Мастер-класс для студентов кафедры декоративно-прикладного искусства педагогического университета "Игрушка-трансформер Флексагон"

Флексагоны.

Слайд 1.

Показ готовых флексагонов.

Слайд 2.

Сегодня мы освоим технологию изготовления этих развивающих игрушек, ознакомимся с историей их открытия, изучитм схемы  складывания, создадим модели флексагонов и выявим их практическое применение.

Слайд 3.

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться) — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу.         Если бы не одно случайное обстоятельство — различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Слайд 4.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник.

При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями.

Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету.

Слайд 5.

Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Брайант Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки. К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учёными.

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам.

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения, как, например, известный кубик Рубика.

Спустя годы Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики.

Слайд 6.

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания. Чаще всего используется квадратная (тетрафлексагоны) или шестиугольная (гексафлексагоны) форма. Дополнительная приставка может означать общее число поверхностей флексагона; например, додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов. Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

Слайд 7.

Эти материалы нам понадобятся для дальнейшей работы.

Слайды 8-9.

Тригексафлексагон. На слайде изображена схема флексагона, который мы сейчас и сделаем.  Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона). Он представляет из себя сплющенную ленту Мёбиуса.

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Тригексафлексагон — гексафлексагон с тремя поверхностями

Изготовление тригексафлексагона

Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом

• Вырезать из бумаги ленту шириной в 4-7 см и разметить с двух сторон согласно рисунку: 

• Перегнуть ленту по каждой из линий в обе стороны и снова разогнуть.
• Перегнуть ленту по линиям a-b и c-d так, чтобы секторы с «двойками» совместились друг с другом:

• Перегнуть ленту по линии e-f так, чтобы совместились последние две «двойки».
• Намазать клеем секторы, помеченные звёздочкой, и склеить их: 

Слайд 10.

Нашу работу можно украсить однотонными разноцветными треугольниками, цветочным орнаментом, геометрическими фигурами из бумаги или нарисовать авторский рисунок, элементы которого будут передвигаться. Забавно смотрятся фигурки людей в различных комбинациях.

Слайд 11.

Если украшать элементы одной поверхности, разбив их на сектора, то при каждом складывании будет получаться все новый и новый узор, как в калейдоскопе.

Слайд 12.

Наиболее интересным и в то же время доступным для детского творчества является гексагексафлексагон. Он имеет 6 поверхностей, каждая из которых- шестиугольник.

Слайды 13-15.

В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Более интересен гекса-тетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Для его построения нужно взять полоску бумаги, вырезанную в виде квадратной рамки, разграфить на квадраты и пронумеровать так, как показано на рисунке. После этого полоску бумаги надо перегнуть вдоль всех прямых, которые отделяют друг от друга соседние квадраты. Сгибы должны быть обращены острием вниз.
Наметив все линии сгиба, полоску нужно разгладить и вновь перегнуть вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (а). Перевернем полоску и перегнем вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (в). Заправим квадрат с цифрой 3 под квадрат с цифрой 2. В результате все четыре верхних квадрата окажутся помеченными цифрами 2. К левому верхнему квадрату с цифрой 2 приклеим прозрачную ленту, а другой конец ленты приклеим к квадрату с цифрой 1, который находится с обратной стороны флексагона.

        Тетрафлексагоны с числом плоскостей также можно изготавливать из квадратных рамок.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея.

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4.

Кольцевые флексагоны.

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса).

Слайд 16.

Разновидности флексагонов на фото.

Слайд 17.

Применение флексагонов.

Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон. Флексагоны используются как открытки на различные темы. Бывают даже диванные подушки в форме флексагонов.