Презентация на тему:"Применение производной для исследования функций на монотонность и точки экстремума"
В презентации раскрывается вопрос не только о том, как связаны график функции с графиком её производной, но и формируются умения решать задачи вида: по графику производной функции находить промежутки монотонности и точки экстремума.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 primenenie_proizvodnoy_dlya_issledovaniya.ppt | 2.18 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 < x 2 , f(x 1 )< f(x 2 ). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 < x 2 , f(x 1 )> f(x 2 ). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. ПОВТОРИМ : ВОЗРАСТАЮЩАЯ И УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ Промежутки, в которых функция у = f (х) возрастает или убывает называются промежутками монотонности функции у= f (x) .
Возрастание и убывание функции у = f (х) характеризуется знаком её производной Если в некотором промежутке f ’(x) >0 (производная функции положительна), то функция возрастает на этом промежутке. Если в некотором промежутке f ’(x) <0 (производная функции отрицательна), то функция убывает на этом промежутке. СВЯЗЬ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. Найти нули производной, т.е. точки в которых f ' ( x ) = 0. Определить знак производной f ' ( x ) на каждом промежутке. Определить промежутки монотонности. 4.1. Если f ’(x) > 0, то функция возрастает на данном промежутке. 4.2. Если f ’(x) < 0, то функция убывает на данном промежутке.
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x). Функция возрастает при х є (-8;-6) ; (-3;2) Функция убывает при х є [-10;-8) ; (-6;-3) ; (2;4] 1. Выделяем отрезок [−10; 4], на котором функция непрерывна. 2. Отмечаем нули производной, т.е.точки в которых f ’ (x) = 0 (точки пересечения с осью Х). 3. Определяем знак производной на каждом промежутке: 3.1. f ’(x) > 0 (график расположен выше оси Х) 3.2. f ’(x) < 0 (график расположен ниже оси Х) 4. Определить промежутки монотонности. 4.1. Если f ’(x) > 0 , то функция возрастает на данном промежутке. 4.2. Если f ’(x) < 0, то функция убывает на данном промежутке.
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−4; 6]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x). Функция у = f (х) убывает при х є [-4;-2) ; (2; 6] Функция у = f (х) возрастает при х є (-2;2)
ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках экстремумами функции . Точка x 0 из области определения функции f(x) называется точкой максимума этой функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0 ) > f(x). Точка x 0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0 ) < f(x).
Достаточное условие экстремума: Точками экстремума могут служить только критические точки , т.е.точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или не существует. если в некоторой точке х 0 производная функции f ( х) обращается в нуль и, кроме того, проходя через нее слева направо, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума: если производная меняет знак с «+» на «–», то х 0 – точка максимума функции f (х ) ; - если производная меняет знак с «–» на «+», то х 0 – точка минимума функции f (х ). Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): если точка х 0 является точкой экстремума функции f (х), и в этой точке существует производная f ’(x), то она равна нулю: f ’(x) =0 .
Поведение функции при её исследовании с помощью производной на экстремумы проиллюстрируем таблицами: (а; b) (a; x 0 ) x 0 (x 0 ; b) f ‘ (x) + 0 - f (x) max f max (x) = f (x 0 ) (а; b) (a; x 0 ) x 0 (x 0 ; b) f ‘ (x) - 0 + f (x) min f min (x) = f (x 0 ) ПРИЗНАК МАКСИМУМА ФУНКЦИИ ПРИЗНАК МИНИМУМА ФУНКЦИИ
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. Найти критические точки, т.е. точки в которых f ' ( x ) = 0 или не существует. Определить знак производной f ' ( x ) на каждом промежутке. Определить точки экстремума. 4.1. Если f ’(x) в точке х 0 меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума. 4.2. Если f ’(x) в точке х 0 меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума.
min max Ответ: X min = -3 X max = 2,5 1. Выделяем отрезок [−5; 5], на котором функция непрерывна. 2. Отмечаем нули производной, т.е.точки в которых f ’(x) = 0 (точки пересечения с осью Х). 3. Определяем знак производной на каждом промежутке: 3.1. f ’(x) > 0 (график расположен выше оси Х) 3.2. f ’(x) < 0 (график расположен ниже оси Х) 4. Определить точки экстремума. 4.1. Если f ’(x) в точке х 0 меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка max. 4.2. Если f ’(x) в точке х 0 меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка min. ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума и максимума функции f(x) на этом отрезке .
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ЗАДАЧУ: На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите точки минимума и максимума функции f(x) на этом отрезке . Ответ: х max = -5; х max = 2 х min = -3,5; х min = 3,5 max max min min
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ На рисунке изображен график производной функции f(x), непрерывной на отрезке [−11; 3]. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x). 3 2 1
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ На рисунке изображен график y = f ′( x ) — производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите точки экстремума функции f(x), принадлежащие этому отрезку. 6 5 4 На рисунке изображен график y = f ′ ( x ) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8;16). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-4;15]. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
f ‘ (x) < 0 Функция убывает в точках: х 3 ;х 4 ;х 6 ;х 8 ;х 9 Ответ: 5 3 Функция возрастает при х є (-10;-6) ; (-2;2) Функция убывает при х є (-11;-10) ; (-6;-2) 1 Функция возрастает в точках: х 1 ;х 4 ;х 5 ; х 6 ;х 7 Ответ: 5 2 Ответ: х = - 2 точка минимума 4 Ответ: 3 точки (х 1 =7; х 2 =10; х 3 =13) 5 Ответ: 1+2+4+7+9+10+11= 45 6