виды текстовых задач и методы их решения

Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим было решено включить в итоговую аттестацию в форме единого государственного экзамена (ЕГЭ) предмет математики, где особое внимание уделяется текстовым задачам.

Изучение текстовых задач происходит в основной школе, но рассматриваются они недостаточно глубоко, таким образом, приобретённые в основной школе навыки и знания решения текстовых задач со временем теряются. Исходя из этого,  чтобы достойно сдать ЕГЭ, а именно, верно решить текстовые задачи, нам необходимо рассмотреть классификации этих задач, систематизировать и ликвидировать пробелы в знаниях по математике.

При решении каждой задачи мы производим небольшое математическое исследование, с помощью которого проверяется наша сообразительность и способность к логическому мышлению.

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д. По методу решения: алгебраический метод и геометрический метод. Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

1. выбор неизвестных;
2. составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств;
3. нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;
4. отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Иногда при решении  сложных задач трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Поэтому все соотношения должны из конкретных условий задачи, т. е. необходимо каждое условие представить в виде уравнения или неравенства. Так же необходимо обратить внимание на то, что число переменных, входящих в неравенства или уравнения, может оказаться достаточно большим, однако в дальнейшем, при решении уравнений или неравенств, «лишние» переменные последовательно исключаются.

Бывают случаи, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, но и нередки задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Если при этом мы использовали все условия задачи, то необходимо прочитать внимательно ещё раз условие и понять требование задачи, т. к. может оказаться, что надо отыскать не все неизвестные, а всего лишь их соотношение.

 Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Дадим краткую характеристику первых трех методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

1. Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.
2. Алгебраический метод. В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
3. Геометрический метод. Он состоит в том, что логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим методом решения алгебраических задач будем понимать в дальнейшем метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений (неравенств), систем уравнений, арифметических выражений и др.)[12].

Геометрические представления возникают на основе геометрических знаний и геометрической интуиции. Геометрическое представление условия текстовой задачи будем называть геометрической моделью этой задачи. Построение и использование геометрических моделей в процессе решения текстовых алгебраических задач основаны на законах геометрии. Отсюда и название «геометрический метод».

Традиционно под геометрическим методом решения задач (не только текстовых) в курсе алгебры понимали только конструктивный прием, когда решение выполнялось с помощью точных построений, и ответ задачи получали прямо с чертежа. Это ограничивало возможности использования геометрических представлений, в частности, при решении текстовых задач. Мы будем понимать геометрический метод, как метод, состоящий из двух приемов: конструктивного и конструктивно-аналитического[12].

Конструктивный прием предполагает выполнение всех построений чертежными инструментами на миллиметровой бумаге в клетку с использованием масштаба. Ответ задачи получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей, и находится он путем измерений длин отрезков или других элементов чертежа.

Конструктивно-аналитический прием позволяет выполнить чертеж схематически, от руки. Решение задачи в этом случае осуществляется аналитически: либо арифметическим путем с использование чертежа, либо путем составления уравнения, которое основывается на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.).

Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим методом необходимо:

1. построить геометрическую модель задачи: решающую или вспомогательную (геометрическая модель задачи называется решающей, если она позволяет получить ответ задачи без аналитических выкладок, в противном случае – вспомогательной).
2. найти ответ задачи: если модель решающая, то ответ «снимаем» с чертежа, в случае вспомогательной геометрической модели надо:

а) составить числовое выражение или уравнение (систему уравнений), неравенство (систему неравенств), используя геометрические соотношения полученных фигур;

б) найти значение числового выражения или уравнения, неравенства (системы уравнений или неравенств);

в) исследовать полученные решения: выяснить, удовлетворяют ли корни уравнения (системы уравнений), решения неравенства (системы неравенств) условию и требованию задачи, исчерпывают ли они все решения задачи и т.д.

4  Задачи на движение

Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).

Решая подобные задачи для различных типов движения нам необходимо определить некоторые особенности[13].

Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь  определяется по формуле , где  - скорость,  - время.
2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно.
3. Скорость считается всегда величиной положительной.
4. При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна , а собственная скорость объекта в стоячей воде равна , скорость объекта относительно берега будет равна . При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна , при этом должно выполняться неравенство .
5. Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.

Исследовав типы задач для различных типов движения из Открытого банка задач ЕГЭ по математике, мы можем разделить их на две группы – задачи на движение в одном направлении, задачи на встречное движение и движение туда и обратно, и составить для каждой группы одну общую модель решения данных задач.

1. Задачи на  движение в одном направлении

В задачах на движение в одном направлении за неизвестную величину  чаще всего, за неизвестную наиболее рационально принимать наименьшую из величин или то, что необходимо найти. При этом не стоит забывать о том, что нам необходимо указать дополнительное условие, т. е. например, если это скорость, то она не может быть отрицательной или равной нулю. При решении задач с большим количеством информации целесообразно использовать таблицы:

После отбора информации из условия задачи и представления её в виде таблицы, составляем систему уравнений или неравенств, т. е. составляем два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравниваем их[5].

После нахождения неизвестных или нужной комбинации неизвестных, отбираем решения, подходящие по смыслу задачи.

Делаем вывод и записываем ответ на вопрос задачи.

4.2 Задачи на встречное движение и на движение туда и обратно

Обычно при решении задач на движение, часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг к другу. При исследовании задач из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике, таких задач не было обнаружено, но мы не можем себе позволить оставить их без рассмотрения.

Пусть расстояние между точками  Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости  Пусть  - точка встречи (рис. 1). В случае движения навстречу друг другу имеет:  где  - время, которое они двигались. Сложим эти два равенства:

Так как  то время, через которое они встретятся, равно:

Если же, например, первое тело начало движение на  раньше, чем второе, то  и  где  - расстояние, пройденное первым телом до начала движения второго. Приведем примеры.

 Задача 1.

Из города  выезжает велосипедист, а через три часа после его выезда навстречу ему из города  выезжает мотоциклист, скорость которого в три раза больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между . Если бы мотоциклист выехал бы не через три, а через два часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к  Найти расстояние между

Решение:

Обозначим:   – расстояние между  - скорость велосипедиста,  - скорость мотоциклиста. Скорость мотоциклиста в три раза больше скорости велосипедиста:  встреча происходит посередине, если мотоциклист выехал на три часа позже:  встреча произошла бы на 15 км ближе к , если бы мотоциклист выехал на два часа позже:  Исключая , имеем  Из первого уравнения  подставляя во второе, получаем уравнение для определения   решая которое, получаем S=180 (км)[16].

Задача 2 [В12, № 5715].

Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть  скорость течения реки, где  По условию задачи составим таблицу.

Таблица 1

Зная, что лодка на обратный путь затратила на 6 часов меньше, составим и решим уравнение.

Таким образом, скорость течения реки 3 .

Ответ: 3 .

Таким образом, при решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п[7].

5 Задачи на совместную работу

Задачи такого типа содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводиться равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта.  

В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:

•  – время выполнения работы;
•  – производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени;
•  – работа, выполняемая за время.

Эти три величины связаны соотношением

В подобных задачах, в качестве работы может выступать объём жидкости, выливаемой из бассейна или наливаемой в бассейн. Обычно величина выполняемой работы нас не интересует, поэтому удобнее принимать объём всей работы или бассейна за единицу, т. е. .

Исследуя прототипы из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике на движение и производительность, нельзя не заметить, что все задачи данного типа можно разделить на две группы – задачи на работу и задачи на трубы. Для каждой из них мы можем составить  общие модели решения типовых задач, которые знать будет очень полезно[8].

В задачах «на детали» за неизвестные, как правило, надо принимать производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение. Рассмотрим на одной задаче два способа решения, сначала примем за неизвестную величину – время, а потом – производительность и посмотрим, в чём разница решения при выборе разных неизвестных.

