дипломная работа по теме "Геометрические построения на плоскости различными инструментами"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный педагогический университет»

                                                                Факультет: физико-математический 

                                        Кафедра: геометрии

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Геометрические построения на плоскости

различными инструментами

                                                       студентки V курса заочного отделения

                                                   физико-математического факультета

                                                Князевой Натальи Владимировны

                                                             Специальность 050201.65 «Математика»

                                 Научный руководитель:

                                                         кандидат физико-математических наук

                                      доцент кафедры геометрии

                                             Прояева Ирина Владимировна

Допущена к защите

Зав.кафедрой

«___»_________2011 г.

Оренбург 2011

Введение …………………………………………………………………………4                                                                                                      

Глава I. Геометрические построения на плоскости……………………………7

§ 1. Основы теории геометрических построений………………………………7

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии………………………...…...7

1.2 Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии....8

1.3 Инструменты геометрических построений…………………………….....9

§2. Построение одним циркулем………………………………………………..11                                                      

2.1 О возможности решения геометрических задач на построение

одним циркулем……………………………………………………………….11                                                                                        

2.2 Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением..14                                                                            

§3. Геометрические построения на плоскости различными инструментами  16                                                                                              

3.1 Построение одной линейкой……………………………………………..16                                                            

3.2 Применение других инструментов для построения…………………….18                      

Глава II.  Методика решения задач на построение……………………………22

§1 Характеристика задач на построение………………………………………22

1.1  Задача на построение…………………………………………………….22

1.2  Элементарные геометрические задачи на построение………………...27

1.3 Этапы решения геометрической задачи на построение………………..27

1.4  Методические рекомендации по обучению решению задач на построение………………………………………………………………………..31§2. Основные методы решения задач на построение………………………….37

2.1 Общее понятие о точечных преобразованиях фигур……………......….37

2.2 Метод параллельного переноса………………………………………......39

2.3 Метод поворота или вращения………………………………………......39

2.4 Метод осевой симметрии………………………………………...……....40

2.5 Метод геометрических мест точек…………………………………........40

2.6 Метод подобия или гомотетии ……………………………………….....45

2.7 Алгебраический метод…………………………………………………...46

§ 3. Применение метода ГМТ при решении задач на построение……………48

3.1 Методические рекомендации по методу ГМТ……………………….....48 

3.2 Программа факультативного курса занятий для 8 класса…………..….51 Заключение……………………………………………………………………....58

Список использованной литературы  ……………………………….…… ….. 59

Приложение 1…………………………………………………………………..60

Введение

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI-V веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Апполоний, Папп и многие другие. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.

Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс. В XVII-XIX веках разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX веках появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений.

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных  вопросов, уходящих в другие ветви математики.

 Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в математической подготовки школьника. Ни один вид задач не даёт столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Они обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части.

Целью данной работы является изучение различных методов решения задач на построение.

В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:

1. описать основы геометрических построений;

2. показать применение различных инструментов для построения при решении задач;

3. дать характеристику задач на построение;

4. рассмотреть методы решения задач на построение.

Объектом исследования является конструктивная геометрия.

Предмет исследования – геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что геометрические построения играют серьёзную роль в математической подготовке школьника.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.

Основное содержание работы изложено в двух главах.

 В первой главе приводится основание конструктивной геометрии и возможности решения геометрических задач на построение различными инструментами.

Вторая глава посвящена методике решения задач на построение. В ней дана характеристика задач на построение, изложены основные методы решения задач. В данной главе приводится программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме “Задачи на построение и методы их решения”, которая может быть использована в учебном процессе, т.к. наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. А задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, и недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры.

Глава I. Геометрические построения на плоскости

§ 1. Основы теории геометрических построений

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

В пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью.

Примерами фигур могут служить: точка, пара точек, прямая, пара параллельных прямых, отрезок, интервал, луч, окружность и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением, или общей частью нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

***

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что «начертить» (линию), «отметить» (точку) и т.п. Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертёжной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой геометрии.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Т.о, первое основное требование конструктивной геометрии состоит  в следующем:

1. Каждая данная фигура построена.
2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.
3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.
4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.
5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.
6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.
7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.
8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.
9. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре. [1]

 1.2 Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной

       геометрии

Система аксиом I-IX, изложенных в пункте 2.1, не является независимой. В настоящем пункте сформулируем систему четырех аксиом, из которой следуют или содержатся в ней все аксиомы I-IX.

