Задания для типового расчёта по высшей математике. Теория вероятностей

1. Классическое и геометрическое определения вероятности

1. В барабане револьвера 7 гнезд, в 5 из них заложены патроны. Опыт заключается в том, что барабан вращается и нажимается спусковой крючок. Найти вероятности следующих событий:  – в результате двух повторений опыта не будет ни одного выстрела;  – будет два выстрела;  – будет один выстрел.

2. В ящике 100 яблок, одинаковых с виду. Десять из них – кислые, а остальные – сладкие. Наудачу берут 4 яблока. Найти вероятность того, что все они: а) кислые; б) сладкие.

3. Чтобы получить доступ к секретному документу в компьютере, нужно набрать неизвестный четырехзначный пароль из цифр. Какова вероятность прочитать документ?

4. В буфете к концу дня осталось компота на три стакана, причем в кастрюле всего три вишни. Повар, не глядя в кастрюлю, зачерпывает компот и разливает по стаканам. Какова вероятность того, что в каждом стакане окажется по одной вишне?

5. При перевозке коробки, в которой содержалась 21 дискета без вирусов и 10 дискет с вирусами, утеряна одна дискета, причем, неизвестно, какая. После перевозки наудачу извлеченная дискета оказалась без вируса. Найти вероятность того, что утеряна а) дискета без вируса; б) с вирусом.

6. Из шкафа, содержащего пять пар обуви в коробках, среди которых три пары мужской и две пары женской обуви, перекладывают наудачу две коробки в другой шкаф, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором шкафу окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

7. При приеме партии товара подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – обнаружение менее 2% брака в выборке. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.

8. Из 8 супермаркетов, принадлежащих одному предпринимателю, в 5 допускаются нарушения налогового законодательства. Налоговая инспекция наудачу проверяет 4 магазина. Какова вероятность того, что в трех из них обнаружат нарушения?

9. В мужском одиночном финале международного турнира по фигурному катанию 15 спортсменов, примерно равных по мастерству. Среди них 6 российских фигуристов. Какова вероятность того, что весь пьедестал будет российским?

10. При игре в лотерею «Спортлото 6 из 45» участник вычеркивает 6 из номеров из карточки с 45 числами от 1 до 45. Второй экземпляр, заполненный так же, он опускает в специальный почтовый ящик. По центральному телевидению раз в неделю демонстрируется розыгрыш 6 номеров из 45 в соответствующем тираже. Какова вероятность угадать в «Спортлото 6 из 45» а) все 6 номеров; б) 4 номера?

11. В наборе гадальных карт «Список предсказаний» 32 листа и «карта клиента». В одном из способов гадания исполнение загаданного желания «без всяких усилий» предсказывается, если из перетасованной колоды сверху будут извлечены 4 туза и «карта клиента», причем разрешается проверить не более 13 карт. Какова вероятность удачи «без всяких усилий»?

12. В круг радиуса  помещен меньший круг радиуса . Построить чертеж. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый.

13. Внутрь круга радиуса  наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она окажется внутри а) вписанного квадрата, б) вписанного правильного треугольника. Построить чертежи.

14. Противник в течение часа делает десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

15. Внутри эллипса  расположен круг . Построить чертеж. Найти вероятность попадания наудачу брошенной точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.

16. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 ч. дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент выбирает наудачу момент своего прихода между 14 и 15 ч.

17. Задача Остроградского. Найти вероятность того, что корни уравнения , где коэффициенты  окажутся: а) действительными; б) мнимыми.

18. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что вписанная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.

19. Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились: а) в разные дни года; б) в один день года; в) 8 марта; г) в разные месяцы года; д) в сентябре; е) в разные дни сентября.

20. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?

21. Расстояние от пункта А до пункта В пешеход проходит за 20 минут, а автобус – за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из А в В. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?

22.        В автопарке 20 экскурсионных автобусов двух марок: 12 и 8 соответственно. Вероятность выезда на экскурсию автобусов каждой марки одна и та же. Какова вероятность того, что после выезда на экскурсию 16 автобусов, в автопарке остались автобусы: а) первой марки; б) одной марки; в) разных марок.

23. Для производственной практики на 30  студентов предоставлено 15 мест в Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в Воронеже. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?

24. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались непроданными холодильники: а) одной марки; б) трех разных марок; в) хотя бы двух марок.

25. На шахматную доску со стороной клетки  наудачу брошена монета радиуса . Построить чертеж. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон клеток.

26. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них 4 – первого, по 2 – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди 6 взятых одновременно деталей 3 окажутся первого вида, 2 – второго и 1 – третьего?

27. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятность: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

28. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

29. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

30. Прямоугольная металлическая решетка состоит из цилиндрических прутьев радиусом 1см, расстояние между осями прутьев соответственно равны 10см и 15см. Определить вероятность того, что брошенный без прицеливания перпендикулярно решетке мяч радиусом 2см проскочит через нее.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. В одной из телевизионных игр финалисту предоставляются 3 попытки угадать, в каком из 13 ящиков один из двух призов. Найти вероятность того, что именно последняя попытка будет удачной.
2. Во время трансляции чемпионата мира по фигурному катанию комментатор оценил вероятности занять первое место для трех российских фигуристов следующим образом: для первого спортсмена 0,6, для второго 0,2, для третьего 0,1. Какова вероятность того, что золотая медаль попадет в российскую копилку?
3. Круговая мишень разделена концентрическими окружностями на три зоны. Вероятность попадания во внутреннюю зону равна 0,15, в среднюю – 0,23, во внешнюю – 0,17. Найти вероятность промаха при одном выстреле, если границы зон настолько узкие, что всегда можно определить, в какую из зон попала пуля.
4. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Чтобы поразить самолет, необходимо попасть в оба двигателя или в кабину пилота. При данных условиях вероятности поражения первого и второго двигателей соответственно , а кабины пилота . Узлы самолета поражаются независимо. Какова вероятность поражения самолета?
5. Абитуриент подает документы и сертификаты ЕГЭ в два вуза. Шансы пройти по конкурсу на бюджетное место в первый он оценивает как 0,3, а во второй как 0,6. Найти вероятность того, что он а) поступит на бюджетное место только в один вуз; б) поступит на бюджетное место, в) не поступит на бюджетное место.
6. В многоквартирном доме три подъезда с железными дверями. Ввести «простые события» и представить следующие «сложные» в виде результатов операций над «простыми»:  – все двери открыты;  – все двери закрыты;  – открыта только одна дверь;  – открыта только третья дверь;  – открыты две двери;  – открыта хотя бы одна дверь. Найти вероятности этих событий, считая вероятности «простых» событий равными соответственно 0,8, 0,75 и 0,6.
7. На связке 5 ключей. К замку подходит только один. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в попытках больше не участвует.
8. В ящике 50 яблок, одинаковых с виду. 8 из них – кислые, а остальные – сладкие. Наудачу берут 3 яблока. С помощью теорем сложения и (или) умножения найти вероятность того, что все они: а) кислые; б) сладкие; в) по крайней мере одно сладкое; г) только одно кислое.
9. У пользователя 5 одинаковых с виду немаркированных дискет, на одной из которых записана нужная информация. Он проверяет дискеты наудачу по одной и проверенные откладывает. Какова вероятность того, что нужная дискета попадется: а) третьей; б) последней? Использовать в решении теоремы сложения и (или) умножения.
10. В магазине «Second hand» продаются 10 одинаковых с виду телевизоров, 3 из которых имеют неявные дефекты, обнаруживающиеся при проверке. Покупатель готов приобрести телевизор, если не обнаружит дефектов, причем для выбора телевизора он намерен сделать не более трех проверок. Какова вероятность того, что посетитель уйдет с покупкой?
11. Происходит бой – дуэль между подводной лодкой и кораблем. У подводной лодки есть в запасе 2 выстрела, у корабля – один. Начинает стрельбу подводная лодка: она стреляет один раз и поражает корабль с вероятностью 0,2. Если корабль не поражен, он стреляет и поражает подводную лодку с вероятностью 0,3. Если подводная лодка не поражена, она делает последний выстрел, которым поражает корабль с вероятностью 0,4. Найти вероятность поражения а) подводной лодки, б) корабля.
12. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что: а) все 3 стрелка попадут в цель; б) все трое промахнутся; в) только один стрелок попадет в цель; г) хотя бы один стрелок попадет в цель.
13. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,5. По условиям приема события, состоящее в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, сто корреспондент вообще услышит вызов.
14. Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью контроля из этой партии отбираются 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована.
15. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, второй – 15, третий – только 10. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: а) все студенты; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов.
16. В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой – 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами или оба – девушками.
17. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание: а) не более 3 раз; б) 5 раз?
18. Устройство состоит из а) пяти последовательно включенных элементов; б) пяти параллельно включенных элементов. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,80. Определить вероятность безотказной работы всего устройства, полагая, что отказы отдельных элементов независимы.
19. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания при одном выстреле?
20. 25 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на 2 вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета  на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
21. В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке и 6 человек – на финском. Какова вероятность того, что из двух наудачу выбранных людей оба говорят на одном языке.
22. В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого?
23. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания рабочего.
24. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданны: а) два вопроса; б) более двух вопросов; в) менее пяти вопросов.
25. Электрическая цепь состоит из 4 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени – независимые события, имеющие вероятности 0,10, 0,20, 0,30 и 0,40 соответственно. Найти вероятность разрыва цепи.

