Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение задач с помощью диаграмм Венна.

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество вида:

A∪B ={a  a∈ A  или  a∈ B}(рис. 1.2, а).

Пересечением  двух множеств А и В называется множество вида:

A∩B={a  a∈ A  и   a∈ B} (рис. 1.2, б).

Если множества А и В  не имеют общих элементов, то A∩B=∅.

Правило сложения. Из двух множеств, содержащих n и m  элементов соответственно,  выбрать один элемент можно n+m  способами, если множества не пересекаются и n+m-k способами, если эти множества имеют k общих элементов.

Число элементов  объединения множеств А и В, содержащих nи m элементов соответственно, равно n+m-k, где  k- количество общих элементов. Если множества не пересекаются, то  k=0.

Если число элементов множества обозначить , то кол-во элементов объединения (суммы) можно найти по формуле , где - количество общих элементов.

Если множеств  три, то =

, где -универсальное множество.

Если число элементов множества обозначить , то кол-во элементов объединения (суммы) можно найти по формуле , где - количество общих элементов.

Если множеств  три, то =

, где -универсальное множество.

Задача. В группе из 29 человек по результатам опроса оказалось, что 20 человек увлекаются музыкой, а 15 человек увлекаются танцами. Сколько человек увлекаются музыкой и танцами, если 6 человек ответили, что не увлекаются ничем?

Решение.

В данной задаче универсальное множество U – это все, кто состоит в группе.  По условию задачи его мощность  равна 25.

  Пусть  – множество людей из данной группы,  увлекающихся музыкой.  Тогда по условию задачи его мощность  равна  20.  

 – множество тех, кто увлекается танцами.  Тогда по условию его мощность  равна 15.

Тогда  - множество тех, кто увлекается музыкой и танцами одновременно,

 а   - это множество тех, кто увлекается танцами или музыкой, или и тем, и другим одновременно.

 Тогда множество  - это те люди, которые не увлекаются ничем, по условию задачи мощность этого множества равна 6. 

Изобразим эти множества на диаграмме Венна:

U

      М

Заштриховано множество  - множество тех,  кто  увлекается музыкой и танцами.

Что бы найти количество элементов множества нужно из суммы мощностей множеств М  и Т  вычесть мощность их пересечения . Мощность универсального множества U  равна сумме мощностей множества  и множества  .  Пусть множество   содержит х элементов, тогда  29 = 6 + 20+15  - х.

 Отсюда  х=12.  Следовательно, множество  должно содержать  12 элементов.

Количество увлекающихся музыкой и танцами одновременно  12 человек.

Решить задачи и изобразить на диаграмме Венна.

1. На  20 % компьютеров компании  установлена операционная система Microsoft Windows XP , на 85 % компьютеров установлена Microsoft Windows 7, на 10 % установлена операционная  система  Linux.  Одновременно Linux  и  Microsoft Windows 7 установлены на 6% компьютеров, Microsoft Windows XP  и Linux  на 4% , все три программы установлены на 2% компьютеров. На скольких процентах компьютеров установлена операционная система  Microsoft?
2. Каждый студент в группе сдает экзамен либо по высшей математике, либо по математической логике, либо по обоим предметам. По высшей математике сдают экзамен  15 человек, а по мат. логике - 19, а тот и другой предмет – 7 студентов. Сколько студентов в группе?
3. В торговый центр “Форум” пришло 100 покупателей. Диск Николая Баскова купило 20 человек,  диск Стаса Михайлова купило 64 человек, причем 11 человек купило диски этих двух исполнителей. Сколько человек не купило диски этих исполнителей?
4. Несколько футбольных болельщиков соседнего дома выписывают журнал “Наш футбол”, часть жителей этого дома выписывают известный автомобильный журнал “Top Gear”, а часть тот, и тот журнал. Сколько жителей соседнего дома выписывают оба журнала, если на “Наш Футбол” подписано 64 процента, а на “Top Gear” – 84 процента?
5. Первый и второй зачет по Русскому языку сдали 9 школьников, первый и третий зачет – 6 школьников, второй и третий  - 7 школьников. Не менее двух зачетов выполнили 10 школьников. Сколько школьников успешно сдали все три зачета?
6.  В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
7. В Хоккейной команде “Звезда” 24 игрока. Среди них 13 нападающих. 7 полузащитников, 10 защитники и вратари. Известно, что 4 из игроков могут быть нападающими и защитниками, 5 защитниками и полузащитниками, 7 нападающими и защитниками, а 2 и нападающими и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде “Звезда” вратарей?
8. В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
9. На полке стояло 42 волшебные книги  по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 5 прочитали и Гарри Поттер, и Рон.  Гермиона прочитала 27 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и 6 книг, которые читал Гарри Поттер.  4 книги прочитали и Рон, и Гермиона. 2 книги прочитали все трое. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
10. В магазине побывало 36 человек. Известно, что они купил 10 планшетов, 15 смартфонов, 23 телевизора. 7 из них купило и планшет, и смартфон, 15 человек купили и смартфон, и телевизор, 6 человек – и планшет, и телевизор. И 5 человек совершили все три покупки. Был ли среди них посетитель, который ничего не купил?
11. В офисе работает 119 человек. 25 человек приезжает только на личном авто. Автобусом пользуется 27 человек, троллейбусом 43, метро 36, причем,  четверо из них пользуются и метро и автобусом, 5 человек - троллейбусом  и метро, 6 человек - автобусом и троллейбусом.  Часть из них пользуются троллейбусом, метро и автобусом. Сколько человек  пользуется не одним видом транспорта?
12. Из 100 туристов отправляющихся на зимний курорт, на сноуборде умеют кататься 30 человек, на лыжах – 28 и на коньках – 42 человека. На сноуборде и лыжах умеют кататься 8 человек, на лыжах и на коньках – 5 человек, на сноуборде и коньках 4 человека. На всех трех – трое. Сколько человек вообще не умеет кататься?
13. Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной.  Причем,  25 человек  из  них  берут книги в школьной библиотеке,  20 человек берут книги  в районной библиотеке. Сколько шестиклассников: 1)не являются читателями районной библиотеки; 2)  не являются читателями школьной библиотеки; 3) являются читателями только районной библиотеки; 3) являются читателями только школьной библиотеки? 4) являются читателями обеих библиотек?
14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10-в Италии, 6-в Англии; в Англии и Италии -5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
15. В  трёх     группах 70 студентов. Из  них  27  занимаются  в  драмкружке,  32  поют  в хоре,  22  увлекаются  спортом.  В  драмкружке  10 студентов из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8  спортсменов;  3  спортсмена  посещают  и  драмкружок  и  хор. Сколько  студентов  не  поют  в  хоре,  не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько студентов заняты только спортом?