Аксиома 1. Основная плоскость построена.

Аксиома 2. Если построены две фигуры, то можно установить является ли их разность пустым множеством или нет.

Аксиома 3. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность также построена.

Следствие 1. Если две фигуры построены, то можно считать известным, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

Следствие 2. Если построены две фигуры и их пересечение не пусто, то это пересечение должно считаться построенным.

Следствие 3. Если построены две фигуры, то их соединение должно считаться построенным.

Аксиома 4. Если построены две фигуры, пересечение которых не пусто, то можно построить, по крайней мере, одну точку, принадлежащую этому пересечению.

Следствие 4. Если построены две фигуры и n–какое-либо натуральное число, то всегда можно построить, по крайней мере, n различных точек или оно содержит менее, чем n, точек.

Следствие 5. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

Следствие 6. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре. [1]

1.3 Инструменты геометрических построений

Аксиомы VII и VIII пункта 2.1 устанавливают возможность строить точки, принадлежащие уже построенной фигуре.

Аксиома IX позволяет строить некоторые новые точки, но этим точкам не приписывается никаких определённых свойств, кроме свойства быть новыми, ранее не построенными точками. Для построения новых точек, обладающих некоторыми определёнными, указанными свойствами, а также для построения линий пользуются различными «инструментами геометрических построений.

Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Сформулируем соответствующие аксиомы.

А. Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

1. Построить отрезок, соединяющий две построенные точки;
2. Построить прямую, проходящую через две построенные точки;
3. Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Б. Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

1. Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы);
2. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности и концы этих дуг.

В. Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:

1. Выполнить любое построений, перечисленных в аксиоме А;
2. В каждой из полуплоскостей, определённых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h–фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);
3. Если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если АВ>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Г. Аксиома прямого угла. Прямой угол позволяет:

1. Выполнить построения, перечисленные в аксиоме линейки;
2. Через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;
3. Если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Помимо перечисленных инструментов, для геометрических построений можно пользоваться и другими инструментами: произвольным углом, угольником, линейкой с отметками, парой прямых углов, различными приспособлениями для вычерчивания специальных кривых и др.

Построения, о возможности которых сказано в аксиомах, вместе с построениями, перечисленными в аксиомах тех инструментов, которые избраны для построения, называют основными построениями (для данного набора инструментов). [3], [15]

§ 2. Построение одним циркулем

2.1 О возможности решения геометрических задач на построение

      одним циркулем.

Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки. К такому выводу впервые пришли датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) и доказали что любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем, называют геометрией циркуля.

В геометрии циркуля прямая линия определяется двумя точками, а не задаётся в виде непрерывной прямой линии. Построение прямой линии считается оконченным, как только построены две любые её точки; отрезок считается известным, если построены его концы и луч - если построены его начало и какая-либо принадлежащая ему точка.

При наличии только циркуля можно выполнить следующие построения:

1. Построить точку пересечения двух известных прямых (не строя этих прямых).

2. Построить точки пересечения построенной окружности и известной прямой (если такие точки существуют).

3. Построить точки, принадлежащие известной прямой.

4. Построить точки, заведомо не принадлежащие соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей и известных прямых.

Чтобы доказать выполнимость этих построений исключительно циркулем, решим предварительно следующую задачу: известны отрезки a, b и c; построить, пользуясь только циркулем, четвёртый пропорциональный отрезок, т.е. такой отрезок x, чтобы a:b=c:x.

Изберём на плоскости произвольную точку О и проведём окружность
. Построим также концентрическую ей окружность . Изберём произвольно точку А на окружности и точку А/ на окружности . Пусть В-точка пересечения окружности  с окружностью (А,с), а В' - точка пересечения окружности  с окружностью (В,АА'). Теперь треугольники АОА'  и ВОВ' равны по трём сторонам, значит равнобедренный треугольник АОВ подобен равнобедренному треугольнику А'ОВ',так что АО:А'О=АВ:А'В' или по построению, a:b=c:А'В'. Отрезок А'В' искомый. [6]

Построение (1).Даны четыре точки А, В, С и D (рис.1). Построить точку пересечения прямых АВ и СD, пользуясь только циркулем.