26. Электрическая цепь состоит из 5 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени – независимые события, имеющие вероятности 0,10, 0,15, 0,15, 0,15 и 0,20 соответственно. Найти вероятность разрыва цепи.

27. Электрическая цепь состоит из 5 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени – независимые события, имеющие вероятности 0,20, 0,05, 0,15, 0,10 и 0,20 соответственно. Найти вероятность прохождения сигнала.

28. Электрическая цепь состоит из 5 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени – независимые события, имеющие вероятности 0,10, 0,25, 0,15, 0,10 и 0,30 соответственно. Найти вероятность прохождения сигнала.

29. Электрическая цепь состоит из 5 элементов, выход из строя которых в заданном промежутке времени – независимые события, имеющие вероятности 0,20, 0,25, 0,15, 0,10 и 0,15 соответственно. Найти вероятность разрыва цепи.

30. По линии связи, имеющей 4 приемно-передающих пункта, передается сообщение. Вероятность того, что сообщение будет искажено на первом, втором, третьем и четвертом пункте соответственно равна 0,10, 0,15, 0,20 и 0,25. Какова вероятность получения неискаженного сообщения? Какова вероятность, что сообщение будет искажено: а) только на третьем пункте; б) на первом и четвертом пунктах?

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1.        В первой среди трех одинаковых с виду урн 3 белых и 2 черных шара, во второй 4 белых и 4 черных, в третьей 2 белых и 3 черных. Наудачу выбирается одна урна и извлекается шар. Какова вероятность того, что он белый?

2.        В хорошо оборудованной вычислительной лаборатории середины прошлого века имелись 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0.95; для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производил расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что расчет будет закончен.

3.        Среди первокурсников Машиностроительного факультета ХТИ треть студентов в школе изучала немецкий язык, а остальные – английский. При решении задач по программированию студенты, изучавшие в школе английский язык, делают орфографические ошибки с вероятностью 0.1, а изучавшие немецкий - с вероятностью 0.3. Какова вероятность того, что случайно выбранный студент первого курса сделает ошибку в программе?

4.        5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это – мужчина? Предполагается, что мужского и женского населения поровну.

5.        Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% - первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0.01, II - 0.03, III - 0.08. Какова вероятность того, что а) застрахованный получит денежное вознаграждение; б) получивший страховку относится к группе малого риска?

6.        В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%. 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего он поступил?

7.        Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя соответственно равны 0.8, 0.85, 0.9. Найти вероятность обнаружения возникшего сбоя.

8.        Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0.4, 0.3, 0.5.

9.        При переливании крови необходимо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему IV группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со II или III группой можно перелить кровь либо той же группы, либо I. Человеку с I группой крови можно перелить только кровь I группы. По статистическим данным середины прошлого века среди населения 33.7% имели I, 37.5% - II, 20.9% - III и 7.9% IV группу крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

10.        По данным 1951 г. в Англии и Уэльсе среди отцов, имеющих сыновей, оказалось: 13% темноглазых и 87% светлоглазых. У темноглазых отцов 39% темноглазых и 61% светлоглазых сыновей. У светлоглазых – 10% темноглазых и 90% светлоглазых сыновей. Какова вероятность того, что наугад взятые среди этого населения отец и сын имеют одинаковые глаза?

11.        В сетке 5 мячей, из которых 3 новых (мяч считается новым, если с ним еще не играли). Для игры взяли случайным образом 2 мяча, после игры вернув их в сетку. Для второй игры случайным образом взяли еще 2 мяча. Найти вероятность того, что они новые.

12.        В группе 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент правильно ответил на 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен а) отлично; б) плохо.

13.        По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.4; при втором 0.5, при третьем – 0.7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит и строя с вероятностью 0.2; при двух попаданиях с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

14.        Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.8, для второго 0.4. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит а) первому стрелку; б) второму.

15.        Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой находятся 5 белых и 8 синих шаров, во второй – 4 белых и 10 синих. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность, что он белый? Какова вероятность, что синий шар вынули из второй урны?

16.        Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказов первого, второго, третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,4, 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы.

17.        Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

18.        В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем первый завод поставил 50 изделий, второй – 30, третий – 20 изделий. Среди изделий первого завода 70% первосортных, а среди изделий второго – 80%, третьего – 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это изделие выпущено первым заводом?

19.        Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из необработанных семян – 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно пораженное, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?

20.        В студенческой группе 70% – юноши. 60% юношей и 50% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше, б) девушке?

21.        На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,25% брака, второй – 0,40%, третий – 0,60%. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000, со второго – 1500 и с третьего – 1300 деталей? Какова вероятность, что бракованная деталь поступила с третьего автомата?

22.        В первой урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность, что он окажется белым?

