Публикации "Диофантовы уравнения"
Статья, опубликованная в сборнике МОЛОДОЙ УЧЁНЫЙ "Диофантвы уравнения".
Тезисы научно-практической конференции "Диофантовы уравнения", опубликованы в сборнике МОЛОДЁЖЬ В НАУКЕ.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Статья "Диофантовы уравнения от древности до наших дней" | 309.5 КБ |
Тезисы "Диофантовы уравнения" | 110.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Диофантовы уравнения: от древности до наших дней
Учитель готовится
к хорошему уроку всю жизнь…
и, чтобы дать ученикам искорку знаний,
учителю надо впитать целое море света.
В.А. Сухомлинский.
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Результаты ЕГЭ последних лет свидетельствуют о наличии достаточно высокого процента учащихся, не преодолевающих минимальный порог баллов. Выполнение требований стандарта, сформулированных на минимальном уровне достижений учащихся, учителю необходимо обеспечивать у всех обучаемых. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне.
Считается, что задания типа С-6 зачастую вызывают огромные затруднения у современных учеников и выпускников общеобразовательных учреждений, так как на занятиях не уделяется должного внимания подобного рода задачам, и причин тому немало: недостаток времени, нехватка методической литературы, слабый уровень математической подготовки выпускников и др.
В связи с вышесказанным, тема «Диофантовы уравнения», то есть решение уравнений в целых и рациональных числах, была, есть и будет актуальна и в наше время. Разнообразные задачи данного класса предлагаются как на олимпиадах, едином государственном экзамене, так и вступительных экзаменах в вузы.
Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики.
Проследим, как осуществлялось развитие и происходило становление теории диофантовых уравнений. Если обратиться к истории, то можно заметить, что конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения.
Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу. В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта. Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков – Франсуа Виета и Пьера Ферма.
Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39-48].
Итак, сформулируем определение понятия «диофантово уравнение»: линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида , где коэффициенты – целые числа, а неизвестные являются целыми или рациональными числами. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.
В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано многочленов от переменных, с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество всех рациональных решений системы
(1)
и определить его алгебраическую структуру. При этом решение называется рациональным, если все [2, c. 42].
Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т.е. к случаю :
(2)
Это уравнение определяет на плоскости алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой [1, c. 15].
Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где и - рациональные функции [1, c. 23].
При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:
- имеет ли уравнение целочисленные решения;
- конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
- решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
- решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
- решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].
В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:
- использование алгоритма Евклида;
- использование цепных дробей;
- способ перебора вариантов;
- использование сравнений [3].
Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:
- не иметь решений в целых числах;
- иметь конечное число решений в целых числах;
- иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].
При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.
На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно [3]:
- метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;
- метод разложения на множители;
- метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение;
- метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных;
- метод бесконечного (непрерывного) спуска;
- метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;
- метод, основанный на выделении полного квадрата.
Далее рассмотрим несколько примеров решения диофантовых уравнений, а именно: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение и метод разложения на множители.
1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.
Пример 1.
Найти всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения .
Решение.
Выразим из уравнения переменную через : .
Так как и – натуральные числа, то , , , .
Перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются , .
Ответ: [3, c. 13].
Пример 2.
Решить в целых числах уравнение .
Решение.
- Правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .
- Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.
По теореме о делении с остатком целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.
Если , то левая часть уравнения на 3 не делится.
Если , то , следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.
Если , то , следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.
Таким образом, ни при каких целых левая часть уравнения на 3 не делится, а правая часть – делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решении не имеет.
Ответ: решений нет [3, c. 15].
2. Метод разложения на множители.
Данный метод применяется в случаях, когда в уравнениях можно применить какой-либо из способов разложения на множители:
- Формулы сокращенного умножения;
- Вынесение общего множителя за скобку и т.д.
Итак, охарактеризуем метод разложения на множители на конкретных примерах.
Пример 1.
Решить уравнение в целых числах .
Решение.
Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители .
Выпишем все делители числа 91: , , , .
Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число ,
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными.
Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений: .
Решив системы, получим:
- первая система имеет решения , ;
- вторая система решений в целых числах не имеет;
- третья система имеет решения , ;
- четвертая система решений в целых числах не имеет.