СD и С'D'. Если СDD'E- параллелограмм, то точки  С,С' и Е лежат  на одной прямой. Точка Е может быть построена как точка пересечения  окружностей (С,DD') и (D',DC).

Из подобия треугольников СLC' и ED'C' видно, что С'Е:С'D'=C'C:С'L. Поэтому отрезок С'L  может  быть построен как 4-й пропорциональный к трём известным отрезкам С'Е, С'D и С'С. Искомая точка L найдётся после этого в пересечении окружностей (С',С'L) и (С, С'L).

Если прямые АВ и СD окажутся перпендикулярными (СС' и DD' на одной прямой), то решение задачи упрощается: искомая точка L может быть построена как середина отрезка СС'.

окружности (О',r).  Так как каждая из этих точек одинаково удалена от точек  О и О', то эти точки располагаются на прямой  АВ, которая служит симметралью отрезка ОО'. Значит, М и N – искомые точки. Если окружности (О',r) касаются, то их общая  точка является искомой (рис.2).

Построение (3). Пусть известны две точки А и В (рис.3). Требуется построить произвольное количество точек прямой АВ, не проводя этой прямой. Изберём  произвольную точку С плоскости. Если  она окажется  расположенной   на прямой АВ, то это точка искомая. Допустим, что это не

 принадлежат прямой АВ, так как каждая из них одинаково удалена от точек С и  С1.

Построение (4). Пусть построены k  точек А1, А2,…,Аk  и n  окружностей  

1, 2, 3, …, n, а также  известны m  и прямых  а1, а2, а3, …, аm. Ищется точка, не совпадающая ни с одной из этих  точек  и не принадлежащая ни одной из этих прямых или окружностей.

      Изберём произвольную точку А и какую-либо точку В,  не лежащую ни на одной из построенных окружностей (для чего не требуется ни линейки ,ни циркуля). Тогда окружность n+1 (А, АВ) не совпадает  ни с одной из окружностей 1, 2, …, n. Этой окружности могут принадлежать некоторые из точек А1, А2, …, Аk, на ней могут оказаться также точки  пересечения  с заданными окружностями. Изберём на окружности n+1, сверх этих, ещё 2m+1 точек . Тогда по крайней мере одна из этих 2m+1 точек удовлетворяет требованиям задачи, так как прямые а1, а2, …, аm могут встретиться с окружностью n+1  самое большее в 2m точках. Путём конечного числа испытаний среди 2m+1 избранных точек  можно выделить искомую. [6]

§ 2. Геометрические построения на плоскости циркулем с

       ограничением

Теорема Ι. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка.

Рассмотрим общий метод решения конструктивных задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R.

Представим задачу решенной одним циркулем в классическом смысле, при свободном пользовании циркулем, когда на раствор ножек никаких ограничений не накладывается. В результате получена некоторая фигура Ф, состоящая из одних только окружностей, взятых в конечном числе. Обозначим через R1 наибольший из радиусов всех окружностей, составляющих фигуру Ф. Если R1R, то указанное построение может быть выполнено одним циркулем с ограниченным раствором ножек.

Пусть теперь R1>R. Возьмем натуральное число n таким, чтобы R1/2nR. Если все отрезки, данные в задачи, в том числе и отрезки, определяющие радиусы заданных окружностей, уменьшить в 2n раз и затем провести решение данным циркулем, то в результате получим фигуру Ф', подобную фигуре  Ф с коэффициентом подобия, равным 1/22. Все окружности фигуры Φ' могут быть начерчены данным циркулем. При этом, если среди данных в условии задачи имеется некоторая фигура Φ1 в плоскости чертежа, то одну точку этой фигуры нужно взять за центр подобия и построить ей подобную фигуру Ф'1 с коэффициентом подобия 1/2n .