В основном задачи на работу решаются по такой же логике, как и задачи на движение.

Задача 3 [В12, № 5825].

Задача:

На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий[16]?

1 способ

Решение:

Пусть  часов затрачивает второй рабочий на изготовление 40 деталей. По условию задачи составим таблицу.

Таблица 2

Зная, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй рабочий делает  деталей в час.

Ответ: 5 деталей в час.

2 способ

Решение:

Пусть  деталей в час делает второй рабочий, где  По условию задачи, составим таблицу.

Таблица 3

Зная, что первый рабочий на выполнение работы затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй рабочий делает 5 деталей в час.

Ответ: 5 деталей в час.

Как мы видим, на ответ выбор неизвестных не влияет, но от этого зависит длина решения (количество действий). Исходя из этого, при решении задач, выбирать неизвестные стоит исходя из условия задачи. Чем меньше количества действий нам предстоит совершить, тем быстрее мы решим задачу. А это очень большое преимущество на экзамене.

В задачах «на трубы», из которых что-нибудь льётся (к примеру, вода), модель решения схожа с задачами «на работу». Разница лишь в том, что здесь производительность трубы – это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени[17]. Иногда в подобных задачах за неизвестные необходимо одновременно принять и объём бассейна, производительность труб, время наполнения и слива бассейна каждой трубой. Из-за большого количества неизвестных задача на первый взгляд может показаться очень трудной и нерешабельной, но это не так. Рассмотрим примеры решения двух задач.

Задача 4 [ № 2.10]

Решение:

Пусть скорость заполнения бассейна первой трубой , а  - скорость наполнения бассейна второй трубой. По условию задачи составим таблицу.

Таблица 4

Зная, что бассейн заполняется двумя трубами за 6 часов, составим уравнение.

На основании того, что одна первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, составим уравнение.

Так как,  выражают одни и те же неизвестные величины, то для их нахождения составим и решим уравнение.

Таким образом, первая труба действуя отдельно наполнит бассейн за , а вторая – .

Ответ: за 10 часов и 15 часов соответственно.

Задача 5 [ В12, № 26598].

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть  литров воды в минуту пропускает вторая труба. По условию задачи составим таблицу.

Таблица 5

Зная, что вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, чем первая труба, составим и решим уравнение.

Таким образом, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

Ответ: 10 литров воды в минуту.

Решая задачи «на работу», нужно  принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

6 Задачи на  концентрацию, сплавы и смеси

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Решение задач основано на использовании следующих определений:

• массовая концентрация вещества в смеси;
•  процентное содержание вещества в смеси;
• объёмная концентрация вещества в смеси;
• объёмное процентное содержание компоненты.

Так же необходимо знать следующие допущения:

1. Все рассматриваемые смеси (растворы, сплавы) однородны.
2. Не делается различия между литром как единицей ёмкости и литром как единицей массы.
3. Отсутствуют химические и другие реакции между компонентами раствора.

Массовая концентрация вещества в смеси определяется отношением массы данной компоненты к полной массе смеси и показывает, какую долю полной массы смеси составляет масса данной компоненты:

Процентным содержанием вещества в смеси называется величина

Если заданы объёмы компонент смеси  то объём смеси равен

Объёмная концентрация вещества в смеси определяется отношением объёма, занимаемого данной компонентой, к полному объёму смеси и показывает, какую долю полного объёма смеси составляет объём, занимаемый данной компонентой:

Объёмным процентным содержанием компоненты называется величина

т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах;

Если смесь составлена из веществ , входящих в неё в отношении , то концентрация веществ  равны соответственно

Приведем примеры.

Задача 6.

Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объём одного раствора 4 л, другого – 6 л. Если их слить вместе, то получиться 35%-й раствор кислоты. Если же слить равные объёмы этих растворов, то получиться 36%-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворах[8]?

