Простые узлы и единственность разложения на простые множители

ПРОСТЫЕ УЗЛЫ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ УЗЛЫ

Возникает вопрос: что такое простой узел? Для начала вспомним определение простых чисел. Простое число — это положительное целое число, которое делится только на единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,…

Числа, имеющие больше двух натуральных делителей, называются составными. Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,...В свою очередь единица не является ни простым, ни составным числом и является отдельным классом натуральных чисел.

А какова ситуация для узлов? Так же как и у чисел, среди узлов есть простые узлы. Примером простых узлов могут послужить узлы из таблицы на рис.1.

Рис.1 Таблица простых узлов с семью и менее пересечениями без учёта зеркальных отражений. (Тривиальный узел простым не считается)

Итак, дадим определение. Простой узел-это нетривиальный узел, который нельзя представить в виде конкатенации двух нетривиальных узлов. То есть это узел, который неразложим. Об узлах, не являющихся простыми, говорят как о составных узлах. Примером составного узла может послужить квадратный узел или как его еще называют скауты «двойным узлом» (рис.2)

Рис.2 Пример составного узла

Снова обратимся к натуральным числам. Основная теорема арифметики гласит, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Подобно и с узлами: каждый узел с точностью до порядка раскладывается на простые узлы единственным образом. Доказательством этой теоремы успешно занялся немец Хорст Шуберт.

Таким образом, арифметика узлов не привела нас к их классификации. Свойства узлов и теорема Шуберта приводят нас  к идее классифицировать узлы так, чтобы нумерация отражала разложение на простые множители. Идея состоит в том, чтобы такая нумерация каждому простому узлу сопоставляла бы простое число, а каждому составному узлу — составное число таким образом, чтобы простые множители, на которые раскладывается число-номер, были бы номерами простых множителей узла. Однако эта идея не совсем верна, так как в отличие от чисел, неизвестно, как складывать два узла. Например, число 7 можно получить через сложение 7 единиц:7=1+1+1+1+1+1+1.Однако, нельзя получить узлы через сложение тривиальных узлов. Следующая причина-это отсутствие порядка во множестве узлов. Конечно, обычно упорядочивают узлы числом минимальных перекрестков у их диаграмм, но этот порядок не является линейным: можно ли сказать, какой из двух узлов с пятью перекрестками (на рис.3) «меньше», а какой — «больше»?

Рис.3 Два узла с 5-тью перекрестками

Итак, арифметика узлов не привела нас к их классификации.