ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Произвольная матрица вила                  , составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной. Например, матрица

является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка.

Матрица может содержать своими элементами другие матрицы. Например, матрица

может быть записана в виде                  , где                      - матрица - строки исходной матрицы.

Квадратная матрица A n-го порядка называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству:

где  

2.1. Операции над матрицами

2.1.1. Умножение числа на матрицу

Эта операция производится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.

Произведением числа на матрицу              называется матрица               такая, что

Элементы матрицы В вычисляются по формуле                  

где

Замечание.  Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть даны матрица А и число α:

А =       -12384-2    57    , α = 3

Произведением матрицы А на число α является матрица

C = α × A =   -3692412-6   1521

2.1.2. Сложение матриц одинакового размера

Соответствующие элементы матриц складываются.

Суммой матриц А =(aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такая, что C = A + B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле cij = aij + bij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2,…, n.

Пример.  

Пусть даны матрицы А и В:

А = -2330-1234-3    215  ,                  B =    21-53242-35    6-1-2   .

Их суммой, согласно определению, является матрица

C =  -04-2316512    803   .

2.1.3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число

Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β— некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) α (А + В) = αА + αВ;

4) (а + Р)Л = аЛ + (ЗЛ;

5) (αβ)A = (αA)β;

6) А + О = А, где О — нулевая матрица;

7) 0×A =0.

2.1.4. Вычитание матриц одинакового размера   

Соответствующие элементы матриц складываются.

Разностью матриц А =(aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такая, что                        C = A + (-1) × B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле cij = aij + bij,                         где   i = 1, 2, …, m,  j = 1, 2,…, n.

2.1.5. Умножение матрицы на матрицу

Элемент новой матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы. Операция определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы A = (aij) на матрицу B = (bij) называется матрица С = (cij) такая, что C = A × B. Элементы матрицы С вычисляются по формуле

Пример.

Замечание 1.  Используя знак сокращенного суммирования, формулу можно записать в виде.

Замечание 2.   Введем обозначение матрицы в виде          означающее, что матрица содержит m строк и n столбцов. Тогда произведение матриц можно записать следующим образом:

Замечание 3. Порядок матриц-сомножителей существен. Поэтому говорят об умножении матрицы A на матрицу B справа или слева.

Если произведение матриц A × B и B × A, они могут быть матрицами разных размеров.

Если матрицы А и В квадратные, то их произведения A × B и B × A существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае A × B ≠ B × A

Замечание 4. Умножение единичной матрицы E на квадратную матрицу A не изменяет последней: E × A = A × A.

Замечание 5. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу 0, например:

2.1.6. Транспонирование матрицы

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' (часто используется также обозначение АЦ) имеет вид

                                                           A΄ =

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

A=║αij║,       A' = ║αij║;       i=1, 2, ..., т,    j=1, 2, ..., п.

Пример.

Пусть даны матрицы A и В.

A =   63124-2570  ,          B =   210524   37  .

Соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

A΄ =  625347 1-20 ,                     .

2.1.7. Свойства транспонирования матрицы

1) (Aт)т = А

2) (a × A)т = Ат + Вт, где а – число

3) (А + В)т = Ат + Вт

4) (А × В)т = ВтАт

Свойства операций сложения и умножения:

1. А + В = В + А
2. (А + В) + С = А + (В + С)
3. α (А + В) = αА + αВ
4. A (B + C) = AB + AC
5. (A + B)C = AC + BC
6. C(AB) = (CA)B
7. α(AB) = (αA)B = A(αB)

3.1. Определители квадратных матриц.

3.1.1. Введение определителя

Свяжем с каждой квадратной матрицей A некоторое число, вводимое по определенному правилу. Назовем это число определителем матрицы и обозначим его |A|.

Определителем матрицы первого порядка A = (a11) назовем число

|A| = (a11)

Определителем матрицы второго порядка

Назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1 или 2) – определитель матрицы первого порядка, полученный вычеркиванием из матрицы A 1 – й строки и j – го столбца.

Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1 – й строки и 1 – го столбца. Следовательно, величина определителя M11 равна a22.

Тогда

Определителем матрицы третьего порядка

назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1, 2 или 3) – определитель матрицы второго порядка, полученный вычеркиванием матрицы А 1-й строки и j–го столбца. Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1–й  строки и 1-го столбца:

Подставим полученные соотношения в приведенную выше формулу:

Из структуры формулы видно, что в каждое слагаемое в правой части входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Воспользовавшись правилом треугольника, можно приведенную выше формулу легко запоминать. Для этого берутся произведения элементов, соединенных линиями. На рисунке слева линиями указаны произведения элементов, которые следует взять со знаком «+», справа – со знаком «-».

Например, величина определителя матрицы

равна                                                                        

Предположим, что определители матриц, порядок которых меньше n, введены. Определителем квадратной матрицы n – го порядка

назовем число

где Mij – определитель матрицы (n – 1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием 1-й строки j-го столбца.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij элемента αij матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минор M23 элемента α23 матрицы третьего порядка получается вычеркиванием из матрицы   2-й строки и 3-го столбца:

Алгебраическим дополнением Aij элемента αij матрицы А n-го порядка называется минор Mij взятый со знаком (-1)i+j:

Используя понятие алгебраического дополнения, приведенную выше формулу можно записать в виде

3.1.2. Свойства определителей

1) Определитель с нулевой строкой  или нулевым столбцом равен нулю.

2) Умножение определителя на число равносильно умножению какой-либо строки или столбца определителя на это число.