23.        В торговую фирму поставляются телевизоры четырех фирм в соотношении 6:4:3:2. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 91%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Купленный наудачу телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?

24.        Две электрические цепи содержат соответственно 3 и 4 элемента. Выход из строя этих элементов – независимые события, имеющие вероятности  (первая цепь);  (вторая цепь). Наудачу выбирается одна цепь. Какова вероятность того, что она работает?

25.        Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех ракет соответственно равна 0,3, 0,4, 0,5, 0,6. Найти вероятность поражения корабля.

26.        На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью ; если только помехи – с вероятностью . Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал? Какова вероятность, что зафиксированный сигнал – помехи?

27.        Сообщение может передаваться по одному из 10 каналов связи; из них 4 канала находятся в отличном состоянии, 3 – в хорошем, 2 – в посредственном и 1 – в плохом. Вероятности правильной передачи сообщения для разного вида каналов равны соответственно 0,6, 0,4, 0,2, 0,1. Какова вероятность, что хотя бы один раз сообщение будет передано, если оно передается по одному и тому же каналу (выбранному наудачу): а) один раз; б) два раза?

28.        Вероятность отказа прибора при воздействии на него только вибрации равна 0,1, а только перегрева – 0,05; вероятность отказа при воздействии вибрации и перегреве равна 0,2. При эксплуатации прибора вероятность возникновения перегрева равна 0,2, вероятность возникновения вибрации равна 0,3. Перегрев и вибрация возникают независимо. Найти вероятность отказа прибора.

29.        Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?

30.        Из 1000 ламп 100 принадлежит первой партии, 250 – второй и остальные – третьей партии. В первой партии 6%, во второй – 5%, в третьей – 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того что она бракованная? Какова вероятность, что бракованна лампа принадлежит: а) третьей партии, б) первой партии?

4. Формула Бернулли для независимых повторных испытаний

1.        В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найти вероятность того, что среди детей а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) не менее двух и не более трех мальчиков. Найти наивероятнейшее число мальчиков в этой семье. Определить вероятность наивероятнейшего числа мальчиков.

2.        В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 9 договоров с наступлением страхового случая будет выплачена страховая сумма а) по трем договорам; б) менее, чем по двум.

3.        В аэропорту 5 снегоочистителей, каждый из которых независимо от других может выйти из строя во время метели с вероятностью 0.2. Найти наивероятнейшее число сломавшихся во время метели снегоочистителей и вероятность наивероятнейшего числа отказавших снегоочистителей. Определить вероятность аренды дополнительной техники, если это происходит при отказе не менее, чем четырех машин.

4.        В семье 10 детей. Найти вероятность того, что среди них а) поровну мальчиков и девочек; б) не более четырех мальчиков; в) одни девочки. Вероятности рождения мальчика и девочки считаются одинаковыми.

5.        Текст объявлений «бегущей строки» на одном из телеканалов содержит ошибки в каждом десятом сообщении. Найти наивероятнейшее число безошибочных сообщений в тексте из 19 объявлений на этом телеканале.

6.        По статистическим данным вероятность малому предприятию быть банкротом за первый год существования равна 0.4. Найти вероятность того, что из 8 малых предприятий в течение первого года существования сохранятся а) шесть; б) более трех, но менее шести малых предприятий.

7.        Студент проходит тестирование из 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 ответа, среди которых один правильный. Зачет ставится, если даны правильные ответы не менее чем на три вопроса. Какова вероятность получить зачет по теме, которую студент не изучил, и поэтому выбирает ответы наугад? Каково наивероятнейшее число правильных ответов?

8.        Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) вероятность разрушения объекта, если для этого достаточно двух попаданий.

9.        Два равносильных противника играют в шахматы. Что более вероятно: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех из шести?

10.Сколько нужно отобрать студентов для тестирования по математике комиссией по аттестации вуза, чтобы наивероятнейшее число положительно прошедших тестирование среди них было равно 50, если вероятность того, что наудачу выбранный студент независимо от других «провалит» тест по математике, равна 0,1?

11.Какова вероятность  наступления события в каждом из 49 независимых опытов, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

12.Вторая задача Де Мере. Две игральные кости подбрасываются 24 раза. Что вероятнее: хотя бы одно выпадение 6 очков на двух костях одновременно или ни одного выпадения двух «шестерок»?

13.В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2)будет продано: а) менее2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

14.Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

15.Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

16.Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

17.Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попаданий в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части при попадании в корабль относятся как семь к трем.

18.В семье 6 детей. Найти вероятность того, что в данной семье не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5.

19.В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти а) вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки; б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

20.Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти: а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее 4 элементов; б) наивероятнейшее число  отказавших элементов; в) вероятность .

21.Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,86. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят: а) 4 раза; б) не менее 4 раз.

22.Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) одну из двух партий или две из четырех; б) не менее двух из трех партий или не менее четырех из восьми?

23.Отмечено, что в городе D в среднем 10% заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года: а) ни одна пара не разойдется; б) разведутся 2 пары?

24.Из четырех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для 1-го орудия равна 0,8, 2-го-0,7, 3-го-0,6, 4-го-0,5. Найти вероятность того, что в цель попадут: а) два орудия; б) три орудия; в) четыре орудия.

25.Вероятность выхода на линию каждого из 18 автобусов равна 0,9. Какова вероятность нормальной работы автобазы в течение дня, если для этого необходимо иметь на линии не менее 15 автобусов?

26.По мишени, состоящей из «яблока» и двух колец, произведено 5 выстрелов. Вероятность попадания в яблоко равна 0,2, в 1-е кольцо-0,3, во 2-е 0,5. Найти вероятность того, что будут два попадания во второе кольцо, два в первое кольцо и одно в «яблочко».

27.Для пуска некоторой установки необходимо включить 6 блоков. Вероятность того, что блок включится при нажатии соответствующей кнопки на пульте управления, равна 0,9 для каждого блока. Нажаты все кнопки. Определить вероятность того, что: а) установка заработает; б) два блока не включатся.

28.Строительная организация имеет пять бульдозеров, надежность (вероятность безопасной работы в течение некоторого времени Т) каждого из них равна 0,9. определить вероятность того, что за время Т: а) не один из пяти бульдозеров не потребует ремонта; б) два бульдозера будут нуждаться в ремонте.

29.Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна 0,1. Определить вероятность того, что из шести колец на колышек попадут хотя бы два.

30.Станок-автомат производит 70% всех изделий первым сортом а остальные – вторым. Требуется установить, что является более вероятным – два первосортных изделия из пяти наудачу отобранных или пять первосортных из десяти.

5. Формула Пуассона для независимых повторных испытаний

1.Профессор Скрупулезов ведет весьма регулярный образ жизни: Ежедневно по утрам он пьет чай, заваривая его чайным пакетиком одной и той же марки. По результатам долгих лет наблюдений профессор подсчитал статистическую вероятность непрочного прикрепления нитки к чайному пакетику: с вероятностью 0.002 пакетик «утопает» в кружке. Найти вероятность того, что в ближайшие годы из 1000 заваренных пакетиков чая неприятности ему доставят а) три пакетика; б) не более трех пакетиков; в) более трех пакетиков.