При решении задач на построение число n обычно бывает неизвестным, т.к. данным циркулем нельзя построить фигуру Ф, а значит неизвестен радиус R1 наибольшей из окружностей. Учитывая это обстоятельство, решение задачи данным циркулем с ограниченным раствором проводим до тех пор, пока не придём к окружности с радиусом r1>R. Определяем натуральное число n1 так, чтобы r12nR. Уменьшаем данные отрезки в 2n раз и повторно начинаем решение данной задачи; в результате она будет полностью решена и построена фигура Ф' или снова придем к окружности радиуса r2>R. Определяем натуральное число n2 так, чтобы r22nR, и снова уменьшаем все отрезки в 2n раз и в третий раз начинаем решение задачи и т.д. После конечного числа шагов фигура будет построена.

Теорема ΙΙ. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше длины некоторого  наперед заданного отрезка.

Общий метод решения задач на построение одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше R, совпадает с общим методом решения задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. Различие этих методов заключается в том, что данные в условии задачи отрезки нужно не уменьшать, а наоборот, увеличивать в n раз.

Многими учеными рассматривались геометрические построения циркулем с постоянным раствором, которым можно описывать окружности только радиуса R.

Циркулем с постоянным раствором, равным R, можно провести прямую, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через один из его концов, если только |AB|<2R; можно отрезок R увеличить в 2,3,4,… раз. Если |AB|<2R и |AB|≠R, то можно строить точки прямой АВ, меняя при этом каждый раз положение симметричных точек. Однако этим циркулем не можем делить отрезки и дуги на равные части, находить пропорциональные отрезки и т.д.

Таким образом, с помощью одного циркуля с постоянным раствором невозможно решить все задачи на построение, которые можно решить циркулем и линейкой. [14]

§3. Геометрические построения на плоскости различными

  инструментами

3.1 Построение одной линейкой

Пользуясь только линейкой, нельзя решить всякую задачу, разрешимую с помощью циркуля и линейки. Но исследования этого вопроса показали, что для решения как угодно сложной геометрической задачи на построение, разрешимой циркулем и линейкой, достаточно воспользоваться циркулем не более одного раза.

Теорема. Всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен её центр.

При этом предполагается, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, прямых, лучей, отрезков и дуг окружностей. Это предложение было установлено швейцарским математиком Я.Штейнером в 1833 году. При наличии линейки и построенной окружности с отмеченным центром (которую назовём вспомогательной или штейнеровой) можно выполнить следующие построения.

1. Построение общих точек известной окружности и построенной прямой (если такие точки существуют).

2. Построение общих точек двух известных окружностей (если такие точки существуют).

3. Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной окружности.

4. Построение точки, не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных прямых и известных окружностей.

Идея построения состоит в использовании гомотетии  данной и вспомогательной окружности. Для построения центра S этой гомотетии

достаточно провести радиус  ОР вспомогательной окружности параллельно О1Р1 и построить точку пересечения прямых  О1О и Р1Р. Пусть прямая  О1Р1  пересекает данную прямую а1  в точке М1. В пересечении  ОР и SМ1  найдётся прообраз М  точки М1 в упомянутой гомотетии, а прямая  а,  проведённая  через  М параллельно а1, будет прообразом  а1. В пересечении прямой  а  с окружностью  найдутся прообразы Х и Y искомых точек , а сами искомые точки Х1  и Y1  будут  точками пересечения прямых  SX и SY  с прямой  а1. Может оказаться, что прямая a не пересечёт окружность  . Это означает, что данная окружность (О1, О1Р1) не встречается с прямой  а1. Если  прямая  а коснётся , то и прямая а1 будет касаться окружности 1. Построение (2).Общими точками  двух известных окружностей  являются  точки пересечения  данных окружностей   с их радикальной  осью. Таким образом,  построение (2) сводится к задаче  о построении радикальной оси  двух известных  окружностей  и к построению (1). Радикальная ось  двух

них соответственно отрезки О1А1=r2 и О2А2=r1. Пусть М-середина отрезка А1А2. Пусть прямая, проведённая    через точку  М  перпендикулярно А1А2, пересекает линию  центров  О1О2 в точке  Р. Эта точка – искомая. Действительно: О1Р 2= А1Р2 – r22  и О2Р2= А2Р2 – r12. Но так как А1Р = А2Р, то  О1Р 2- О2Р2 = r12 – r22.

