Окасании уравнения Пфаффа на многообразии размерности 3, 4, 5

УДК 514.745.4

О КАСАНИИ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА С ПОВЕРХНОСТЬЮ НА МНОГООБРАЗИИ РАЗМЕРНОСТИ 3,4,5 .

Ю.А. Шкарупо

Учительматематики и информатики МБОУ «СОШ №34»

Wkarupo_djulia@mail.ru

Определение 1 [1]: Уравнением Пфаффа на дифференцируемом многообразии М размерности n называется уравнение вида

                                                             (1)

 где ω – дифференциальная 1-форма на М, причем ω нигде не обращается в 0.

Уравнение (1) для краткости будем обозначать .

Если , то уравнение (1) имеет вид:  

                                              (2)

Если - функция, нигде не обращающаяся в 0, то уравнение (1) будет считать эквивалентным уравнению .

Уравнение (1) называется интегрируемым, если существует функция такая что уравнение (1) эквивалентно уравнению .

Уравнение (2) всегда интегрируемо, так как имеет интегрирующий множитель. Уравнение (1), вообще говоря, не является интегрируемым.

Определение 2 [1]: Классом уравнения (1) в точке  называется число , если форма  и .

Класс уравнения  в точке  будем обозначать:

Замечание: Уравнение (1) интегрируемо тогда и только тогда, когда его класс в каждой точке равен 1.

Если - функция на , такая что , то определена билинейная симметричная форма на  формулой:

для любых

где  локальные координаты на М в окрестности точки

Форма Н называется гессианом функции в точке   [2].

По аналогии, если дифференциальная 1-форма  на  такая что  для некоторой точки , и в локальных координат в окрестности точки   имеет вид:

,

то можно определить обобщенный гессиан  формы  в точке формулой:

.

Обобщенный гессиан формы  является билинейной, но вообще говоря несимметричной формой. [3]

Определение 3 [3]: Аннулятором уравнения  вида (1) в точке называется  множество

.

Рассмотрим -мерную поверхность касающуюся уравнения Пфаффа (1) в точке . Это означает, что . Тогда . Поэтому определен обобщенный гессиан формы на поверхности S в точке , представляющий собой билинейную форму :

.

Теорема 1: Пусть - уравнение Пфаффа вида (1) на М,  и -мерная поверхность касается уравнения  в точке . Тогда

 тогда и только тогда, когда

 тогда и только тогда, когда

Теорема 2: Пусть - уравнение Пфаффа вида (1) на М,  и 4-мерная поверхность касается уравнения  в точке . Тогда

 тогда и только тогда, когда

 тогда и только тогда, когда

 тогда и только тогда, когда

Литература

1. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973.
2. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2003
3. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ.1988

Научный руководитель – к.ф-м.н., доцент Черненко В.Н.