2.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.005. Какова вероятность попадания в цель не менее трех раз, если число выстрелов равно 800.

3.Посеяли 1000 семян. Вероятность не прорасти для каждого семени равна 0.002. Найти вероятность того что: а) не прорастет 10 семян; б) все семена прорастут.

4.На диспетчерский пункт, в среднем, поступает три заказа на такси. Определить вероятность того, что за две минуты поступит: а) не мене четырех вызовов; б) ровно четыре вызова.

5.Металлические трубы, каждая длинной восемь метров, имеют среднюю концентрацию микродефектов в 0.375 на один погонный метр. Определить что данная труба будет бракованной, если по техническим условиям допускается не более пяти микродефектов на каждую трубу.

6.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.

7.На один кубический метр грунта в среднем приходится два крупных камня. Найти вероятность того, что в ковш экскаватора емкостью в три кубических метра попадет: а) не более пяти камней; б) ровна два камня.

8.Отвальный щит бульдозера захватывает полосу грунта шириной 2.5 метра. Средняя концентрация крупных камней на одном квадратном метре площади равна 0.4 камня. До сбрасывания грунта бульдозер каждый раз проходит 40 метров. Какова вероятность захвата: а) не более 4 крупных камней; б) ровно трех камней.

9.Трос состоит из 200 отдельных стальных жил «проволок». Вероятность того, что одна жила не удовлетворяет техническим условиям, равна 0.015. Трос относят ко второму сорту, если в нем более четырех дефектных жил. Определить вероятность того, что трос второго сорта.

10.В течение часа коммутатор получает в среднем тридцать вызовов. Телефонистка отключилась на две минуты. Какова вероятность, что за это время: а) не поступит не одного вызова; б) поступит более двух вызовов.

11.Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.

12.Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0.02%. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

13.Среднее число ошибочных соединений узла связи за смену/8ч./ равно 16. Найти вероятность того, что за два часа будет не менее трех ошибочных соединений.

14.На один кубический метр грунта приходится в среднем 2 крупных камня. Найти вероятность того, что в ковше экскаватора емкостью в 2.5 кубических метра окажется: а) более четырех крупных камней; б) ровно четыре крупных камня.

15.Прибор состоит из 200 однотипных элементов, причем вероятность отказа для каждого из них равна 0.0005. Определить вероятность отказа прибора, если он происходит при отказе хотя бы одного элемента.

16.При работе ЭВМ в среднем за пять часов происходит два сбоя в ее работе. Определить вероятность того, что за 30 минут работы машины: а) произойдет не более одного сбоя; б) не произойдет ни одного сбоя.

17.Стенные блоки площадью в шесть квадратных метров имеют случайное распределений микротрещин со средней концентрацией в 0.1 микротрещин на один квадратный метр. Определить вероятность того, что данный блок: а) не имеет ни одной трещины; б) имеет не более трех микротрещин.

18.В течении часа коммутатор получает в среднем 40 вызовов. Определить вероятность того, что за три минуты: а) не будет ни одного вызова; б) будет не более двух вызовов.

19.Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд испускает четыре заряженные частицы. Определить вероятность того, что за две секунды образец испустит: а) хотя бы одну частицу; б) ровно одну частицу.

20.На ткацком станке обрабатывается в среднем 0.375 раз в течении часа работы станка. Определить вероятность того, что за восьмичасовую смену число обрывов будет: а) не менее двух и не более четырех; б) не менее двух.

21.Известно, что в среднем число отказов радиоэлектронной схемы за 10000 часов равно 10. Определить вероятность того, что за 200 часов работы радиоэлектронная схема откажет: а) 2 раза; б) хотя бы один раз.

22.Телефонный кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью с помощью этого кабеля можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для каждого абонента необходима одна жила, а вероятность того, что она повреждена, равна 0.0125.

23.В среднем на станцию скорой помощи в течение часа поступает 12 вызовов. Найти вероятность того, что за 20 минут поступит: а) ровно четыре вызова б) не менее трех вызовов.

24.При артиллерийском обстреле «по площадям» на один гектар попадает в среднем 500 снарядов. Определить вероятность разрушение блиндажа площадью в 20 квадратных метров, если он не выдерживает более двух попаданий.

25.Корректура книги объемом в 500 страниц имеет 100 опечаток. Определить вероятность того, что на случайно выбранной странице окажется: а) не более трех опечаток; б) ни одной опечатки.

26.Вероятность разрушения бетонного образца при испытании на сжатие равна 0.01. Определить вероятность того, что в партии из 300 образцов разрушится: а) ровно два образца; б) не более 5 образцов.

27.Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий поврежденных при транспортировке, составляет в среднем 0.05%. Найти вероятность того, что на базу поступит: а) не более трех поврежденных изделий; б) хотя бы 2 поврежденных.

28.Вероятность выхода из строя  одного элемента устройства, в течении t часов работы, равна 0.002. Какова вероятность того, что за время t из 1500 независимо работающих элементов выйдет из строя: а) 4 элемента; б) не более 2 элементов?

29.Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0.005. Найти вероятность того, что при наборе будет допущено: а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка.

30.Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда: а) четверо родилось 23 февраля; б) двое родилось 1 марта; в) никто не родился 22 июня? ( Считать что в году 365 дней.)

6. Формулы Муавра-Лапласа для независимых повторных испытаний

1.Предприятие выпустило партию электрических чайников (2400 штук). В течении года в предыдущей партии таких же чайников заменялись сгоревшие спирали в среднем в 6 из каждых 10 чайников. Найти вероятность замены спиралей в течение ближайшего года в новой партии а) для 1400 чайников; б) для не менее, чем 1400 чайников.

2.В среднем 7 из 10 учеников начальной школы не имеют четвертных троек. Найти вероятность того, что среди 2100 учащихся в начальных классов «отличников» и «хорошистов» а) не менее 1470 и не более 1500; б) не менее 1470; в) не более 1469.

3.Вероятность того, что смерть человека произойдет на 21-м году жизни, 0.006. Застрахованы 500 двадцатилетних. Годовой взнос 15 у.е. с каждого. В случае смерти застрахованного его родственникам выплачивается1200 у.е. Какова вероятность того, что в конце года выплата по страховкам превысит сумму страховых взносов?

4.Около 800 из 1000 студентов некоторого вуза обедают в пунктах питания учебного корпуса. Считая, что студенты не влияют друг на друга в своих предпочтениях, найти вероятность того, что среди случайно выбранных 100 студентов в пунктах питания учебного корпуса обедают: а) 75 из них; б) не менее, чем 75 и не более, чем 90; в) не менее, чем 75; г) не более, чем 74 студента.

5.Вероятность того, что при автоматической штамповки изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонением от стандарта), постоянна и равна0.05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных? Используя условие задачи 5, выяснить, сколько не бракованных изделий следует ожидать с вероятностью 0.042.

6.Вероятность отказа прибора при испытании равна 0.2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120?

7.Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз?

8.Всхожесть семян данного сорта составляет 70%. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.

9.В городе N из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют такие телевизоры?

10.Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0.75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230.