Построение (3). Умея строить точки пересечения  прямой и окружности,  можно построить сколько угодно  точек  на окружности , заданной центром и точкой на ней: достаточно пересечь эту окружность  произвольной прямой. Или провести любую прямую  через центр  заданной окружности  и отложить  на этой прямой  от центра отрезок, равный радиусу.

Построение (4). Выбираем две точки, не принадлежащие уже  построенным прямым, и строим соединяющую их прямую а. На  этой прямой  могут оказаться  расположенными  некоторые из построенных точек (что будет установлено  непосредственно). Кроме того,  могут быть построены все точки пересечения  прямой а с построенными прямыми  и с известными окружностями. После  этого можно  построить на прямой  а точку, отличную от всех упомянутых  её точек. Полученная точка  будет искомой. [13]

3.2 Применение других инструментов для построения

Широкими возможностями обладают другие чертёжные инструменты: линейка о двух параллельных краях, прямой угол, произвольный угол. Все построения в задачах, которые назовём элементарные (по Штейнеру) можно выполнить перечисленными инструментами. Решение некоторых из них получается непосредственно.

А. Линейка о двух параллельных краях

1. Провести параллельную прямую (рис.6);
2. Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей (рис.7);

3. Провести взаимно перпендикулярные прямые (рис.8);

4. Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Если требуется разделить пополам угол МSN, то поступают так: рис.9. Для

того чтобы удвоить угол МSN, прикладывают сначала линейку к прямой

SМ и получают таким образом точку P; затем помещают линейку так,

чтобы один её край проходил через точку P, а другой через точку S.

Фигура SQPR есть ромб (рис.10).

5. Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению (рис.11);

Строят прямую SL', параллельную l, и биссектрису h угла АSL'. Если затем сделать XSh'=hSB=β иΥ'SL'=L'SX'=α, то прямые SΥ' и SX' будут параллельны искомым прямым.                                        

          A                                                                                     A                               X

                  B          l                                                                                    M

           α     β      h                 α                       p         

S           α      X'                    y                                                B

               α           L'                                                                    g                      А'

                     Υ'                                                                                h

                             Рис.11                                                        Рис.12

6.  Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку (рис.12).

Прямая h есть биссектриса А'Μg; прямая А'X параллельна h.

Б. Прямой угол

1. Провести параллельную прямую; (проводят сначала перпендикуляры).
2. Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей;

Проводят прямую g в произвольном направлении через А, строят h перпендикулярно к АВ и поступают так, как указано на рисунке 13. Как разделить пополам отрезок АВ, показывает чертёж 14.  Деление отрезка на  большее число равных частей производится с помощью параллельных прямых.

        Провести взаимно перпендикулярные прямые; (разрешается непосредственно).

3. Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Прямая x, параллельная ВС, и будет искомой биссектрисой угла.

4)Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению;

Проводят через S прямую l' параллельно l, берут на a произвольную точку А и опускают перпендикуляры АВ, АС соответственно на b и l'; затем соединяют точки В, С и опускают из S перпендикуляр SD на ВС. Искомая прямая x параллельна SD (рис 16).

4. Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку.

Проводя параллели, строят ==и помещают затем угол в плоскости чертежа так, чтобы катеты его проходили через C и D, а вершина его лежала на g (рис.17).

В. Произвольный угол  

1. Провести параллельную прямую; (решение непосредственно усматривается из рисунка 18).
2. Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей;

Рисунок 19 показывает как с помощью подвижного угла α утроить отрезок АВ: прикладывая угол α к точкам А и В, определяют точку P, проводят через неё параллель к АВ и строят затем точки P',C,P'',D. Рисунок 20 показывает, как разделить отрезок АВ пополам. Деление отрезка на большее число частей выполняется как и на рисунке 7.

3. Провести взаимно перпендикулярные прямые; (решение непосредственно усматривается из рисунка 20).
4. Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Деление АSB пополам производится согласно рисунка 21 , причем предварительно делают =. Способ удвоения угла показывает рисунок 22. На стороне SА берут точку М и определяют затем с

помощью повторного прикладывания угла α точки O, N, P .

5. Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению; (разрешается непосредственно) (рис. 23).

Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку; определяют, согласно чертежа 23 , точки C, D и E; затем помещают угол α в плоскости чертежа так, чтобы его стороны проходили через Е и С, а вершина лежала на g. [15]

Глава II.  Методика решения задач на построение

§1 Характеристика задач на построение

1.1 Задача на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд заданными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

 Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение – значит свести её к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений и ход решения существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами А и В.

Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.

Легко убедиться, что АО=ОВ, т.е. точка О искомая.

Нетрудно усмотреть, что точка Х расположена на прямой АВ.

Кроме того, треугольник АМХ подобен треугольнику АЕМ, т.к. они равнобедренные и имеют общий угол МАЕ при основаниях. Поэтому АХ:АМ=АМ:АЕ или АХ:АВ=АВ:2АВ, так что АХ=АВ и, значит, точка Х искомая.

3. Двусторонней линейкой (рис.26).

Строим последовательно:

1. Прямую АВ
2. Прямую a, параллельную АВ и проходящую на расстоянии h от неё
3. Прямую b, параллельную a, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой АВ

Так как DЕ – средняя линия треугольника АСВ, то АЕ и ВD – его медианы, а значит и СP – медиана, так что точка X искомая.

4. Прямым углом (рис.27).

1) Строим прямую АВ

2) Проводим прямые АА и ВВ', перпендикулярные прямой АВ

3) Выбираем на АА' произвольную точку С, отличную от А

4) Через точку С проводим СС' АС

Точка X искомая.

Может оказаться, что какая-либо задача на построение имеет несколько решений, т.е. существует несколько различных фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Решить задачу на построение – значит найти все её решения.

Различия в положении на плоскости принимается или не принимается в расчет в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое расположение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур.

Если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе). При этом даже равные фигуры, но различно расположенные относительно данных фигур, рассматриваются как различные решения данной задачи.

Встречаются задачи, имеющие бесконечно много решений. Таковы, например, задачи: построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой; построить прямую, касательную к данной окружности; построить окружность, проходящую через две данные точки. Такого рода задачи называют неопределёнными.

Решение неопределённой геометрической задачи ищется в своего рода параметрической форме. Указывается приём построения фигур, удовлетворяющих условиям задачи, причём эти фигуры определяются выбором положения одной или нескольких произвольных точек на некоторых данных или построенных фигурах. Эти точки играют роль «геометрических параметров». Задача считается решённой, если при всевозможных допустимых положениях произвольных точек возникают все фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Может оказаться, что фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами, вовсе не существует. Так, например, нельзя построить окружность, вписанную в данный прямоугольник, если он не является квадратом, нельзя построить общую касательную к двум концентрическим окружностям. Может случиться также, что решение задачи существует, но не может быть найдено данными средствами. Например, нельзя построить прямую, соединяющую две данные точки, располагая только циркулем, или провести окружность, проходящую через три данные точки, располагая только линейкой. Во всех этих случаях решить задачу на построение – значит доказать, что искомая фигура не существует или, соответственно, что она не может быть построена данными средствами.

Иногда задача не имеет решений потому, что на искомую фигуру наложено слишком много условий. Например, нельзя построить окружность, проходящую через четыре заданные точки, или построить треугольник, зная три его стороны и один из углов. Задачи такого рода называют переопределёнными. [19]

1.2 Элементарные геометрические задачи на построение

Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются преимущественно в первых главах школьного курса геометрии. Их называют элементарными геометрическими задачами на построение. Список элементарных задач является условным. К числу элементарных задач относят обычно следующие:

1. Деление данного отрезка пополам.
2. Деление данного угла пополам.
3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.
4. Построение угла, равного данному.
5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.
6. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.
7. Деление отрезка в данном отношении.
8. Построение треугольника по трём сторонам.
9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
10.  Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
11.  Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности.
12.  Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Решения этих задач можно найти в школьном учебнике геометрии. В дальнейшем будем пользоваться этими решениями без дополнительных разъяснений. [18]

1.3 Этапы решения геометрической задачи на построение

Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи на построение является вполне доброкачественным, если оно проведено по следующей схеме:

1. Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.
2. Для каждого случая даётся ответ на вопрос, имеет ли задача решения и сколько.
3. Для каждого случая, когда задача имеет решение, даётся способ нахождения (с помощью различных геометрических инструментов) каждого возможного решения или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

При решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих этапов:

• анализ
• построение
• доказательство
• исследование.  

