MS Excel 2007. Визначники, матриці, системи.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Інтерактивні т ехнології навчання (інтегроване заняття) Математика + Інформатика 2 Міністерство аграрної політики і продовольства України Бучацький коледж ПДАТУ М.Д.Фасолько
формування умінь і навичок виконання дій з матрицями, обчислення визначників, розв ' язування систем лінійних рівнянь з трьома змінними в середовищі MS Excel . Фасолько М.Д. 3 Мета: План Поняття матриці. Дії над матрицями. Визначники. Обчислення визначників. Розв ’ язування систем лінійних рівнянь. Робота в середовищі ms excel. Розв ’ язування вправ з допомогою ms excel. Математика + Інформатика
Основні поняття У математиці матрицею називають прямокутну таблицю, у кожній клітинці якої записане число. Їх називають елементами матриці. Фасолько М.Д. 1999 259 321 2000 370 260 2001 157 468 2002 259 318 2003 201 399 2004 201 420 2005 459 201 2006 257 350 2007 587 196 2008 129 452 2009 253 389 2010 257 370 А11,1=2009 А 6, 2 =201 А 9,3 =196 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Одинична матриця На головній діагоналі стоять нулі, всі інші елементи матриці - 0. Е= 4
Операції з матрицями 2 3 4 5 2 3 6 7 8 Фасолько М.Д. А= 10А= 20 30 40 50 20 30 60 70 80 Множення на коефіцієнт Додавання матриць 2 3 4 5 2 3 6 7 8 А= 0 3 3 5 9 1 4 5 6 В= 2 6 7 10 11 4 10 12 14 А+В= 5
МНОЖЕННЯ 2 3 4 5 Фасолько М.Д. 1 1 А = В= 2*1+3*1=5 4*1+5*1=9 А*В = 5 9 2 3 4 5 А = 1 1 1 1 В = А*В = 5 5 9 9 6
2 3 4 5 Фасолько М.Д . 4 6 А = В= 2*4+3*6=26 4*4+5*6=46 А*В = 26 46 2 3 4 5 А = 1 4 1 6 В = А*В = 5 26 9 46 МНОЖЕННЯ 7
МНОЖЕННЯ 2 3 4 5 Фасолько М.Д. 1 0 А = В= 2*1+3*0=2 4*1+5*0=4 А*В = 2 4 2 3 4 5 А = 1 0 0 1 В = А*В = 2 3 4 5 Одинична матриця 8
МНОЖЕННЯ 7 1 6 5 Фасолько М.Д. 6 8 А = В= 7*6+1*8=50 6*6+5*8=76 А*В = 50 76 2 3 4 5 А = 4 2 5 3 В = А*В= 2*4+3*5=23 4*4+5*5=41 2*2+3*3=13 4*2+5*3=23 23 13 41 23 9
Помножити матриці В * А. Порівняти з попереднім результатом А * В. 23 13 41 23 Фасолько М.Д. 2 3 4 5 А = 4 2 5 3 В = В*А = 4*2+2*4=16 5*2+3*4=22 4*3+2*5=22 5*3+3*5=30 А*В = В*А = 16 22 22 30 Добуток матриць не комутативний 10
Примітки до множення матриць З означення добутку матриць А * В випливає, що кількість стовпців у матриці А має дорівнювати кількості рядків у матриці В. Якщо розмірність матриць цій умові не задовольняє, то перемножити такі матриці неможливо! 2. Якщо матрицю розмірності М Х К помножити на матрицю розмірності К Х Р , то отримаємо матрицю розмірності М Х Р . Фасолько М.Д. 11
Обернена матриця і визначник матриці Матриця А -1 називається оберненою до матриці А, якщо А -1 *А=Е, де Е – одинична матриця. Формули для обчислення оберненої матриці вивчаються у вищій школі. Не для всіх матриць існує обернена матриця. Щоб визначити чи існує обернена матриця використовують визначник матриці. | А | - позначення визначника матриці. Якщо визначник заданої матриці дорівнює нулю, то оберненої матриці до заданої матриці не існує. Фасолько М.Д . 2 3 4 5 А = | А | = 2*5-4*3=-2 4 2 5 3 В = | В | = 4*3-2*5=2 12