11.Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Найти вероятность того, что: а) стрелок попадает 56 раз; б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.

12.Вероятность рождения девочки равна 0.485. Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей девочек: а) будет 300; б) будет больше, чем мальчиков.

13.Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят: а) 150 студентов; б) не менее 100 студентов; в) не более 150 студентов?

14.При транспортировке и погрузочных – разгрузочных работах 3 % поступившего кирпича оказалось битым. Какова вероятность того, что из партии в 1000 кирпичей битыми окажется не более 400 штук?

15.Вероятность того, что изготовляемые для подшипников шарики не укладываются в допустимые размеры, равна 0.02. определить вероятность того, что в партии из 10000 штук забракованных шариков окажется не более 240.

16.На сбор приглашений 120 спортсменов. Вероятность того, что выбранный случайным образом спортсмен выполнит нормативы комплекса ГТО первой степени, равна 0.7. Определить вероятность того, что не менее 60 спортсменов выполнят эти нормативы.

17.В здании института имеется 6000 электроламп, вероятность включения равна 0.5. Определить вероятность того, что число одновременно включенных электроламп будет заключено между 2800 и 3200.

18.Известно, что 60% всех изготавливаемых заводом телефонных аппаратов выпускается первым сортом. Определить вероятность того, что в партии из 200 аппаратов первосортных окажется не меньше половины.

19.В специализированный магазин радиоаппаратуры поступило 150 цветных телевизоров. Вероятность того, что телевизор требует регулировки перед продажей, равна0.4 для каждого из них. Определить вероятность того, что не менее 50 и не более 80 телевизоров потребуют дополнительной регулировки.

20.Вероятность того, что после одного учебного года ученик будет нуждаться в новом переплете, равна 0.25. Определить вероятность того, что не менее 960 и не более 1050 учебников будет необходимо переплести заново, если фонд учебной библиотеке состоит из 4000 книг.

21.Из поступившей большой партии зерна, в которой доля крупных зерен составляет 20%, отбирают для пробы 1000 зерен. Определить вероятность того, что число крупных зерен в этой пробе окажется не менее 180 и не больше 220.

22.Для испытания на прочность изготовлено 600 образцов. Вероятность разрушения образца из-за случайных дефектов его структуре при данной нагрузке равна 0.08. Определить вероятность разрушения: а) ровно 50 образцов; б) не менее 40 и не более 65 образцов.

23.Отдел технического контроля проверяет400 изделий из всей партии. Вероятность того, что изделие будет бракованное, равна 0.05. Если среди проверенных изделий окажется более 30 бракованных, то вся партия не принимается. Найти вероятность того, что партия будет принята.

24.Сдается 400-квартирный дом. Вероятность того, что в квартире будут обнаружены строительные недоделки, равна 0.02. Определить вероятность того, что число непринятых из-за недоделок квартир окажется не менее 60 и не более 90.

25.Товаровед осматривает 24 образца некоторого товара. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0.8. Найти вероятность того, что годными к продаже окажутся не менее 12 образцов.

26.Во всем здании общежития используется 600 электроламп, каждая из которых может с вероятностью равной 0.3, перегореть раньше, чем проработает определенный срок. Определить вероятность того, что за данный срок придется заменить не более 200 электроламп.

27.ОТК проверяет на стандартность 900 деталей, доля стандартный среди которых  составляет 90%. Определить вероятность того, что в проверяемой партии стандартными окажутся не менее 800 деталей.

28.При изготовлении отливок 20% всего их количества не проходит через отдел технического контроля. Какова вероятность того, что в партии из 400 отливок менее 90 отливок, не прошедших контроль?

29.Вероятность того, что пара обуви , взятая на удачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна 0.4. Определить вероятность того, что среди 600 пар, поступившей на контроль, окажется не менее 230 пар обуви первого сорта.

30.По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют  нарушение финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) невероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

7. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

1.Найти вероятность того, что при 10000-кратном подбрасывании монеты частота выпадений «герба» будет отличатся от вероятности этого события по модулю не более, чем на 0,015. При воспроизведении этой серии опытов герб появился 6000 раз. Можно ли считать монету

2.В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?

3.В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценка экспертов можно считать равной 0,005, страховая компании обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

4.Вероятность тог, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданная среди них отклонится на 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

5.Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

6.Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

7.Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

8.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

9.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства  была не меньше чем вероятность противоположного неравенства, где m-число появлений одного очка в  n бросаниях игральной кости?

10.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний  равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

11.В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

12.Вероятность появления события в каждом из 400независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0.8 не превысила ε.

13.Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0.5 не превысила ε.

14.Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,98 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила ε.

15.Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.

16.Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.

17.Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.

18.Сколько раз нужно подбросить симметричную монету, чтобы с вероятностью 0,90 частота  появление герба отличалось от  (вероятности выпадения герба) не более чем на 0,01?

19.Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближенные границы, в которых число m выпадений единицы будет заключено с вероятностью 0,997.

20.В урне содержатся черные и белые шары в отношении 4:3. Из нее извлекается шар, фиксируется цвет и возвращается в урну. Чему равно минимальное число n извлечений, при котором с вероятностью 0,9545 можно ожидать, что отклонения относительной частоты появления белого шара от вероятности его появления в одном опыте не превышает, по модулю, величины 0,05?

21.Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Было произведено 600 выстрелов. Найти:  а) границы, в которых с вероятностью 0,9948 будет заключено число попаданий в цель; б) число выстрелов, которые надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью 0,9948 ожидать, что отклонение относительной частоты от вероятности попадания при одном выстреле будет меньше по модулю величины 0,05.

22.В меню студенческой столовой три первых блюда – борщ, рассольник и харчо. Вероятность того, что прошедший студент возьмет борщ, равна 0,4. Сколько порций борща должно быть подготовлено, чтобы с вероятностью 0,9 удовлетворить спрос, если столовую за смену посещает 400 человек?

23.Читальный зал института рассчитан на 300 студентов, каждый из которых с вероятностью 0,2 берет на абонементе англо-русский словарь. Сколько таких словарей должно быть на абоненте, чтобы с вероятностью 0,85 можно было обеспечить всех желающих?

24.За смену изготавливается 2000 одиночных узлов некоторого прибора. Вероятность того, что узел придется отправить на дополнительную регулировку, равна 0,4. Вероятность того, что число отправляемых на дополнительную регулировку узлов не превысит К, равна 0,95. Требуется определить К.

25.За смену производится 2000 деталей, которые затем сортируются и откладываются в два соответствующих контейнера. Вероятность изготовления детали первого сорта равна 0,6, второго сорта–0,4. На какое количество деталей должен быть рассчитан каждый контейнер, чтобы с вероятностью 0,9 он не был переполнен к концу смены?

26.В механическом цехе работают 120 токарей. Вероятность того, что токарю потребуется резец данного типа равна 0,2. Сколько резцов данного типа должна иметь инструментальна кладовая, чтобы потребность в них была обеспечена с вероятностью 0,95.

27.Доля высококачественных деталей, штампуемых предприятием, составляет 75%. Сколько Деталей надо заказать предприятию, чтобы с вероятностью 0,96 можно было ожидать, что среди заказанных деталей будет не менее 700 высококачественных.