Умножим любую строку или столбец исходного определителя на число, разложим определитель по этой строке или столбцу, вынесем это число за скобки и свернем оставшееся в скобках выражение в исходный определитель.

3) При транспонировании матрицы величина ее определителя не изменяется: |A|=|Aт|.

4) При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак.

В определителе

Переставим, например, первую и вторую строки. Получим

Разложим определитель |A|1 по второй строке, а определитель |A|2 – по первой строке. Получим

Откуда следует |A|1 = -|A|2.

Теперь переставим i-ю строку с (i + k)-й. Для этого сместим i-ю строку на k строк вниз. Определитель изменит знак k раз. Строка с номером i + k окажется при этом на (i + k – 1)-м месте. Переставим эту строку на место i-й строки, для чего поднимем ее на k - 1 строк вверх. Определитель изменит знак k – 1 раз. В результате процедуры определитель изменит знак нечетное число раз: k + k – 1 = 2k – 1, т.е. знак определителя при любой перестановке строк не изменится

5) Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

При перестановке двух строк определитель изменит знак. Переставим местами одинаковые строки. Определитель останется таким же. Значит, -|A| = |A|. Отсюда следует0, что |A| = 0.

6)  Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

Вынесем коэффициент пропорциональности за знак определителя. В нем образуются две одинаковые строки. Поэтому такой определитель равен нулю.

1. Определитель можно разложить на сумму определителей. Представим элементы i-й строки определителя в виде суммы двух слагаемых. Получим

где, α, β – некоторые коэффициенты, равные в частном случае единице. Разложим определитель |A| по i-й строке, используя алгебраические дополнения, преобразуем полученную сумму. Тогда

где

2. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Полученный определитель  можно разложить на сумму двух определителей. Один из них является исходным. Другой содержит две пропорциональные строки и, следовательно, равен нулю.

3. Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца)  на числа b1, b2, …, bn.
4. Сумма произведений элементов одной строки матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой строки этой матрицы равна нулю.
5. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.

4.1. Обратная матрица

4.1.1. Свойства обратных матриц

1) (A-1)-1 = A

2) (A-1)т = (Aт)-1

3) (A-1)m = (Am)-1

4) |A-1| = 1|A|

5) (AB)-1 = B-1A-1

5.1. Матрицы элементарных преобразований

5.1.1. Типы матриц элементарных преобразований

Матрицами элементарных преобразований называются матрицы трех типов.

1-й тип. Матрицей элементарных преобразований 1-го типа называется любая матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой каких-либо двух строк или столбцов. Например, если в единичной матрице пятого порядка

переставить местами вторую и третью строки, получается матрица элементарных преобразований 1-го типа:

В матрице I23 все элементы вне главной диагонали равны нулю.

2-й тип. Матрицей элементарных преобразований 2-го типа называется любая матрица, полученная из единичной заменой диагонального элемента на любое действительное число, не равное нулю. Например, матрицей элементарных преобразований 2-го типа является матрица

у которой в позиции (4,4) находится число a≠0.

3-й тип. Матрицей элементарных преобразований 3-го типа называется любая матрица, отличающаяся от единичной наличием одного внедиагонального элемента, не равного нулю. Например,

является матрицей элементарных преобразований 3-го типа. У нее в позиции (2,4) стоит не равное нулю число b.

6.1. Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

Для системы уравнений образуем расширенную матрицу:

Посредством элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду

Рассмотрим различные случаи:

1. br+1 ≠ 0. Расширенная матрица имеет вид  флажка (а). Тогда система уравнений несовместна. Уравнение с номером r + 1 содержит нулевые коэффициенты перед неизвестными, тогда как свободный член отличен от нуля.
2. Число неизвестных n и число уравнений r совпадают. Расширенная матрица примет треугольный вид (б)

Система уравнений, соответствующая этой матрице, имеет вид

Из последнего уравнения определяется неизвестная величина на xn. Подставляем ее в предыдущее уравнение с номером n – 1 и находим xn – 1. Продолжая этот процесс, находим неизвестные со все меньшими номерами. Наконец, подставим найденные значения неизвестных x2, x3, …, xn в первое уравнение, найдем величину x1. При n = r система определена и имеет единственное решение.

3. Число неизвестных n больше числа уравнений r. Вид расширенной матрицы – трапеция (в). Последнее уравнение содержит переменные xr, xr + 1, …, xn. Выразим в этом уравнении переменную xr через остальные неизвестные и подставим в уравнение с номером  r – 1. Найдем переменную xr – 1, которая будет выражена через те же неизвестные x1, xr + 1, …, xn. Результат подставим в уравнение с номером r – 2 и т. д. Таким образом можно определить значения переменных xr, xr -1, …, xn через неизвестные xr+1, xr+2, …, xn:

Придавая неизвестным xr+1, …, xn произвольные значения, получаем бесконечное множество решений системы уравнений.

Пример: Решить систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы

С помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду

Исходная система эквивалента следующей системе уравнений:

Выразим из второго уравнения x3 через х4 и подставим в первое уравнение системы. Тогда

придавая произвольные значения неизвестным

получаем общее решение системы уравнений

Использованная литература

1. Колосова А.А., Степанов В.Е.  Матрицы и определители. М.: Высш. шк. 2010г.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнения и задачах: Учеб. Пособие для студентов втузов. В 2-х ч. I.-4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986 - 304 с., ил.
3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Источники интернета

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/
2. http://orloff.am.tpu.ru
3. http://www.miemp-mi-gor.narod.ru