Защита проектов учащихся по теме "Решение уравнений и неравенств"

Слайд 1

МОУ – СОШ р.п. Пушкино Презентация по теме: «Показательные и логарифмические неравенства» Подготовили : учащиеся 11-а класса Гриднева Юлия и Нусипбаева Наргиз Учитель : М.К. Исингалиева Май 2010 года

Слайд 2

Показательные и логарифмические неравенства

Слайд 3

Простейшие показательные неравенства а х > b а х < b а – положительное, не равное 1 число; b – данное действительное число

Слайд 4

у х у = а х (а > 1) 1 0 У = 0 У = b (b < 0) У = b (b < 0) У = 0 у = а х ( 0 < а < 1) 1 0 х у

Слайд 5

a x > a x 0 a x < a x 0 , где х 0 = log a b

Слайд 6

у х 0 1 1 х 0 у = b (b > 0) у = а х (а > 1 ) у = а х ( 0 < а < 1 ) у = b (b > 0) х 0 1 0 у х

Слайд 7

49 * 5 х – 25 * 7 х > 0 /49 * 7 х ; (5/7) х > (5/7) 2; Т.к 0 < 5/7 < 1, то у = (5/7) х убывающая , значит Х < 2 Ответ: (- ∞; 2).

Слайд 8

Простейшие логарифмические неравенства log a x > b log a x < b a – положительное, не равное 1 число; b – данное действительное число

Слайд 9

log a x > log a x 0 log a x < log a x 0, где х 0 = а b

Слайд 10

x 0 y = b y = log a x ( а > 1)

Слайд 11

x 0 1 1 y x 0 y = b y = log a x (0 < a < 1)

Слайд 12

log 3 x – 3log 9 x – log 81 x > 1,5; log 3 x – 3/2 log 3 x – 1/ 4 log 3 x > 1,5 log 3 x (1 – 3/2 – 1/4) > 1,5; log 3 x < -2; log 3 x < log 3 (1/9); Т.к. 3 > 1, то функция у = log 3 x возрастающая, значит 0 < x < 1/9 Ответ: (0; 1/9)

Слайд 13

4 х – 3*2 х + 2 > 0 ; (2 х ) 2 – 3*2 х + 2 > 0 t = 2 х , t > 0 t 2 – 3t + 2 > 0; (t – 1)(t – 2) > 0; t < 1 , t > 2; 2 x < 1; u 2 x > 2; Т. к. 2 > 1 , то функция у = 2 x возрастает х < 0 u x > 1. Ответ: (- ∞; 0) (1; +∞). 1 2 x + - ∩ +

Слайд 14

+ + - -1 3 y -1 < y < 3; -1 < log 2 x < 3; log 2 (1/2) < log 2 x < log 2 8; ½ < x < 8; Ответ: (1/2; 8). у = log 2 x х > 0 y 2 – 2y – 3 < 0; (y +1)(y – 3) < 0; log 2 x – 2log 2 x – 3 < 0; 2

Слайд 15

2 х – 9 2 х – 1 < 1; t = 2 х t > 0 t – 9 t – 1 – 1 < 0; (t +2)(t – 1)(t – 4) < 0; 1 t 4 -2 - - + + t < -2 u 1 < t < 4 2 х < -2; u 1 < 2 х < 4; решений нет 2 0 < 2 х < 2 2 ; 0 < x < 2; Ответ: (0; 2).

Слайд 16

49*5 3х – 4 – 25*7 3х – 4 > 0; / 7 3х – 4 49* ( 5 7 ) 3х – 4 – 25 > 0; ( 5 7 ) 3х – 4 > 25 49 ; ( 5 7 ) 3х – 4 > ( 5 7 ) 2 ; Т.к. 5/7 < 1, то у = (5/7) t убывающая значит 3х – 4 < 2; х < 2 Ответ: (-∞; 2).