Обчислення визначника матриці 3 Х 3 3 4 5 6 1 2 4 6 0 Фасолько М.Д . А = | А | = Дана матриця А, обчислити для неї визначник | А | . 3 4 5 6 1 2 4 6 0 А = Коефіцієнти для формули 1 2 6 0 3* 6 2 4 0 - 4* 6 1 4 6 + 5* | А | = 3*(1*0-6*2)-4*(6*0-4*2)+5*(6*6-4*1)=156 3 4 5 6 1 2 4 6 0 3 4 5 6 1 2 4 6 0 3 4 5 6 1 2 4 6 0 + + - 13
Обчислення визначника матриці 3 Х 3 3 4 5 6 1 2 4 6 0 Фасолько М.Д. А = | А | = Дана матриця А, обчислити для неї визначник | А | . 3 4 5 6 1 2 4 6 0 А = Коефіцієнти для формули 1 2 6 0 3* 4 5 6 0 - 6* 4 5 1 2 + 4* | А | = 3*(1*0-6*2)-6*(4*0-6*5)+4*(4*2-1*5)=156 3 4 5 6 1 2 4 6 0 3 4 5 6 1 2 4 6 0 3 4 5 6 1 2 4 6 0 + + - 14
Операції з матрицями в Excel Фасолько М.Д. Операції з матрицями можна виконувати за допомогою: 15
Множення матриць на коефіцієнт за допомогою формул Фасолько М.Д. 1. Розмістити елементи матриці у суміжному діапазоні клітинок. 2. Записати у окрему клітинку коефіцієнт. 3. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат множення матриці на коефіцієнт. 4. Ввести у верхню ліву клітинку формулу множення елементу матриці з відповідного верхнього лівого кута на коефіцієнт. Адреса клітинки коефіцієнта буде абсолютною, а елемента матриці відносною. 5.Скопіювати формулу методом автозаповнення у всі інші клітинки виділені кольором. 16
Додавання матриць за допомогою формул Фасолько М.Д. 1. Розмістити елементи матриць у суміжному діапазоні клітинок. 2. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат додавання матриць. 3. Ввести у верхню ліву клітинку формулу додавання елементів матриць з відповідного верхнього лівого кута. 4.Скопіювати формулу методом автозаповнення у всі інші клітинки виділені кольором. 17
Множення матриць за допомогою формул Фасолько М.Д. 1. Розмістити елементи матриць у суміжному діапазоні клітинок. 2. Виділити кольором діапазон суміжних клітинок на аркуші, у які отримаємо результат множення матриць. 3. Ввести у верхню ліву клітинку формулу множення елементів матриць з відповідного верхнього лівого кута. Адреси клітинок рядка для елементів першої матриці будуть відносні, а адреси клітинок стовпця для елементів другої матриці будуть абсолютні 4.Скопіювати формулу методом автозаповнення вниз у всі інші клітинки виділені кольором. 18
Обчислення визначника матриці за формулою Фасолько М.Д. Розмістити елементи матриці у суміжному діапазоні клітинок. В окрему клітинку аркуша ввести формулу за методом розібраним раніше. 19
Множення на коефіцієнт допомогою спеціальної вставки Фасолько М.Д. 20
Додавання матриць за допомогою спеціальної вставки Фасолько М.Д. 21
Завдання 1 Відкрити файл Матриці .xls Підготувати аркуш матр_формули для наступних операцій над матрицями А і В 1. Множення на коефіцієнт відповідно варіанта 2. Додавання матриць 3. Множення матриць 4. Обчислення визначника матриці. 1 -1 0 А= 2 3 1 2 1 3 4 -1 0 В= 1 3 1 11 1 3 Фасолько М.Д. 22
