Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач

Степанова Ирина Александровна

Помощь в изучении производных и их применение

Скачать:


Предварительный просмотр:

Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений. Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений – математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, геометрия, алгебра и теория вероятностей.

Большой вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли Клеро Алексис Клод - французский математик и астроном и Лагранж Жозеф Луи. Клеро на примере одного дифференциального уравнения 1-го порядка (уравнение Клеро) ввел понятие общего и особого решений дифференциального уравнения 1-го порядка. Лагранж в области дифференциальных уравнений создал теорию особых решений и разработал метод вариации произвольных постоянных.

      Задача 1. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник постоянной площади  (рис.1).

Рис.1

В системе координат  к кривой в точке  проведем касательную. Касательная образует с осями координат треугольник . По условию его площадь .

Используя геометрический смысл производной, находим  , .

Составим дифференциальное уравнение

 или выразив

Получили дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Клеро. Решим его с помощью введения параметра  

.

В равенстве рассмотрим как функцию двух независимых переменных  и . Полный дифференциал этой функции имеет вид

После преобразований получим равенство

     или    

Тогда решение уравнения Клеро запишется в виде:

или

Исключив параметр  из системы, получим, что указанным в условии задачи свойством обладают гиперболы и семейство прямых .

Задача 2. Найти кривую, зная, что полуразность подкасательной и поднормали в любой точке, равна абсциссе точки касания (рис.2).

Рис.2

В системе координат  к кривой в точке  проведем касательную и нормаль. Касательная пересекается с осью  в точке , нормаль – в точке . Тогда отрезок  - подкасательная,  - поднормаль.

Из прямоугольных треугольников  и , воспользовавшись геометрическим смыслом производной, найдем катеты  и .

Из условия задачи составляем дифференциальное уравнение.

.

Запишем его в виде

Это дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Лагранжа. Решим данное уравнение с помощью замены , после котрой уравнение примет вид

Рассмотрим как функцию двух независимых переменных  и . Полный дифференциал этой функции запишется в виде

После преобразований  получим обыкновенное  дифференциальное уравнение первого порядка  с разделенными переменными

Общим решением его является функция

Тогда решение уравнения Лагранжа имеет вид:

Исключив из системы параметр , получим равенство  - уравнение парабол. То есть искомой кривой является парабола.

Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Литература

1.   Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения / Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Высш. Школа», 1976. – 304с.

2.   Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1987. – 160с.

3.   Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс. Учебное пособие / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Высш. Шк., 2006 – 383 с.