Простейшие приёмы построения графиков функций на примерах прямой и обратной пропорциональной зависимостей и многочленов второй степени.

Исследовательская работа:

Простейшие приёмы построения графиков функций на примерах прямой и обратной пропорциональной зависимостей и многочленов второй степени

                                      Выполнила: Мухаматдинова Динара, ученица

                                     10 класса Кучуковской  средней общеобразовательной  

                                      школы Агрызского муниципального района  РТ

                                       Научный руководитель: Бурганиева Альфия Рафисовна,

                                      учитель математики высшей категории

2011

Оглавление.

I. Введение------------------------------------------------------------------------------3

II. Основная часть.--------------------------------------------------------------------3-14

     1. Способ построения графиков  по точкам----------------------------------4-6

     2.  Способ построения графиков «по действиям»     ----------------------6-9

     3. Способ построения  графиков методом умножения  ----------------- 9 - 10

     4. Способ построения  графиков методом деления -----------------------11- 14

III. Заключение.---------------------------------------------------------------------------14

IV. Список литературы -----------------------------------------------------------------15

1. Введение.

Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции методом сложения, умножения и деления.  

Объект исследования: линейные функции, квадратичные функции, построение графиков функции на примерах прямой и обратной пропорциональной зависимостей.

        Предмет исследования: закономерность  построения графиков функции методом сложения, умножения и деления.   

         Методы исследования: начиная  от простейшего уравнения у=х и применяя далее четыре арифметических операции: сложение, вычитание, умножение и деление, построить графиков по заданным формулам,   решение примеров на построения графиков функции методом сложения, умножения и деления, сравнение, анализ, обобщение.

При исследовании различных явлений и процессов природы, решении теоретических задач, изучении математики сплошь и рядом встречаются примеры изменения одной величины  в зависимости от изменения другой – так называемой функциональной зависимости.   Трудно найти область науки или общественной жизни, где не применялись бы графики. Всем нам неоднократно приходилось видеть, например, графики роста промышленного производства или производительности труда. Явления природы, как например суточные или годовые изменения температуры, атмосферного давления и т.д., также проще всего описать с помощью графика. Построение графиков такого рода не представляет труда, - была бы лишь заранее составлена соответствующая таблица. Мы будем говорить здесь о других графиках: о графиках, которые должны  быть построены по данным математическим формулам. Потребность в таких графиках часто возникает в разных областях знания. Так, анализируя теоретически ход будущего физического процесса, ученый получает формулу, дающую некую интересующую его величину, например количество получающегося продукта в зависимости от времени. График, составленный по этой формуле, наглядно представит результаты будущего процесса. Возможно, что, глядя на этот график, ученый внесет существенные изменения в схему опыта, чтобы получить лучшие результаты.

II. Основная часть.

1. Способ построения графиков  по точкам .

Рис 1.

Начертим на плоскости две взаимно-перпендикулярные прямые, горизонтальную и вертикальную, и обозначим через О и их точку пересечения. Горизонтальную прямую назовем осью абсцисс,  вертикальную – осью ординат. Каждая из осей делится точкой О на две полуоси. Положительную и отрицательную, при этом правая полуось оси абсцисс и верхняя полуось оси ординат считаются положительными, а левая полуось оси абсцисс и нижняя полуось оси считаются отрицательными. Положительные полуоси отметим стрелками. Местоположение каждой точки М на плоскости теперь можно определить парой чисел. Для этого опустим из точки М перпендикуляры на каждую из осей; эти перпендикуляры отсекут на осях отрезки ОА и ОВ. (Рис.1). Длина отрезка ОА, взятую со знаком +, если А лежит на положительной полуоси, и со знаком  - , если А лежит на отрицательной полуоси, будем называть абсциссой точки М и обозначить через х. Аналогично длину отрезка ОВ (с тем же правилом знака) будем называть  ординатой точки М и обозначать через у. Два числа х и у называются координатами точки М. Каждая точка на плоскости имеет какие-то координаты. Точки оси абсцисс имеют ординату, равную нулю. Начало координат О (точка пересечения осей) имеет обе координаты, равные нулю. Обратно, если даны любые два числа х и у любых знаков, то всегда можно построить точку М, имеющую  абсциссу х  и ординату у; для этого нужно на оси абсцисс отложить отрезок ОА = х и из точки А восставить перпендикуляр АМ=у (с учетом знаков); точка М и будет искомой.

