Проценты в алгебре, химии, физике.

МОУ ДОД  Дворец  творчества  детей  и  молодежи

Донская  Академия  Наук  Юных  Исследователей

Секция математики: алгебра и теория чисел

Исследовательская  работа на тему:

                                                               Автор  работы:

                                                               Глазко Виктория Сергеевна

       9-А класс  

       МОУ СОШ №7

                                                                  Руководитель:

                                                                  Щебет Вера Алексеевна,

        учитель математики                                                                                          

г. Сальск

2011 год

Содержание:

№ стр.                 

      1.Введение. История процентов.                                                                            

2. Основная часть                                                                                

1.Основные задачи на проценты.

             а) Нахождение процента от числа.

            б) Нахождение числа по его проценту.

            в) Нахождение процента одного числа от другого.

            2.Простой и сложный процентный рост.

            3.Проценты в математике.

            4.Задачи на проценты в химии.

            5.Основные проценты в физике.

     3. Заключение                                                                                        

 4. Список литературы                                                                            

                                               Введение.

Тема: Проценты в алгебре, химии, физике.

Основополагающий вопрос: Что общего в решении задач на проценты по разным предметам (по алгебре, химии, физике).

Цели и задачи: Рассмотреть случаи решения задач на проценты, не изучаемые в школьном курсе математики, но необходимые на ГИА и ЕГЭ.

                                            История  процентов

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента (%).

                           Основные задачи на проценты.

                          Нахождение процентов от числа.

Найти а % от числа b.

Решение.

 Для этого а % выразим десятичной дробью.

а% =0,01а.

Воспользуемся правилом нахождения дроби от числа:

b∙0,01а.

Ответ: 0,01ab.

                        Нахождение числа по процентам,

   если известно, что a% числа x равно b, то x=b0,01a

Ответ: х = b0,01a.

            Нахождение процентов одного числа от другого.

Сколько процентов составляет, а от b.

ab∙100%.

Ответ: ab∙100%.

                Простой и сложный процентный рост.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то  говорят о начислении сложных процентов. Если же суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы независимо от срока хранения и количества начисления процентов, то говорят о начислении простых процентов.

Простой процентный рост вычисляется по формуле:  b = а (1+0,01рn). Сложный процентный рост вычисляется по формуле: b = а∙(1+ 0,01р)n,

где b - конечная цена товара, а - первоначальная цена товара, р - число процентов, n - количество промежутков времени.

                                 Проценты в математике.

В классе на уроках алгебры мы решаем задачи на проценты не так часто.  А в девятом классе на экзамене в форме ГИА таких задач много. Особую трудность вызывает решение задач на 4 и 6 баллов. Попробуем разобраться с такими задачами.

Задача №1 (8,42, авт. Кузнецова Л.В.)

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов.

На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная  стоимость 2000р., а окончательная 1805р.?

Решение.

Эту задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим  способ решения задачи с помощью составления уравнения.

Пусть на х% понижалась цена товара каждый раз.

Выразим проценты дробью: х% =0,01х.

1. 2000∙0,01х=20х(р.) – на столько понизилась цена в первый раз.
2. 2000-20х (р.) - стала цена после первого понижения.
3. (2000-20х)∙0,01х=20х-0,2х2(р.) - на столько понизилась цена во второй раз
4. 2000-20х-(20х-0,2х2)=2000-20х-20х+0,2х2=2000-40х+ 0,2х2(р.) - стала цена после второго понижения.

Т.к. по условию цена стала 1805, то составим и решим уравнение.

2000-40х+0,2х2=1805;

0,2х2-40х+195=0;         I  ∙5

х2-200х+975=0;

D=40000-3900=36100=1902.

х1,2= 200±1902;

х1 = 5;  х2 = 185;

х = 185 не удовлетворяет условию задачи, т.к. цена не может понизиться на 185%.