Слайд 17

log g(x ) f(x) > c f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > [g(x)] c ; { f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < [g(x)] c . {

Слайд 18

log x (2x – ¾) > 2 { 2x – ¾ > 0, x > 1, 2x – ¾ > x 2 ; 2x – ¾ > 0, 0 < x < 1, 2x – ¾ < x 2 ; { 1 3/2 x 1/2 3/8 1 3/2 x 1/2 3/8 0 (1; 3/2) (3/8; ½) Ответ: (3/8; ½) (1; 3/2) ∩

Слайд 19

(х – 2) > 1, x 2 – 6x + 8 > 0; { 0 < (х – 2) < 1, x 2 – 6x + 8 < 0; { или { х > 3, (х – 2) (x – 4) > 0; { 2 < x < 3, (х – 2) (x – 4) < 0. или x 2 3 4 (4; +∞ ) 2 x 4 3 ( 2 ; 3 ) Ответ: (2; 3) ∩ (4; +∞ ) (х – 2) х – 6х + 8 > 1 2

Слайд 20

Некоторые свойства переменных, входящих в логарифмические неравенства Выражения log c a – log c b u a – b имеют одинаковый знак, если a > 0, b > 0, c > 1. log c a – log c b имеет знак, противоположный a – b , если a > 0, b > 0, 0 < c < 1. Если a > 0, b > 0, c > 1 , то выражение log c a – log c b имеет одинаковый знак с выражением ab – 1. Если a > 0, b > 0, 0 < c < 1 , то выражение log c a – log c b и ab – 1 имеют противоположные знаки. Выражения log c a и а – 1 имеют одинаковые знаки при a > 0, c > 1 и противоположные при a > 0 , 0 < c < 1 .

Слайд 21

lg (х – 4) + lgx < lg21; ОДЗ: х > 4 lg (х – 4) + lg х 21 < 0; (х – 4) х 21 – 1 < 0; х 2 – 4х – 21 < 0; (х – 7)(х + 3) < 0; 7 4 -3 х Ответ: (4; 7).

Слайд 1

Муниципальное общеобразовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа р. п. Пушкино Презентация на тему: «Решение иррациональных уравнений» Подготовили ученики 11 «а» класса Ряпина Ксения, Пугаченко Юлия, Спирин Вячеслав. Преподаватель: Исингалиева М. К.

Слайд 2

План Иррациональные уравнения Методы решения иррациональных уравнений Вывод Используемая литература

Слайд 3

Иррациональное уравнение - это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. Решение иррациональных уравнений основывается на сведении его к рациональному с помощью элементарных преобразований. В основном с помощью возведения обеих частей уравнения в степень. Если это нечетная степень, то получающееся уравнение равносильно исходному. Если же степень четная, то получающееся уравнение может иметь посторонние корни. Поэтому решение иррационального уравнения этим способом нужно сопровождать проверкой полученных корней. Однако существует ряд других методов.

Слайд 4

Во-первых, нужно определить область допустимых значений (ОДЗ). Если этого не сделать, то по решении уравнения надо произвести проверку полученных корней. Пример. √ x+12=x ОДЗ: х+12 ≥0, х ≥-12, [ -12;+∞ ) Далее, уединить радикал и возвести обе части уравнения в степень. Если степень четная, то обязательно нужно проверить уравнение на присутствие посторонних корней.

Слайд 5

Метод 1. Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень. При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному. Возведение обеих частей уравнения в четную степень сохраняет равносильности, если: Обе части уравнения определены на множестве М; Обе части уравнения неотрицательны на множестве М. Нарушение хотя бы одного из условий приводит к появлению посторонних корней. Пример. √ Х-2= √ 2х-1

Слайд 6

Метод 2. Замена переменной. Замена переменной в иррациональном уравнении используется часто. Она приводит иррациональное уравнение к рациональному. Пример. 2х 2 +3х-3+ √ 2х 2 +3х+9=30

Слайд 7

Метод 3.Умножение на сопряженное. Пример. √ 5х 2 +2х+1- √ 5х 2 +2х-8=1

Слайд 8

Метод 4. Применение неравенства Коши. При решении некоторых уравнений полезно пользоваться неравенством Коши: для любых положительных чисел а и в справедливо неравенство √ ав≤а+в 2 , где знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда а=в.

Слайд 9

После знакомства с решением иррациональных уравнений мы убедились в необходимости проверять корни, если приходилось возводить обе части уравнения в четную степень. Также, знание методов решения иррациональных уравнений может пригодиться абитуриенту при поступлении в высшее учебное заведение.

Слайд 10

Используемая литература Пронин П. Н. «Методы решения иррациональных уравнений», 2007 год. Учебное пособие «Уроки Кирилла и Мефодия» для учащихся 10-11 классов. С. М. Никольский «Алгебра и начала анализа», 10 класс, 2007 год.