Эта схема не является, безусловно, необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Однако по большей части указанная схема помогает при решении конструктивных задач.

Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, т.к. именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки». Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нём указанные в задаче линии.

В общем случае рассуждения ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение которой уже известно.

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1. Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
2. Если  по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём.
3. В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходными с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.
4. Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1. всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
2. можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
3. сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Рассмотрение этих вопросов и составляет исследование. Т.о, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами. [3]

1.4 Методические рекомендации по обучению решению задач на

      построение

При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.

Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотливой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение – совершенно новый для учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода  решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.

Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.

Также возникает проблема: как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение. Здесь возникает два различных методических вопроса [10]. Первый из них — это вопрос о том, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.

Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных операций. Здесь имеется в виду само описание процесса употребления инструмента (“прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О” и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются (“описываем из точки О окружность радиусом MN” или “опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ”). Наконец, последней ступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могут называться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи (“строим треугольник по гипотенузе и катету”, “проводим из точки М касательную к окружности” и т. п.).

Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбрать исследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ли выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова “найти точку” обозначают требование “найти все точки, которые...” (а не просто “какую-либо точку, которая...”). Аналогично “решить уравнение” значит “найти все числа, которые удовлетворяют уравнению” (а не просто “какое-либо число, которое...”). “Построить окружность” – это “построить, все окружности, которые...” (а не просто “построить какую-либо окружность, которая...”) и т. д.

Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) – первый случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как “зачем при извлечении корня брать оба знака”. Сам термин “исследование” должен появиться много раньше, чем, скажем, термин “анализ”.

Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементами исследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такие задачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет ли построенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нет большой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется, оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.

Наконец, последним по времени элементом решения, на котором фиксируется внимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считать обращение к ученикам, “придумавшим” то или иное решение задачи, с вопросом: “А как ты это решение нашел?”. Потом постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.

Из выше сказанного следует, что в деле введения понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Перейдем теперь ко второму вопросу – о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебного года, с начала курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколько дольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементами общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель на примере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им чем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: “Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них”.

Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольников является искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений в оформлении решений они не испытывают.

Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.

При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: “Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям”.

После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство – когда в нем есть необходимость.

Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

Остановимся более подробно на рассмотрении этапа “исследование”. Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения.

Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: “Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними” допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.

Рассмотрим задачу: “Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой”. В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0<ℓ<∞.

Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например: “Построить окружность, проходящую через три данные различные точки”. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

Переходим теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: “А что будет, если…”, придумывая те или иные “если” более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.

Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании. [18]

§ 2. Основные методы решения задач на построение

 2.1. Общее понятие о точечных преобразованиях фигур

Пусть Ф  некоторая фигура, расположенная в плоскости. Пусть установлено некоторое правило, в силу которого каждой точке М фигуры Ф ставится в соответствие некоторая определённая точка М΄ той же плоскости. Тогда говорят, что в плоскости установлено преобразование фигуры Ф. При этом точка М΄ называется образом точки М, а точку М называют прообразом точки М΄. Совокупность всех точек, соответствующих точкам данной фигуры Ф, образует некоторую фигуру Ф΄, которая называется образом данной фигуры; при этом первоначальную фигуру называют прообразом фигуры Ф΄.

Фигура Ф может быть, в частности, всей плоскостью.

Указанное выше правило соответствия может быть задано в словесной форме или осуществляться в форме определённого геометрического построения, или формулироваться аналитически.

Преобразование, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие эта же точка, называют тождественным преобразованием плоскости.

 Преобразование фигуры называется взаимно однозначным, если каждая точка фигуры-образа имеет только один прообраз.

Среди взаимно однозначных преобразований особую роль играют движения.

Движением на плоскости называют в геометрии всякое преобразование, обладающее следующим свойством: если А и В – две произвольные точки фигуры Ф, преобразующие соответственно в точки А΄ и В΄, то АВ и А΄В΄ равны между собой.

Две произвольные фигуры принято называть равными, если существует движение, преобразующее одну из них в другую, так что всякое движение преобразует каждую фигуру в равную ей фигуру.