Решение:

Здесь удобнее считать неизвестным не количества кислоты в первоначальных растворах, а концентрации кислоты в них (получаются более простые уравнения). Пусть концентрации кислоты в первом и втором растворах равны соответственно . Тогда объёмы кислоты в растворах равны . Если слить эти растворы вместе, то их общий объём станет 4 + 6 = 10 л, а объём кислоты – . Следовательно, в новом растворе концентрация кислоты определиться из равенства

Возьмём теперь равные объёмы обоих растворов по  Тогда кислоты в этих объёмах содержится по  и  л соответственно в первом и втором растворах. Общий объём равен  а объём кислоты, если слить эти растворы, равен  Следовательно, концентрация кислоты в новом растворе определиться из равенства

Так как введённое новое неизвестное  в этом уравнении сокращается, то понятно, что дополнительного уравнения для его определения не требуется.

После простых преобразований получаем такую систему линейных уравнений:

Отсюда находим:  Следовательно, в первом растворе содержится 0,41 ∙ 4 = 1,64 л кислоты, а во втором – 0,31 ∙ 6 = 1,86 л.

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором  1,86 л.

7 Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»

Решение задач на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» тесно связано с тремя понятиями:

• нахождение части от целого;
• восстановление целого по известной его части;
• нахождение процентного прироста.

Решение задач этого типа основано на использовании следующих определений:

• абсолютный прирост;
• относительный прирост;
• процентный прирост;
• средний процентный прирост.

1. Пусть нам известна некоторая величина . Необходимо найти  этой величины[17]. Если считать, что  – это 100%, а  - неизвестная величина, то из пропорции  получаем:

2. Пусть некоторое число  составляет  от неизвестной величины . Необходимо найти . Считая, что  – это 100%, получаем пропорцию:

3. Процентным приростом величины  за время  называется величина

Если за время  величина  измениться на  далее за   – на  и т. д., то значение величины  в момент  вычисляется по формуле:

4. Средний процент прироста  определяется равенством:

 откуда получаем

Итак, если число  увеличится на , то полученное значение будет равно  а если уменьшить на , то полученное значение будет равно

Рассмотрим примеры.

Задача 6.

Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор?

Решение:

Пусть  - зарплата профессора. Из первого предложения условия получаем пропорцию:

 – 100%,

 – (100%-25%), откуда находим, что зарплата учителя составляет 0,75

0,75 – 100%,

 –, откуда находим, зарплата профессора составляет  Но в вопросе спрашивается, на сколько процентов, значит, на %.

Ответ: на %.

Задача 7[ B1, № 26631].

В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Таблица 6

Найдём количество взрослых проживающих в городе (нахождение части от целого):

200000 ∙ 0,85 = 170000 взрослых жителей.

Теперь найдём часть работающего населения от всех взрослых жителей:

170000 ∙ 0,55 = 93500 взрослых работает.

Ответ: 93500 взрослых жителей работает.

Закончив исследование текстовых задач, рассмотрев методы работы (решения) над задачами и определив общие модели решения, мы можем сделать некоторые выводы и дать рекомендации, которые необходимо знать при сдаче ЕГЭ.

При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.  

В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться. Все задачи из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике данного типа решаются по одной общей модели, в условии задачи меняется лишь вопрос или величины. Например, в одной задача спрашивается, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, а во второй задаче, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба и т. д.

В задачах на проценты, которые встречаются в ЕГЭ в блоках , часто наблюдаются такие явления, как повышение и понижение цен на , продажа с наценкой , нахождение части от целого и т. д. В блоке  иногда встречаются задачи, решающиеся в одно действие, где информации условие несёт немного и соответственно, представлять её в виде таблицы не обязательно, чего не скажешь о блоке . Здесь составители заданий из-за большого объёма условия предлагают нам уже готовые, заполненные таблицы. Правда в некоторых случаях так или не так всё равно приходиться некоторые явления представлять в виде дополнительной таблицы.