Статья "Текстовые задачи, решаемые составлением систем уравнений"

УДК 512

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СОСТАВЛЕНИЕМ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Ооржак А.Ч., студент ФМФ

Научный руководитель: Бичи-оол Е. К.,

старший преподаватель кафедры математики и МПМ

ФГБОУ ВО «Тувинский государственный университет, Кызыл, Россия

Аннотация. В работе приводятся примеры различных видов текстовых задач. Рассматривается задача на движение, которая решается составлением системы уравнений. Отмечены основные методы решения систем уравнений, которые могут пригодиться при решении текстовых задач.

Ключевые слова: текстовые задачи, система уравнений, задачи на движения, методы решения систем уравнений.

Выделяют несколько этапов решения текстовых задач с помощью составления уравнений и систем уравнений: 1) обозначение неизвестных величин; 2) составление с помощью переменных систем уравнений; 3) решение полученной системы; 4) отбор решений. Для этого необходимо знать все доступные способы решений, которые могут пригодиться при сдаче основного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена (ЕГЭ), а также при поступлении в учебные заведения после 9 и 11 классов и в различных жизненных ситуациях.

При решении текстовых задач можно встретить задачи следующих видов: 1. задачи на числовые зависимости; 2. задачи на прогрессии; 3. задачи на движения; 4. задачи на совместную работу; 5. задачи на смеси и сплавы.

К основным методам решения систем уравнений относятся:

1. Метод подстановки. Суть данного метода заключается в выражении из какого-либо уравнения системы одно неизвестное через другое и подстановке во второе уравнение данной системы.

2. Метод алгебраического сложения, где с помощью сложения двух уравнений системы необходимо получить уравнение с одной переменной.

3. Графический метод решения уравнений. В данном случае решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков. Этот метод не совсем точный, так как его можно применять только для систем линейных уравнений, графиками которых будут прямые.

4. Метод введения новых переменных состоит из поиска системы некоторых повторяющихся выражений, обозначающихся новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Рассмотрим пример решения задачи на движение.

При решении такого типа задач: 1. движение считается равномерным; 2. скорость считается положительной; 3. тело с собственной скоростью x и скоростью течения y дает скорость движения тела по течению, равным (x+y), против течения – (x-y).

Пример. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта A, который находится на притоке, плывет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте B, а затем идет вверх по реке до пункта C.  На путь от A до C он затратил 18 ч., на обратный путь – 15 ч. Найти расстояние от A до C, если скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч [1].

Решение. Пусть x км/ч – скорость течения притока. Тогда от A до B катер идет со скоростью (18+x) км/ч, а от B до A – со скоростью (18-x) км/ч, затрачивая на путь от A до B   ч, а также на путь от B до A   ч.

Тогда пусть y км – расстояние от B до C. Двигаясь от пункта B к пункту C, катер идет со скоростью 15 км/ч, а от C до B со скоростью 21 км/ч, затрачивая на путь от B до C  ч, на обратный путь от C до B  ч. На весь путь от A до C катер тратит  ч, что по условию составляет 18 ч, а на обратный путь  ч, что по условию – 15 ч.

Запишем систему уравнений:  

Решаем систему уравнений методом подстановки, выделив из первого уравнения y:

Подставляем y во второе уравнение системы:

Так как расстояние от A до C равно сумме расстояний от A до B (80 км) и от B до C (210 км), то весь путь от A до C равен 80 км+210 км=290 км.

При решении систем уравнений необходимо знать методику нахождения и правильно выбрать наиболее рациональный способ решения систем уравнений.

Использование различных способов решения систем уравнений является важным звеном в изучении предмета математики, повышает уровень математической грамотности, развивает мыслительный процесс, сообразительность и внимание у школьников.

Литература

1. Литвиненко, В. Н. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. Учеб. пособие для студентов педагогических институтов по математическим специальностям / В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. — Москва : Просвещение, 1984. — 288 c. — Текст : непосредственный.