28.Вероятность повреждения облицовочной плитки при погрузочных работах и транспортировке равна 0,02. Какое количество плиток надо заказать, чтобы с вероятностью 0.99 было доставлено не менее 2000 неповрежденных плиток?

29.Вероятность того, что деталь не стандартна, . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0.1 по абсолютной величине не более чем на 0.03.

30.Вероятность того, что деталь не стандартна, p =0.1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклониться от постоянной вероятностиp по абсолютной величине не более чем на 0,03.

8. Математические операции над ДСВ. Числовые характеристики ДСВ.

Формы закона распределения ДСВ.

Решить задачу, не применяя основные законы распределения ДСВ.

1.В контрольной работе 2 задачи. Вероятности правильного решения задач студент оценивает соответственно как 0,5 и 0,6.Найти все формы закона распределения и числовые характеристики числа правильно решенных задач.

2.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, но помнит, что она нечетная. Найти ряд распределения и числовые характеристики числа сделанных наборов номера до попадания на нужный, если последняя цифра называется на удачу, а набранная больше не набирается.

3.Найти функцию распределения дискретной случайной величины, которая принимает значения 2 или 4, если математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия 0,84.

4.До введения системы ЕГЭ каждый поступающий в некоторый институт должен был сдать 3 экзамена. Вероятность успешно сдать первый экзамен абитуриент оценивал для себя в 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Следующий экзамен по условиям приема поступающий сдает только в случае положительной оценки за предыдущий. Найти три формы закона распределения числа экзаменов, которые сдавал абитуриент, а так же числовые характеристики этой дискретной случайной величины.

5.Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить ряд распределения числа попыток открывании замка, если опробованный ключ не участвует в дальнейших попытках. Найти числовые характеристики этой дискретной случайной величины.

6.Дискретная случайная величина принимает одно из двух возможных значений . Вероятность события  равна 0,6. Составит ряд распределения Х, если  .

7.В полуфинале олимпийского турнира по волейболу женская сборная России встречается со сборной Бразилии. Тренеры оценивают шансы россиянок на выигрыш как 3:2. В случае выхода в финал наша сборная встретится с очень сильной командой Кубы, шансы на выигрыш россиян у нее 1:2. В случае проигрыша в полуфинале матч за 3-е место с командой Италии россиянки могут выиграть с вероятностью 0,8. Найти ряд распределения и числовые характеристики номера места  российских волейболисток в турнирной таблице по окончании соревнований.

8.На двух автоматических станках производится одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течении смены на каждом из них:          . Найти ряды распределения и числовые характеристики числа бракованных изделий, производимых обоими станками а)за одну смену; б) за две смены. Проверить соответствующие свойства математического ожидания и дисперсии.

9.Даны законы распределения независимых дискретных случайных величин  и  в табличной форме:          . Заполнить таблицы до конца. Построить табличные и графические формы закона распределения дискретных случайных величин , , . Найти числовые характеристики для и проверить выполнение следующих свойств числовых характеристик.

10.Дискретная случайная величина  есть экзаменационная оценка студента по математике некоторого одного из вуза в семестре (после переэкзаменовок). Дискретная случайная величина  – число семестров, в течении которых студент этого вуза изучает математику. По статистическим данным установлены законы распределения дискретных случайных величин                  . Составить ряд распределения рейтинга Z (общего количество баллов, набираемых среднестатистическим студентом этого вуза по окончанию изучения математики). Каков средний рейтинг студента по математике? Каким будет рейтинг скорей всего?

11.В полуфинале олимпийского турнира по волейболу женская сборная России встречается со сборной Бразилии. Телевизионные комментаторы оценивают шансы россиянок на выигрыш как 3:2. В случае выхода в финал наша сборная встретится с очень сильной командой Кубы, Шансы на выигрыш у которой 1:2. В случае проигрыша в полуфинале матч за третье место с командой Италии россиянки могут выиграть с вероятностью 0,8. В это же время мужской команде предстоит сыграть с равной по силам сборной Голландии в полуфинале. В случае россияне могут выиграть в финале у команды Югославии с вероятностью 0,6. В случае участия в матче за третье место шансы сборной России обыграть команду Франции 7:3. Найти закон распределения и числовые характеристики числа медалей, которые могут положить в копилку олимпийской команды России волейбольные сборные.

12.В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ.  – числа извлеченных шаров.

13.В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три шара. Найти: а) ряд распределения ДСВ  числа извлеченных белых шаров; б) вероятность события {извлечено не менее 2-х белых шаров}.

14.Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятность их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд распределения случайной величины  числа попаданий в цель.

15.Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе равна 0,7.

16.В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения и функцию распределения числа перворазрядников среди выбранных.

17.Подбрасывают 2 монеты. Найти функцию распределения с.в. числа выпадений герба.

18.Задано распределение дискретной случайной величины

.

Построить ряд распределения случайных величин: а) ; б)

19.Даны законы распределения двух независимых случайных величин  и . Найти законы распределения случайных величин: а) ; б) .

20.Задано распределение дискретной случайной величины

Найти распределение случайных величин: а) ; б) .

21.Дискретная случайная величина: .

Построить: а) ряд распределения случайных величин ; б) график функции распределения случайной величины .

22.Построить ряд распределения для случайных величин  и , если  и  – независимые случайные величины, заданными рядами распределения:  и . Найти условную вероятность события  при условии, что .

23.Вероятность того что студент в библиотеке найдет нужную ему книгу, равна 0,4. Построить ряд распределения числа библиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре библиотеки.

24.Автомобиль на пути к месту назначения встретит 5 светофоров, каждый из которых пропустит его с вероятностью 1/3. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки или до прибытия к месту назначения.

25.У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув на удачу ключ, он потребует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Построить многоугольник этого распределения.

26.Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Ставить закон распределения случайной величины  – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

27. и  независимые дискретные случайные величины, заданные таблицами распределения:  и . Найти: а) ряд распределения случайной величины ; б) ; в) .

28.Заданы распределения двух независимых случайных величин  и :  и . Найти: а) функцию распределения случайной величины ; б) ряд распределения случайных величин  и ; в) ; г) построить многоугольники распределения случайных величин  и .

29.В 1-й урне содержится 6 белых и 4 черных шара, а во 2-й 3 белых и 7 черных шаров. Из 1-й урны берут на удачу 2 шара и перекладывают во 2-ю урну, а затем из 2-й урны берут на удачу один шар и перекладывают в 1-ю урну. Составить законы распределения числа белых шаров в 1-й и 2-й урнах.

30.Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при каждом последующем – уменьшится на 0.1. Необходимо а) составить закон распределения  числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

9.Основные законы распределения ДСВ.

1. Игральная кость подбрасывается 2 раза. Для дискретной случайной величины – числа выпадений на «4» найти закон распределения в табличной форме и числовые характеристики. Какова вероятность того, что «4» выпадет хотя бы раз?

2. Игральная кость подбрасывается до выпадения»6». Найти закон распределения и числовые характеристики числа проделанных опытов. Какова вероятность того, что трех опытов для получения «6» будет достаточно?