Значит, цена товара каждый раз понижалась на 5%.

Эту же задачу можно решить, зная формулу сложных процентов.

b=а∙(1-0,01р)n, где b - конечная цена товара, а - первоначальная цена товара, р - число процентов, n - в данном случае количество понижений.

Решение:

1805=2000∙(1-0,01х)2;

1805=2000∙(1-0,02х+0,0001х2);

1805=2000-40х+0,2х2.

Получили такое же уравнение.

Ответ: 5%

                                 Задача№2(8.40)

На аукционе одна картина была продана с прибылью 20%, а другая – с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух картин составила 30%. У какой картины первоначальная цена была выше и во сколько раз?

Решение.

Пусть цена первой картины - а рублей,  а второй картины – b рублей. Т.к. цена первой картины повысилась на 20%, то она стала 1,2а рублей (100%+20%=120%=1,2).

Т. к цена второй картины повысилась на 50%, то она стала 1,5b рублей (100%+50%=150%=1,5).

Общая прибыль стала (1,2а+1,5b)  рублей.

a + b рублей - стоили картины раньше

Т.к. общая прибыль от продажи двух картин составила 30%, то

1,3∙ (а + b) рублей стала стоимость картин. Составим уравнение:

            1,2а + 1,5b = 1,3∙ (а + b);

            1,2а-1,3а=1,3b - 1,5b;

            - 0,1а = - 0,2b;

             a = 2b.

Значит, первая картина стоила дороже второй в 2 раза.

Ответ: первая, в 2 раза.

Задача №3 (8.38).

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

20% = 0,2;  50% = 0,5;  30% = 0,3.

Примем весь раствор за 1 часть.

Пусть х частей было первого раствора, тогда 1 – х частей было второго раствора.

0.2х ч. – кислоты в первом растворе,

0.5∙(1 – х) ч. – кислоты во втором растворе,

0,2х + 0,5(1 – х) ч. – кислоты в смеси двух растворов,

0,3∙1 = 0,3 (ч.) – кислоты в смеси двух растворов.

Т.к. говорится об одной и той же смеси, то составим и решим уравнение

0,2х + 0,5(1 – х) = 0,3;

0,2х + 0,5 – 0,5х = 0,3;

- 0,3х = - 0,5;

х = 23. 

23 части первого раствора, значит,  13 часть - второго раствора.

1 р-р : 2 р-ру = 23 : 13=2:1.

Эту задачу можно решить с помощью системы уравнений, обозначив массу первого раствора за х, а второго – за у.

Получим следующую систему уравнений:

х + у = 1;

0,2х + 0,5у = 0,3.

Решив эту систему, получим тот же результат.

Ответ: первый и второй растворы взяты в отношении 2 к 1.

                         Проценты в химии.

В химии очень часто используются задачи на проценты. Например, задачи на примеси. Рассмотрим такой пример:

- Какую массу оксида кальция можно получить при термическом разложении 600г известняка, содержащего 10% примесей?

Дано:

m(CaCO3)-тех.= 600г

примеси- 10%

m(CaO)-?г

Решение:

1)массовая доля чистого вещества -100%,

массовая доля примесей - 100%-10%=90%

2)m чистого вещества (СаCО3)=(м.д. ч . вещества∙ m тех(СаCO3))/100%;

m чистого вещества (СаCO3)=(90%∙600)/100%=5,4г

СаCO3=СаО+H2CO3

1)Определяем количество вещества известного по условию.

n=m/M; n=5.4/100=0.054моль

2)Определяем количество вещества неизвестного по условию.

По уравнению реакции:1моль(СаСО3)=1моль(СаО);

По условию:0.054моль(СаСО3)=0.054моль(СаО);

n(СаСО3)=n(СаО)=0.054 моль.

3)m(СаО)= n* M=0.054*56=3г

Ответ: 3г

А теперь посмотрим где здесь химия. Из всего решения только одна единственная строчка относится к химии - это уравнение реакции. Все остальное - чистая математика.

