Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика.

Тема № 5  Задачи и методы математической статистики. Числовые характеристики вариационного ряда.

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

Виды выборок:

1. Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.
2. Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.

Пример1:

С завода на склад поступило 10  тыс.  деталей. Необходимо исследовать их на наличие дефектов. Все детали исследовать нет возможности. Поэтому выбирают случайным образом 100 деталей и тщательно обследуют их. По выбранным деталям делают вывод обо всех деталях.

 В данном случае генеральная совокупность – это все 10 тыс. деталей, а выборочная совокупность – это 100 обследованных деталей.

3.      Статистическое распределение выборки

Генеральную совокупность исследуют на какой-либо числовой признак. Числовые значения , которые может принимать этот признак, называются вариантами. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1–наблюдалось n раз, x2-n2  раз,…  xk - nk раз. n = n1+n2+...+nk– объем выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке  - вариационным рядом. Числа наблюдений    называются частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки   - относительными частотами или статистическими вероятностями.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Пример2:

Исследуются студенты второго курса колледжа по оценкам, полученным за экзамены. Тогда варианты -  это оценки 2,3,4,5, а частоты - это количество студентов, получивших 2,3,4,5 соответственно:

Пример3:

Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.

Решение:

Найдем относительные частоты:

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Пример4:

Исследуются студенты второго курса колледжа по росту. Тогда варианты xi -  это рост студентов, а  частоты ni - это количество студентов, определенного роста:

Полигон.  

Полигон частот (или относительных частот) в математической статистике представляет собой ломаную, соединяющую точки, с абсциссами, равными значениям вариант  и ординатами, равными  частотам (или относительным частотам) этих вариант.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Такие точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

В случае интервального ряда для построения полигона в качестве  xi  берутся середины интервалов, но целесообразнее построить гистограмму.

Гистограмма.

Гистограммой  в математической статистике называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы при интервальном распределении выборки, а высоты равны частотам или относительным частотам.

Средние значения выборки (среднее выборочное)

Выборочную среднюю найдем по формуле: , где  - варианта выборки,  - частота варианты  ,  - объем выборки.

.

Найдем

 Выборочную дисперсию  находят по формуле: .

Среднеквадратическое отклонение находим по формуле:

Пример 5

Построить полигон частот и полигон относительных частот

Вычислим относительные частоты:

Пример 2

Построить гистограмму частот и относительных частот (частостей)

Вычислим относительные частоты:

Пример6. 

Исследуя средний срок, на который осуждается преступник в г. Мурманске. По 100 рассмотренным делам получены следующие данные:

Найти выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение.

Решение:

Выборочную среднюю найдем по формуле: , где  - варианта выборки,  - частота варианты  ,  - объем выборки.

За  принимаем середины интервалов 1,3,5,7,9,  n=6+11+49+19+15=100.  .

Найдем

Найдем выборочную дисперсию .

Среднеквадратическое отклонение находим по формуле:

Ссылки на фильмы в  youtube:

1. https://www.youtube.com/watch?v=GiKIdomgv50  9 мин. Статистика - вводная лекция

2. https://www.youtube.com/watch?v=Vj3hFaVzLyY 7 мин 50 сек. Сбор и группировка статистических данных.

3. https://www.youtube.com/watch?v=LW9mmTvijSs 5 мин 30 сек Частотное распределение и гистограммы. Статистика и теория вероятностей

4. https://www.youtube.com/watch?v=9xjgjd8txOw&t=226s 13 мин Таблицы, графики, диаграммы и другие

Контрольные вопросы:

1. Что такое математическая статистка? Основная задача математической статистики.
2. Привести пример генеральной совокупности и выборочной совокупности (не из этого теоретического материала).
3. Что называют статистическим распределением выборки?
4. Привести пример статистического распределения   выборки (не из этого теоретического материала).
5. Что такое полигон в математической статистике?  
6. Что такое гистограмма   в математической статистике?  

Задание №1.

Игра   https://learningapps.org/display?v=p6wfsx4in20 

Задание №2.

Тест  в Google:  https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSd_23Sk1Ve2smpyBQdli8-QJCFwsJTnvGZjgmc-l2g0q6e1nw/viewform?vc=0&c=0&w=1 

Ответы теста  предоставлять на Google.