Построить квадрат по четырем точкам, по одной на каждой стороне квадрата.

Задача: Построить квадрат по четырем точкам, по одной на каждой стороне квадрата.

Дано:                                                      Анализ:

 - точки          Предположим, что задача решена и искомый квадрат

                                        построен.

Построить: 

-квадрат /

,

Так как  прямой, то точка   принадлежит окружности , построенной на, как на диаметре. Обозначим точку пересечения окружности  и диагонали квадрата  через . Вписанный в окружность  , тогда соответствующий ему центральный угол , и  принадлежит серединному перпендикуляру к . Аналогично, точка пересечения окружности, описанной около , с диагональю , принадлежит серединному перпендикуляру к . Таким образом, определена диагональ квадрата.

Построение:

1.  и - отрезки;
2. -точка/ ;
3. -точка/ ;                            
4. ;
5. ;
6. - прямая/ ;
7. - прямая/ ;
8. ;
9. ;
10. -прямая;
11. ;
12. ;
13. -прямые;
14. ;
15. .

- искомый.

Доказательство:

1.  по построению.
2. Докажем, что  - квадрат.

а)  и   как вписанные и опирающиеся на диаметры окружностей   и   соответственно.

б)  и   как вписанные и опирающиеся на дуги   и , на которые опираются прямые центральные углы  и . Таким образом, соответственные  углы при прямых  и   и секущей  равны. Значит, прямые  и  параллельны. Аналогично,  и  параллельны. Следовательно, - параллелограмм;

в) так как , следовательно, - прямоугольник;

г) рассмотрим : , . Значит,  - равнобедренный (по признаку), отсюда следует, что . Следовательно, - квадрат.

                                                                   Что и требовалось доказать.

Исследование:

Пункты 2-7, 10-15 построения выполняются всегда и однозначно.

1. при построении можно выбрать еще отрезки, либо  и , либо  и .

8.

9.  

Если мы будем рассматривать при построении различные отрезки  и , либо  и , либо  и , то в общем случае получим 12 решений. Из которых различных всего 6. То есть можем сказать, что в общем случае задача имеет 6 решений. Ниже приведены чертежи, где 1=6, 7=10, 4=8, 5=12, 2=11, 3=9 (знак «=» обозначает совпадение).

1. 2

                                  3                                                                       4

                        5                                                              6

                        7                                                                  8

                                9                                                                    10

                                11                                                                   12

Рассмотрим частные случаи:

1.  ;  и в точке пересечения делятся пополам - бесконечное множество решений;
2.  и в точке пересечения делятся пополам - 4 решения.