3. Вероятность поражения цели 0.05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа сделанных выстрелов. Определить вероятность того, что потребуется не менее четырех выстрелов.

4. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа неверно сброшюрованных книг.

5. Известно, что в некоторой стране по статистическим данным вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа мальчиков в семье из четырех детей.

6.В магазине продается 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Найти все формы закона распределения и числовые характеристики числа импортных из четырех проданных телевизоров.

7. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 5 библиотек. Сколько библиотек скорее всего придётся посетить?

8. Из колоды в 36 карт выбраны на удачу 3 карты. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа извлечённых тузов.

9. Тестовое задание состоит из трёх вопросов. На каждый приведено 4 ответа, из которых один правильный. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа правильных ответов при простом угадывании.

10. Радист вызывает корреспондента до принятия вызова. Вероятность принятия каждого вызова 0.4. Найти ряд распределения числа вызовов и числовые характеристики этой дискретной случайной величины для случаев: а) число вызовов не ограничено; б) число вызовов не более четырёх. Для обоих случаев найти вероятность того, что будет принят только четвёртый вызов.

11. Из 5 гвоздик в букете 2 белые. Составить ряд распределения, найти функцию распределения и составить числовые характеристики дискретной случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

12. Школьники из некоторого региона России в 2005 году сдавали единый государственный экзамен (ЕГЭ) в рамках эксперимента. После обработки результатов оказалось, что в данном регионе 0,2% выпускников получили оценку «5» по математике. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа отличных работ по математике по результатам ЕГЭ в 2006 году среди 1000 школьников данного региона, считая, что уровень подготовки выпускников не изменился. Какова вероятность того, что «5» по математике будет кому-нибудь выставлена?

13. В рекламных целях фирма вкладывает в каждую десятую упаковку товара денежный приз размером 2000 у.е. Составить ряд распределения и найти средний размер выигрыша при пяти сделанных упаковках. Какова вероятность выигрыша? Сколько денег можно выиграть скорее всего?

14. Две игральные кости одновременно бросаются два раза. Найти ряд распределения и  числовые характеристики числа наступлений события, которое состоит в выпадении чётного количества очков одновременно на обеих костях. При игре в кости на что следует ставить: на то, что событие состоится хотя бы раз или на то, что оно не произойдёт совсем?

15. Биатлонист, участвующий в эстафете, на огневом рубеже должен поразить 5 мишеней. Для этого сначала заряжаются 5 патронов, если после выстрелов остаются непоражённые мишени, то можно использовать 3 дополнительных патрона. За каждую из непоражённых восемью выстрелами мишеней спортсмен должен пройти штрафной круг. После четырёх выстрелов участник соревнований промахнулся. Для поражения пятой мишени он заряжает только один патрон и прицеливается снова. Считая, что вероятность попадания 0,75, составить ряд распределения и найти среднее и наиболее вероятное число израсходованных биатлонистом дополнительных патронов. Какова вероятность того, что придётся пройти штрафной круг?

16. На чемпионате мира по биатлону в Ханты-Мансийске в 2003 году во время женской эстафеты 4х6 км каждая из биатлонисток одной из ведущих сборных команд в мировом биатлоне использует дополнительные патроны для стрельбы из положения «лёжа» на первом огневом рубеже с вероятностью 0,4, а для стрельбы из положения «стоя» на втором огневом рубеже с вероятностью 0,6 Считая, что вся сборная состоит из психологически уравновешенных девушек с одинаковой подготовкой, показывающие независимые друг от друга результаты стрельбы, составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа участниц этой команды, использовавших дополнительные патроны во время эстафетной гонки. Какова вероятность того, что сборная отстрелялась без промахов?

17. На чемпионате мира по биатлону в Ханты-Мансийске в 2003 году в сборной команде некоторой страны среди 6 девушек три уже имели награды на этом чемпионате, среди 6 мужчин награды имели четверо. Тренеры отобрали на удачу спортсменов для участия в женской эстафете 4х6 км и в мужской 4  7,5 км. Составить ряды распределения и найти числовые характеристики числа представителей этой страны, участвовавших в эстафетах и уже имевших награды на этом чемпионате: а) девушек-спортсменок X, б) мужчин-спортсменов Y, в) спортсменов обоих полов Z.

18. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.

19. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1

20. В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5, и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон распределения случайной величины Х – числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

21. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени  равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время  деталей элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время  откажет хотя бы один элемент.

22. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

23. В магазине имеются 20 телевизоров, из них 7 имеют дефекты. Необходимо: а) составить закон распределения числа телевизоров с дефектами среди выбранных на удачу пяти; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что среди выбранных нет телевизоров с дефектами.

24. Вероятность выигрыша по облигации займа за всё время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретённых 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение и моду этой случайной величины.

25. По данным примера 9.24 найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение доли (частости) выигравших облигаций среди приобретённых.

26. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведённых выстрелов, считая, что: а) стрелять можно неограниченное число раз; б) в наличии есть всего 5 патронов.

27. После ответа студента на вопрос экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины Х – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число  заданных студенту дополнительных вопросов.

28. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа стандартных деталей среди отобранных.

29. Два бомбардировщика поочерёдно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым – 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины  числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками (т.е. ограничиться возможными значениями , равными 1, 2, 3 и 4).

30. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

10. Формы закона распределения и числовые характеристики НСВ

1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

.

Требуется: а) построить график ; б) найти плотность вероятности и построить кривую распределения ; в) найти числовые характеристики для ; г) найти вероятность попадания значения непрерывной случайной величины  в результате опыта на отрезок .

2. Проверить, является ли функция плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины. Если да, то: а) построить для неё кривую распределения; б) найти функцию распределения и построить её график; в) найти числовые характеристики этой случайной величины; г) найти вероятность попадания значений непрерывной случайной величины на отрезок .

3. Для непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения

а) построить график ; б) найти плотность вероятности и построить кривую распределения; в) найти числовые характеристики.

4. Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности         а) построить кривую распределения; б) найти функцию распределения и построить её график; в) найти числовые характеристики.

5. Для заданной функции а) найти значение , при котором она является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины; б) найти вероятности попадания случайной величины в результате опыта в промежутки и

6. Для заданной функции а) найти числа , при которых она является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины; б) функцию распределения; в) построить графики.

7. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения  на всей числовой оси. Найти возможное значение , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная величина  в результате испытания примет значение, большее

8. Задана функция распределения непрерывной случайной величины   Найти: а) коэффициент ; б) плотность распределения  случайной величины  и построить графики функций  и ; в) .

9. При каких значениях параметров  и  функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины ? Найти вероятность того, что случайная величина  примет значение, заключённое в промежутке . Построить график плотности распределения этой случайной величины.

10. Задана функция распределения непрерывной случайной величины  Найти: а) значения постоянных  и ; б) ; в) .

11. Случайная величина  задана функцией распределения Найти значения  и , плотность распределения непрерывной случайной величины , вероятность события .

12. При каком значении параметра  функция  может быть плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины ? Найти .

13. Непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей   Найти функцию распределения вероятностей ; построить графики а и .

14. Непрерывная случайная величина  распределена «по закону прямоугольного треугольника» на интервале ; на рис. 84 изображена плотность распределения этой с.в. Найти:

а) значение ;

б) аналитическое выражение для плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить график F(x).

15. Дана плотность распределения случайной величины :  Определить постоянную , найти функцию распределения  и построить её график, вычислить вероятность того, что случайная величина  примет значение, удовлетворяющее условию: а) ; б) .

16. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины  : Что вероятнее: попадание случайной величины в интервал  или в?

17. Функция распределения непрерывной случайной  задана выражением

. Найти: а) коэффициенты ; б) плотность ; в) . Построить график функции .

18. Задана функция . Определить: а) при каком значении  функция  будет функцией распределения некоторой случайной величины; б) плотность вероятности случайной величины; в) вероятность события .

19. Задана плотность вероятности случайной величины :

. Найти .

20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины  имеет вид. Найти .

21. Плотность вероятности случайной величины  задаётся формулой . Найти её числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.

22. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины :  Найти .

23. Плотность распределения случайной величины  задана в виде:  Найти .

24. Случайная величина  задана функцией распределения  Найти; .

25. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины  задана формулой  Найти параметр ,  и .

26. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти .

27. Случайная величина  задана плотностью распределения . Найти , квантиль порядка и

28. Плотность распределения вероятностей случайной величины  задана в виде  Найти .

29. Задана плотность распределения случайной величины :

. Найти .

30. Найти моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию случайной величины с плотностью вероятности

11. Основные законы распределения НСВ

1. Все значения равномерно распределённой непрерывной случайной величины лежат на отрезке от 2 до 8. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины и вероятность попадания в интервал от 3 до 5. Построить графики.

2. Непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины, а также вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в интервал . Построить графики.

3. Длина детали, изготавливаемая на станке – непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и среднеквадратическим отклонением 0,4 см. Найти плотность вероятности, функцию распределения и вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 0,16 см. Построить графики.

4. Время безотказной работы телевизора распределено по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы телевизора 500ч. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики времени безотказной работы телевизора, а также вероятность того, что он проработает 1000ч. Построить графики.

5. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики времени ожидания поезда. Какова вероятность того, что ждать придётся не более, чем полминуты? Построить графики.

6. Автомат изготавливает шарики без систематических ошибок. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине  меньше 0,7 мм. Считая, что непрерывная случайная величина  распределена нормально со среднеквадратичным отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.

7. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики ошибки в показаниях часов. (Под ошибкой понимается разность между истинным временем и показываемым.) Построить графики. Определить вероятность того, что разница между истинным и показываемым временем не превышает 20с.

8. Диаметр выпускаемой детали – непрерывная случайная величина, подчинённая нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и среднеквадратическим отклонением 0,9 см. Найти плотность вероятности, функцию распределения , моду и медиану диаметра детали. Построить графики. Установить: а) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см; б) вероятность того, что размер детали отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 2 см; в) в каких пределах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти пределы была равна 0,95.

9. Время расформирования состава через горку – непрерывная случайная величина, подчинённая экспоненциальному закону  распределения. Среднее число поездов, которые горка расформировывает за 1 час, равно 5. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики времени расформирования состава. Построить графики. Определить вероятности того, что время расформирования состава: а) меньше 30 мин.; б) больше 6 мин., но меньше 24 мин.; в) больше 0,3 часа.

10. Время безотказной работы элемента подчинено экспоненциальному закону. Среднее число отказов в течение одного часа равно 0,6. Найти вероятность того, что за 2ч. элемент а) не откажет, б) откажет.

11. Масса груза, перевозимого в товарном вагоне – непрерывная случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения с параметрами  Масса пустого вагона 22,5т. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики массы гружёного вагона. Построить графики. Определить вероятность того, что из 5 очередных гружёных вагонов 3 имеют массу не более 92,5т. и не менее 82,5т.

12. Среднее число обращений в сервисный центр по поводу ремонта стиральной машины некоторой марки в течение гарантийного строка равно 1,1. Гарантийный срок службы для стиральной машины этой марки – 2 года. Срок бесперебойной службы машины подчинён экспоненциальному закону распределения. Установить закон распределения числа владельцев 1000 машин этой марки, которые в течение последующих 10 лет не посетят сервисный центр. Определить числовые характеристики этой случайной величины.

13. Отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является непрерывной случайной величиной, подчинённой нормальному закону распределения, причём длина лишена систематической ошибки. Если стандартная длина равна 40см. и среднеквадратическое отклонение 0,4см., то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятность 0,8? Сколько следует вероятнее всего ожидать деталей с такой точностью длины среди 50 изготовленных?

14. На пятисотметровом участке линии электропередач злоумышленники с целью хищения цветных металлов в случайном месте планируют вырезать часть провода, сколько удастся. Найти закон распределения и числовые характеристики длины украденного провода. Какова вероятность того, что не удастся срезать более 100 метров? Если бы за каждый метр определяли срок наказания по месяцу строго режима, то какова вероятность отсидеть не менее 10 лет (без учёта амнистий)?

15. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся  не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины  времени ожидания поезда.

16. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина , распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

17. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная с.в. Х, имеющая равномерное распределение на отрезке . Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19час.22минут до 19час.46мин.

18. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х имеет вид  Найти .

19. Случайная величина  распределена равномерно на отрезке , т.е.  Найти вероятность попадания случайной величины  на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка .

20. Определить закон распределения случайной величины , если её плотность вероятности имеет вид  Найти: а) ; б)  в) значение коэффициента ; г)  д) .

21. Рост взрослых мужчин является случайно величиной , распределённой по нормальному закону: ~. Найти: плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

22. Автобусы данного маршрута идут с интервалом в 30 мин. Пассажир подходит к автобусной остановке в произвольный момент времени. Время ожидания автобуса есть непрерывная случайная величина , имеющая равномерное распределение. Найти: плотность вероятности; функцию распределения; математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; вероятность появления пассажира не ранее чем через 17 минут после ухода предыдущего автобуса, но не позднее чем за одну минуту до отхода следующего автобуса.

23. Непрерывная случайная величина  распределена по показательному закону, а именно, . Найти: а) значение параметра ; б)  и ; в) построить график функции распределения . Найти вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее, чем .

24. Найти математическое ожидание случайной величины , распределённой по показательному закону, если её функция распределения имеет вид . Найти

25. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение со средним значением для 1-го элемента 20 часов, 2-го – 25 часов. Найти вероятность того, что за промежуток времени длительностью 10 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) хотя бы один элемент откажет.

26. Известно, что время ремонта телевизоров есть случайная величина , распределённая по показательному закону; при этом среднее время ремонта телевизора составляет две недели. Найти: а)  и ; б) вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется менее десяти дней.

27. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид  при , при ; однако он забыл, чему равна постоянная . Требуется найти .

28. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения

29. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности:  при ; f при .

30. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины  соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключённое в интервале .