Пусть дана формула, для которой требуется построить график. В этой формуле должно быть указано, какие действия следует произвести над независимым переменным (обозначенным через х), чтобы получить значение интересующей нас величины (обозначаемой через у). Например, формула

 показывает, что для получения значений величины у нужно независимое переменное х возвести в квадрат, прибавить единицу и единицу разделить на полученный результат. Если х принимает какое-либо числовое значение х0 , то по нашей формуле и у примет некоторое числовое значение у0. Числа х0 и  у0  определяют некоторую точку М0  в плоскости чертежа. Вместо х0  можно затем взять другое число х1 и по формуле сосчитать новое значение у1; пара чисел (х1, у1) определит новую точку М1 на плоскости. Геометрическое место всех точек, ордината которых связана с абсциссой данной формулой, и называется графиком, отвечающей этой формуле.

        Совокупность точек графика бесконечна, и мы не можем рассчитывать фактически построить по указанному правилу их все без исключения. Но мы обойдемся без этого. В большинстве случаев достаточно некоторого небольшого числа точек, чтобы иметь возможность судить об общем виде графика.

         Способ построения графика «по точкам» состоит именно в том, что намечают некоторое число точек графика и соединяют эти точки (по возможности) плавной линией.

        В качестве примера рассмотрим график функции

                                           .                                                   (1)

Составим следующую таблицу:

Рис.2.

Отметим соответствующие точки на плоскости. Соединяя их плавной линией, получаем график. (Рис.2)

Правило построения «по точкам», как мы видим, чрезвычайно просто. Но тем не менее, может быть именно, слепое следование правилу «по точкам» может привести к большим ошибкам.

Постоим «по точкам» кривую, данную уравнением

                                                                                         (2)

Таблица значений х и у, соответствующая этому уравнению, следующая:

Соответствующие точки на плоскости соединяем плавной линией, мы получаем график. Этот чертеж весьма похож на только что приведенный. Кажется, на этом можно было бы положить карандаш и успокоиться: искусство строить графики нами постигнуто! Но все-таки для контроля вычислим у для какого-нибудь промежуточного значения х, например х=0,5. Вычисляем и получаем неожиданный результат: при х=0,5 значение у=16. Это резко не соответствует нашему чертежу.  И мы не гарантированы, что при вычислении у для других промежуточных значений х – а их ведь бесконечное множество – не получится еще больше несообразностей. Должно имеется что-то недостаточно обоснование в самом способе построения графиков «по точкам».

2. Способ построения графиков «по действиям».

Рис.3

2.

Далее мы рассмотрим другой способ построения графиков, более надежный в смысле предохранения от неожиданностей, подобных той, с которой мы только что встретились. По этому способу – назовем его, например. «по действиям» - нужно произвести непосредственно на графиках все те действия, которые записаны в данной нам формуле – сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.

        Рассмотрим несколько простейших примеров. Построим график, отвечающий уравнению                        у =х.                                                     (3)                 

Это уравнение говорит, что все точки искомой линии графика имеют равные абсциссы и ординаты.

Рис 4

Геометрическое место точек, имеющих ординату, одинаковую с абсциссой, есть биссектриса угла между положительными полуосями и угла между отрицательными полуосями. (Рис.4)

График, отвечающий уравнению у=кх

Рис.5.

с некоторым коэффициентом к, получается из предыдущего умножением каждой координаты на одно и то же число к. Пусть, например, к=2; каждую ординату предыдущего графика нужно удвоить, и в результате мы получим прямую, более круто поднимающуюся кверху (Рис.5). С каждым шагом вправо по оси х новая прямая поднимается на два шага вверх по оси у.  Между прочим, это позволит легко выполнить построение на клетчатой или миллиметровой бумаге. В общем случае уравнение у=кх также получится прямая. Если к>0, то с каждым шагом вправо она будет подниматься на к шагов вверх по  оси у. Если к<0, то прямая будет не подниматься, а опускаться.

Рассмотрим теперь формулу

                                                    у= кх+в.                                                  (4)

Чтобы построить соответствующий график, нужно к каждой ординате уже известной линии у = кх прибавить одно и то же число в. При этом вся прямая у=кх сдвинется, как целое, по плоскости вверх на в единиц ( при в>0; при в<0 исходная прямая, естественно, не поднимается, а опускается). В результате получиться прямая, параллельная исходной, но уже не проходящая через начало координат, а отсекающая на оси ординат отрезок в.

Итак, график любого многочлена1-й степени от х есть некоторая прямая, которая стоится по казанным правилам. Переходим к графикам многочленов 2-й степени.

Рис.6

Рассмотрим формулу

                          у=х2.       (5)

Её можно представить в форме у=у12, где у1= х. Иными словами , искомый график получится, если каждую ординату уже известной нам линии у=х возвести в квадрат. Выясним, что при этом должно получиться.  

Поскольку 02=0, 12=1, (-1)2=1, мы получим три опорные точки А, В, С (рис.6).