Завдання 2 Відкрити файл Матриці .xls Перейти на аркуш матр_спец_вставка Використовуючи спеціальну вставку виконати наступні операції над матрицями А і В 1. Множення на коефіцієнт відповідно варіанта 2. Додавання матриць 1 -1 0 А= 2 3 1 2 1 3 4 -1 0 В= 1 3 1 11 1 3 Фасолько М.Д. 23
Функції над матрицями в Excel Фасолько М.Д. Результат число Результат матриця, Кількість рядків, як у першій матриці, кількість стовпців як у другій матриці. Результат матриця такого розміру як і задана матриця Для формування результату матриця використовуємо CTRL+Shift+Enter 24
МОПРЕД Фасолько М.Д. 25
МУМНОЖ Фасолько М.Д. 26
МОБР Фасолько М.Д. 27
Завдання 3 Фасолько М.Д. За допомогою функцій Excel виконати наступні операції над матрицями А і В 1. Множення матриць 2. Обчислення визначника матриці. 3. Обчислити обернену матрицю до заданої. 4. Обчислити добуток оберненої матриці і заданої матриці . 1 -1 0 А= 2 3 1 2 1 3 4 -1 0 В= 1 3 1 11 1 3 28
Розв'язання системи лінійних рівнянь Фасолько М.Д. 2 способи ( з використанням операцій з матрицями) За допомогою визначників матриці За допомогою оберненої матриці 3х1+4х2+5х3=10 6х1+х2+2х3=8 4х1+6х2+4х3=20 3 4 5 6 1 2 4 6 4 1. Виписуємо коефіцієнти перед невідомими у матрицю А, а значення справа у В, невідомі у Х. Система рівнянь буде мати матричний вид. За допомогою визначників матриці А= 10 8 20 В = Х = х1 х2 х3 А*Х=В 29
Продовження способу 1 10 4 5 А1= 8 1 2 20 6 4 А2= 3 10 5 6 8 2 4 20 4 3 4 10 А3= 6 1 8 4 6 20 х1 1,278 х2 3,556 х3 -1,61 Фасолько М.Д. 2. Сформуємо 3 додаткові матриці, де замінимо у першій стовпчик 1 значеннями з матриці В, у другій стовпчик 2 значеннями з матриці В, у третій стовпчик 3 значеннями з матриці В. 3. Обчислимо визначники для матриць А, А1, А2, А3 за допомогою функції МОПРЕД. |А1| =92 |А2| =256 |А3| =-116 |А| =72 4. Розділимо визначники матриць А1, А2, А3 на визначник матриці А і отримаємо відповідно значення х1, х2,х3. 30
За допомогою оберненої матриці -0,11 0,194 0,042 A -1 = -0,22 -0,111 0,333 0,444 -0,028 -0,29 х1 1,278 х2 3,556 х3 -1,611 Фасолько М.Д. 1. Обчислимо обернену матрицю для матриці А, яка складається з коефіцієнтів перед невідомими у системі рівнянь. 3х1+4х2+5х3=10 6х1+х2+2х3=8 4х1+6х2+4х3=20 3 4 5 6 1 2 4 6 4 А= 10 8 20 В = Х = х1 х2 х3 Обернена матриця 2. Множимо обернену матрицю на матрицю В і отримаємо, матрицю розв'язку Х. 31
Практична робота Фасолько М.Д. Завдання Розв'язати в табличному процесорі 2 системи лінійних рівнянь за допомогою операцій над матрицями двома способами. Перевірити отриманий результат для обох завдань. 2 0,4 0,4 0,3 4 0,4 0,1 0,1 5 1,6 7,1 -14,7 А) 5 -1 1 3 1 2 3 -2 2 -1 -2 -3 3 2 -1 2 Б) -4 6 8 4 32
Підсумок Ми навчилися виконувати операції з матрицями; обчислювати визначники; розв ’ язувати системи лінійних рівнянь за допомогою табличного процесора MS Excel . Фасолько М.Д. 33 Математика + інформатика
Фасолько М.Д. 34 Допобачення Інформатика + Математика