                             Метод креста

Это один из видов химических задач, которые можно решить как с точки зрения математики, так и химии. Рассмотрим одну из этих задач.

В лаборатории имеются растворы с массовой долей хлорида натрия 10% и 20%. Какую массу каждого раствора надо взять для получения раствора с массовой долей соли 12% массой 300г.

Решение 1:

Вводим обозначения:ω1(NaCl)=0.1(10%); ω2(NaCl)=0,2(20%); ω(NaCl)=0,12(12%);

Из определения массовой доли следует:

ω1(NaCl)=m1(NaCl): m1;  0,1= m1(NaCl): m1;

m1 (NaCl) = 0, 1 m1;                                                          (а)

Аналогично получаем:

ω2(NaCl)= m2(NaCl): m2;

m2 (NaCl) =0, 2 m2;                                                           (б)

Масса NaCl в растворе, который надо приготовить составляет:

m (NaCl)= m1(NaCl)+ m2(NaCl).

Учитывая равенства (а) и (б), получаем:

m(NaCl)= 0,1 m1 + 0,2 m2;

Для раствора с ω(NaCl)=0,12 записываем:

ω(NaCl)= m(NaCl): m; 0,12=(0,1 m1+0,2 m2):300;

Отсюда следует:

m1+2 m2=360;                                                                (в)

где m2 и m1 – массы растворов с ω1(NaCl) и ω2(NaCl) соответственно, которые необходимо взять.

Находим массу раствора, который надо приготовить:

m=m1+m2, или m1+m2=300;                                      (г)

Решая систему уравнений (в)и (г), получаем: m1=240г; m2=60г;

Решение 2.

Задачу такого типа можно решить используя правило смешения( метод креста), которое поясним на примере.

Записываем друг под другом массовые доли исходных растворов, а правее между ними - массовую долю раствора, который необходимо приготовить.

0,2

                0,12

0,1

Из большей массовой доли вычитаем заданную и записываем результат справа снизу; из заданной массовой доли вычитаем меньшую и записываем результат справа  вверху:

0,2                             0,02

                0,12

0,1                             0,08

Числа 0,02 и 0,08 показывают, в каком массовом отношении надо взять растворы с ω2(NaCl)=0,2(20%) и ω1(NaCl)=0.1(10%) соответственно. Таким образом, масса раствора с ω2(NaCl)=0,2 составляет:

m2=(m∙0,02)/(0,08+0,02); m2=( 300∙0,02)/ (0,08+0,02)=60г

Определяем массу раствора с ω1(NaCl)=0.1

m1=(m∙0,08)/ (0,08+0,02);  m1=( 300∙0,08)/ (0,08+0,02)=240г

Ответ: 240г и 60г.

Эту же задачу можно решить с помощью математической модели.

Пусть х г  масса первого раствора, тогда 0,1х масса соли  в первом растворе.

Т.к. общая масса 300г, то 300-х г масса второго раствора. Тогда 0,2(300-х)г масса соли второго раствора. 0,12∙300г масса соли получившегося раствора. Составим уравнение: 0,1х+0,2(300-х)= 0,12∙300.

0,1х+60-0,2х=36;

-0,1х=-24;

Х=240.

240г масса первого раствора, 300-240=60г масса второго раствора.

В разделе математики задача №8.38 решена с помощью составления уравнения. Попробуем решить эту задачу методом креста.

Мы уже познакомились с самим методом решения, поэтому будем применять его без пояснений.

0,2                         0,2

            0,3

0,5                      0,1

1)0,5-0,3=0,2. Массовое отношение второго и получившегося раствора  

2)0,3-0,2=0,1. Массовое отношение получившегося и первого растворов.

3)0,2/0,1=2/1. Отношение, в котором взяты первый и второй растворы.

Ответ получился такой же как и в математическом решении.