Когда x >1, то х2>х; поэтому справа от точки В график пойдет выше биссектрисы координатного угла (рис.7).  Когда 0<х<1, то 0<х2< х; поэтому между точками А и В график идет ниже биссектрисы. Более того, мы утверждаем, что при подходе к точке А график входит в любой угол, ограниченный сверху прямой у=кх ( с как угодно малым к), а снизу – осью х; действительно неравенство х2<кх выполняется, если только х<к. Этот факт означает, что искомая кривая касается в точке О оси абсцисс (рис 8).

Рис.8

Рис.7

Пойдем теперь по оси х влево от точки О. Мы знаем, сто числа –а и +а при возведении в квадрат дают один и тот же результат (+а2) Таким образом, ордината нашей кривой при х= -а будет та же, что при х = +а. Геометрически это означает, что график нашей кривой в левой полуплоскости будет получаться отражением имеющегося уже графика в правой полуплоскости относительно оси ординат. Мы получаем кривую, которая называется

параболой (рис.9).

Рис.9

Теперь, действуя так же, как и выше, можно построить более сложную кривую

                    у= ах2                                       (6)                                  

и ещё более сложную

                у=ах2+в                                       (7)

Первая из них получается умножением всех ординат параболы  (5) – мы будем называть её стандартной параболой – на число а.      

При а >1 получится   похожая кривая, но более круто поднимающаяся кверху (рис.10).

Рис.10

При 0<а< 1 кривая имеет вид (рис.11):

Рис.11

Рис.12

При а < 0 её ветви опрокинуться вниз (рис.12) .

Кривая у=ах2+в получится из кривой (6)  сдвигом её кверху на отрезок в, если в >0

 (рис 13). Если же в<0, то сдвигать кривую придется не вверх, а вниз (рис. 14). Все эти кривые также называются параболами.

Рис.14

Рис.13

1. Способ построения  графиков методом умножения

Рассмотрим более сложный пример на построение графиков методом умножения. Пусть задано построить график по уравнению

                                  у=х(х-1)(х-2)(х-3)                         (8)

Рис.15

Здесь дано произведение четырех множителей. Нарисуем график каждого из них по отдельности: все они – прямые, параллельные биссектрисе координатного угла и

Рис.16

отсекающие на оси ординат отрезки соответственно: 0, -1, -2, -3 (рис. 15).

В точках 0, 1, 2. 3 на оси х искомая кривая будет иметь ординату 0, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. В других местах произведение будет отличным от нуля, и будет иметь знак, который легко найти по знакам множителей. Так, справа от точки 3 все множители положительны, следовательно, и произведение положительно. Между 2 и 3  один множитель отрицателен, поэтому произведение отрицательно. Между точками 1и 2 два отрицательных  множителя, поэтому произведение положительно, и т.д. Мы получаем следующее расположение знаков произведения  (рис. 16).

Справа от точки 3 все множители при увеличении х возрастают, следовательно, и произведение будет возрастать, и притом очень быстро. Слева от точки О все множители возрастают в отрицательную сторону, поэтому произведение (оно положительно) также быстро возрастает.

Теперь легко набросать и общий вид графика (рис. 17) .

Рис.17

Построим график функции . Строим графики функций-слагаемых и  у=х. Затем  складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмем значения

Рис.18

 х = ½, 1, 2, 3,…Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки А, В, С, Д. Соединив их плавной линией, получим одну ветвь графика функции (при х>0). Заметив, что функция  нечетная и график её симметричен относительно начала координат, строим вторую ветвь графика заданной функции (при х<0) (рис.18).

2. Способ построения  графиков методом деления

До сих пор мы использовали действия сложения и умножения. Теперь добавим к ним деление. Построим кривую

                                                                                          (9)

Для этого постоим в отдельности графики числителя и знаменателя. График числителя

 у1 =1 есть прямая, параллельная оси абсцисс, на высоте 1. График знаменателя

  у2 = х2+1 есть стандартная парабола, сдвинутая на 1 вверх. Оба эти графики показаны на рисунке 19.

Будем теперь производить деление каждой ординаты числителя на соответствующую (т.е. взятую при том же х) ординату знаменателя. Когда

Рис.20

Рис.19

х=0, мы видим, что у1=у2=1, откуда и у=1. При х≠0, числитель меньше знаменателя и частное меньше 1. Так как числитель и знаменатель всюду положительны, то и частное положительно, следовательно, график проходит в полосе, ограниченной осью абсцисс и прямой у=1. Когда х неограниченно увеличивается, тогда знаменатель неограниченно увеличивается, а числитель остается постоянным; поэтому частное стремится к нулю. Все это приводит к следующему графику частного (рис.20). Чертеж получается такой же, какой мы построили по точкам.