Пример 2.
Найти все целочисленные решения уравнения .
Решение.
Проведем цепочку равносильных преобразований:
⬄ ⬄ ⬄ ⬄ .
Так как можно представить в виде двух целых чисел с учетом порядка двумя способами, т.е. , получаем две системы:
или .
Решением первой системы является пара , а второй – .
Ответ: , [3, c. 17–19].
Оказывается, что некоторые текстовые задачи практического содержания также можно свести к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Покажем данный прием на конкретных примерах.
Задача №1
Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа ?
Решение.
Пусть в автобус типа входит человек, а в автобус типа входит человек.
Пусть каждый из трех автобусов типа сделает по рейсов, а каждый из двух автобусов типа – по .
Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей.
Получаем уравнение: ;
;
.
При получаем: или .
Число – один из восьми делителей числа . Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар и ): , , , , , , , .
Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные : 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 504.
Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа (по 15 человек) или двумя автобусами типа (по 22 человека) за 45 рейсов.
Задача 2. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?
Решение.
Пусть в каждой из коробок лежит 3 пакетика, по шариков в каждом. Во втором случае коробок , пакетиков в коробке 2, а шариков в пакетике . По условию задачи получаем уравнение: , откуда .
Заметим, что из следует, что , откуда .
Учитывая, что числа и натуральные, получаем, что – натуральный делитель числа 36.
Количество шариков при этом .
Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при . Следовательно, наибольшее значение функции достигается, если – наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.
Если , то , .
Если , то , .
Ответ: 840 шариков [4, c. 27–28].
Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах – один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни – последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, является актуальным и в наше время и служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.
Список используемой литературы:
- Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: «Наука», 1972 г.
- Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. – М.: «Наука», 1984 г.
- Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. – Брест, 2013 г.
- Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. – Брянск, 2010 г.
- Шевкин А.В., Пукас Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. – М.: «Экзамен», 2014г.
Предварительный просмотр:
Диофантовы уравнения
Мы обратились к теме «Диофантовы уравнения», так как задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на едином государственном экзамене, вступительных экзаменах в вузы. Безусловно, тема решения уравнений в целых и рациональных числах была, есть и будет актуальна. Недаром ей занимались с самого зарождения математики.
Конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения.
Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу.
В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта.
Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков — Франсуа Виета и Пьера Ферма.
Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39–48].
Итак, линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида , где коэффициенты – целые числа, а неизвестные являются целыми или рациональными числами. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.
В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано многочленов от переменных, с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество всех рациональных решений системы
(1)
и определить его алгебраическую структуру. При этом решение называется рациональным, если все [2, c. 42].
Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т.е. к случаю :
(2)
Это уравнение определяет на плоскости алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой [1, c. 15].
Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где и - рациональные функции [1, c. 23].
При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:
- имеет ли уравнение целочисленные решения;
- конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
- решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
- решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
- решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].
В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:
- использование алгоритма Евклида;
- использование цепных дробей;
- способ перебора вариантов;
- использование сравнений [3].
Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:
- не иметь решений в целых числах;
- иметь конечное число решений в целых числах;
- иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].
При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.
На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно:
- метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;
- метод разложения на множители;
- метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение;
- метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных;
- метод бесконечного (непрерывного) спуска;
- метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;
- метод, основанный на выделении полного квадрата [3].
Итак, решение уравнений в целых и рациональных числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Приведем пример задания типа С6 единого государственного экзамена, сводящего к диофантовому уравнению: Натуральные числа и таковы, что и , и делятся на . Найти и [5, c. 17].
Диофантовы уравнения используются так же в инженерии, биологии и повседневной жизни, примером чего может служить следующая задача: Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа [4, c. 134]?
Таким образом, диофантовы уравнения, известные еще в III в. до н.э., актуальны и в наше время и являются предметом исследования как математиков, так и методистов.
Библиографический список:
- Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: «Наука», 1972 г.
- Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. – М.: «Наука», 1984 г.
- Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. – Брест, 2013 г.
- Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. – Брянск, 2010 г.
- Шевкин А.В., Пукас Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. – М.: «Экзамен», 2014г.