Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач
Помощь в изучении производных и их применение
Скачать:
Предварительный просмотр:
Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений. Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений – математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.
Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, геометрия, алгебра и теория вероятностей.
Большой вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли Клеро Алексис Клод - французский математик и астроном и Лагранж Жозеф Луи. Клеро на примере одного дифференциального уравнения 1-го порядка (уравнение Клеро) ввел понятие общего и особого решений дифференциального уравнения 1-го порядка. Лагранж в области дифференциальных уравнений создал теорию особых решений и разработал метод вариации произвольных постоянных.
Задача 1. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник постоянной площади (рис.1).
Рис.1
В системе координат к кривой в точке проведем касательную. Касательная образует с осями координат треугольник . По условию его площадь .
Используя геометрический смысл производной, находим , .
Составим дифференциальное уравнение
или выразив
Получили дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Клеро. Решим его с помощью введения параметра
.
В равенстве рассмотрим как функцию двух независимых переменных и . Полный дифференциал этой функции имеет вид
После преобразований получим равенство
или
Тогда решение уравнения Клеро запишется в виде:
или
Исключив параметр из системы, получим, что указанным в условии задачи свойством обладают гиперболы и семейство прямых .
Задача 2. Найти кривую, зная, что полуразность подкасательной и поднормали в любой точке, равна абсциссе точки касания (рис.2).
Рис.2
В системе координат к кривой в точке проведем касательную и нормаль. Касательная пересекается с осью в точке , нормаль – в точке . Тогда отрезок - подкасательная, - поднормаль.
Из прямоугольных треугольников и , воспользовавшись геометрическим смыслом производной, найдем катеты и .
Из условия задачи составляем дифференциальное уравнение.
.
Запишем его в виде
Это дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Лагранжа. Решим данное уравнение с помощью замены , после котрой уравнение примет вид
Рассмотрим как функцию двух независимых переменных и . Полный дифференциал этой функции запишется в виде
После преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными переменными
Общим решением его является функция
Тогда решение уравнения Лагранжа имеет вид:
Исключив из системы параметр , получим равенство - уравнение парабол. То есть искомой кривой является парабола.
Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Литература
1. Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения / Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Высш. Школа», 1976. – 304с.
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1987. – 160с.
3. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс. Учебное пособие / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Высш. Шк., 2006 – 383 с.