Логико-математический анализ темы «Векторы»

Логико-математический анализ темы «Векторы», по учебнику

«Геометрия 7-9», Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.

1. Пояснительная записка

Тема «Векторы» является принципиально новым материалом при изучении векторно-координатной линии в школьном курсе геометрии. До этого учащиеся знакомились с такими предварительными понятиями как траектория и скорость в курсе физики 7-8 классов.

Основные понятия и определения данной темы:

1. вектор;
2. нулевой вектор;
3. длина вектора;
4. коллинеарные векторы;
5. сонаправленные и противоположно направленные векторы;
6. равные векторы;
7. сумма векторов;
8. разность векторов;
9. противоположные векторы;
10. произведение вектора на число.

Подготовка к изучению темы «Векторы» осуществляется преимущественно на уроках физики при изучении тем «Механическое движение», «Равномерное и неравномерное движение. Скорость»,  а также при решении сюжетных задач, связанных с выбором направления движения.

Цель изучаемой темы: овладение обучающимися умением выполнять действия над векторами как направленными отрезками

Знания и умения, которые должны быть сформированы у учащихся в результате изучения данной темы:

Знать и понимать:

1. понятие вектора, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, равенства векторов;
2. операции над векторами в геометрической форме (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, правило построения разности векторов и вектора, получающегося при умножении вектора на число); законы сложения векторов, умножения векторов на число;
3. формулу для вычисления средней линии трапеции.

Уметь:

1. откладывать вектор от данной точки;
2. пользоваться правилами при построении суммы, разности векторов, вектора, получающегося при умножении вектора на число;
3. применять векторы к решению задач;
4. находить среднюю линию треугольника.

2. Логико-математический анализ изучаемой темы

Материал данной темы является принципиально новым при изучении векторно-координатной линии, вследствие этого можем сделать вывод о том, что его введение происходит на дедуктивной основе. Структура текста параграфа подтверждает это утверждение.

Автор вводит определение понятия вектора, рассматриваются примеры, конкретизирующие это понятие, даются определения нулевого вектора, длины вектора. С помощью определений коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов вводится понятие равных векторов. Далее вводится понятие откладывания вектора от точки. Доказывается утверждение о возможности и единственности откладывания вектора от точки. На основе примеров вводится определение понятия суммы векторов. Формулируется правило треугольника и доказывается, что сложение векторов по правилу треугольника не зависит от выбора начальной точки. В качестве теоремы доказываются законы сложения векторов. Формулируется и конкретизируется на примерах из физики сложение векторов по правилу параллелограмма. Формулируется правило сложения векторов по правилу многоугольника.  Далее вводится определение разности векторов. Построение разности векторов основывается на решении соответствующей задачи в тексте параграфа. Вводится определение понятия противоположного вектора. Доказывается теорема о разности двух векторов. Приводится еще одно решение задачи о построении разности двух векторов на основе теоремы. На основании физических явлений вводится понятие произведения ненулевого вектора на число. Выделяются основные свойства умножения вектора на число. Их доказательство разбирается в качестве решения задачи в блоке задачного материала. На основе решения двух задач показано применение векторов к решению задач. Далее вводится определение средней линии трапеции и на основе векторного метода доказывается теорема о средней линии трапеции.

Ядерный материал данной темы: понятия вектора, равенства векторов, откладывания вектора от данной точки, суммы двух векторов, законы сложения векторов, понятия разности двух векторов, произведения вектора на число, понятие средней линии трапеции, теорема о средней линии трапеции.

При изучении темы могут быть выбраны следующие методы классификации Лернера – Скаткина: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный. При решении задач можно использовать проблемный и частично-поисковый методы.