 При графическом делении особую роль играют те значения х, при которых знаменатель обращается в нуль. Если числитель при этом не обращается  в нуль, то частное уходит в бесконечность. Доя примера изобразим кривую

                                                  у =                                                        (10)

Здесь графики числителя и  знаменателя нам уже известны (рис.21).

Рис.22* 

Рис.21

При х=1 мы имеем у1= у2 =1, откуда и у =1. При х>1 числитель меньше знаменателя, частное меньше 1, как и в предыдущем примере; когда х неограниченно увеличивается, частное приближается к нулю, и мы получаем участок графика, соответствующий значениям х>1 (рис.22*).

Рассмотрим теперь область значений х между 0 и 1. Когда х от 1 приближается к нулю, знаменатель стремится к нулю, в то время как числитель остается равным 1. Поэтому частное неограниченно увеличивается, и мы получаем ветвь, уходящую в бесконечность (рис. 22).

 При х<0 знаменатель, а с ним и вся дробь становятся отрицательными. Общий ход графика представлен на рис. 23.

Рис.23

Теперь мы уже можем приняться по–настоящему за построение графика кривой, о которой шла речь в начале:

                                                         (11)

Рис.24

Будем сначала строить знаменателя. Кривая у1= 3х2 есть «утроенная» стандартная парабола. Вычитание единицы означает спуск графика на одну единицу вниз (рис.24).

Кривая пересекает ось х в двух точках, которое мы легко найдем, приравнивая  3х2-1 нулю:

Х1,2 = ±= ± 0,577…

Рис.25

Возведем полученный график в квадрат. В точках х1 и х2 ординаты останутся равными нулю. Все остальные ординаты будут положительными, так что график будет проходить выше оси абсцисс. В точке х=0 ордината будет

(-1)2=1, и это будет наибольшая ордината на участке от х1 до х2. Вне этого участка кривая будет в обе стороны круто подниматься кверху (рис.25).

Рис.26

 Теперь график знаменателя построен. На этом же чертеже мы показали пунктиром и график числителя у4 =1. Остается теперь разделить числитель на знаменатель.  Так как числитель и знаменатель всюду одного знака. то частное будет положительным и весь график пройдет выше оси абсцисс. При х=0 числитель и знаменатель равны, их отношение равно 1.

Рис.27

Пойдем по оси абсцисс вправо от точки О. Числитель остается равным 1. а знаменатель уменьшается; следовательно,  частное увеличивается от значения 1. Когда мы дойдем до значения х2 =0,577…знаменатель станет равным нулю. Это означает, что частное к этому моменту уйдет в бесконечность (рис 26).  За точкой х2 знаменатель быстро пройдет в обратную сторону путь от значения 0 до значения 1 и далее начнет неограниченно возрастать. Частное, наоборот, из бесконечности вернется к 1, пресечет прямую у=1 в той же точке, где и у3, и далее будет неограниченно приближаться к нулю (рис 27).

Точно такая же картина получается с левой стороны от оси ординат (рис 28).

Рис.28

Мы отметили на этом графике точки, соответствующие целым значениям х=0, 1, 2,3, -1, -2, -3. Это те самые точки, которые мы намечали при построении графика «по точкам». Мы видим, что в действительности,  вместо того чтобы плавно спускаться от значения 1 (при х=0) к значению ¼ (при х=1) и далее, кривая уходит вверх в бесконечность. Мы можем увидеть здесь же и точку с координатами х = ½, у=16,которая никак не умещалась на прежнем, неправильном графике, но очень хорошо умещается на новом, правильном.

II. Заключение.

В заключении мы пришли к выводу, к которых следует придерживаться при построении графиков «по действиям»:

1. Все операции, заключенные в заданной формуле, следует произвести над графиками, идя от более простых к более сложным.

2. При умножении графиков обратить внимание на точки, где множители обращаются в нуль (хотя бы один из них); между этими точками помнить правило знаков.

3. При делении графиков обратить внимание на точки, в которых знаменатель  обращается в нуль. Если числитель в этих точках не равен нулю, ветви кривой уйдут в бесконечность – вверх или вниз, в зависимости от знаков числителя и знаменателя.

4. Обратить внимание на проведение кривой при х, уходящем неограниченно вправо (к + «бесконечности») или влево  ( к – «бесконечности»).

Список литературы:

1. Г.Е. Шилов. Как строить графики. Популярные лекции по математике.
2. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
3. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
4. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
5. Н.А. Вирченко, И.И. Ляшко. Графики функций.
6. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».