Применение преобразований к геометрическим построениям часто называют в теории геометрических построений методом геометрических преобразований. Идея метода геометрических преобразований состоит в том, что искомую или данную фигуру преобразуют так, чтобы после этого построение стало проще или даже непосредственно привело к какой-либо элементарной задаче. [1]

2.2 Метод параллельного переноса

Пусть на плоскости задан некоторой вектор ≡.

Параллельным переносом фигуры Ф на вектор  называется такое преобразование фигуры Ф, при котором каждой точке М этой фигуры ставится в соответствие точка М΄ плоскости, что выполняется условие: =.                      

                                                              О'                 М'

                                             О                М

Сущность метода параллельного переноса для геометрических построений состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или из частей путём переноса на некоторый вектор. Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур. Особенно часто, этим методом пользуются для построения многоугольников; когда среди искомой фигуры есть элементы, расположенные на параллельных прямых и находящиеся друг от друга на определённом расстоянии. [19]

2.3 Метод поворота или вращения

Метод поворота или вращения используется в тех случаях, когда среди данных задачи имеется определённый угол с вершиной в некоторой точке. Поворачивая всю искомую фигуру или часть её вокруг этой точки на выделенный угол, мы получаем возможность увеличить число известных элементов фигуры. Обычно это помогает успешно продолжить решение задачи. [1]

плоскости около точки О на угол α. Точка О называется центром вращения, угол α – углом поворота. [4]

2.4 Метод осевой симметрии

фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой s, называется осевой симметрией или отражением в прямой s. Прямая s называется при этом осью симметрии.

Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки. [4]

2.5 Метод ГМТ

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путём указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т.п.

Если фигура задана путём указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством (ГМТ).

Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное геометрическое место точек, называется характеристическим свойством точек этого геометрического места.

Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например окружность - в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола – в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как ГМТ.

ГМТ может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что ГМТ, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.

Не следует смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.

В анализе решения задачи на нахождение ГМТ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающими из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Анализу способствует рассмотрение какого-либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих ГМТ. В результате анализа приходим к предположительному решению задачи, которое требует ещё обоснование, т.е. доказательства.

В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предположений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим  свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предположения 2) может быть заменено доказательством следующего предположения 2΄): если какая-либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.

Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представиться при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.

Многие ГМ точек удобно использовать в процессе решения задач на построение. Для этого необходимо знать эти множества и уметь их строить. ГМТ могут иметь несколько характеристических свойств, каждое из которых можно использовать для определения и построения самого множества. Рассмотрим наиболее часто используемые геометрические места точек плоскости:

1. ГМ точек, удаленных от некоторой точки О на расстоянии r, есть окружность с центром в точке О и радиусом r.
2. ГМ точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.
3. ГМ точек, удаленных от данной прямой на расстояние a, есть совокупность точек двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на расстоянии а.
4. ГМ точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и отстоящая от них на одинаковом расстоянии.
5. ГМ точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть

совокупность точек двух прямых, содержащих биссектрисы четырёх углов, образованных при пересечении данных прямых.

6. ГМ точек, равноудалённых от сторон угла АОВ, указано на рис.8 

     Оно состоит из точек биссектрисы ОМ и точек плоского угла LON, где  

    луч OL перпендикулярен стороне ОА, а луч ON перпендикулярен

    стороне ОВ.

7. ГМ точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом α, состоит из двух дуг с концами в точках А и В, симметричных относительно прямой АВ, причем точки А и В этому ГМ точек не принадлежат. Способ построения этого множества указан на рис. 9.

8. ГМ точек, из которых данная окружность радиуса r видна под данным углом α, является окружностью, концентрической с данной окружностью, и с радиусом R=r/sin. (Рис.30) 

9.  ГМ середин равных хорд данной окружности есть окружность, концентрическая с данной окружностью и касающаяся этих хорд (рис.31). 
10.  ГМ середин хорд, проведенных в данной окружности из одной точки, есть окружность, построенная на соответствующем радиусе как на диаметре (рис.32).
11.  ГМ точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная к², является окружностью. Центром этой окружности служит середина отрезка АВ, а диаметр равен √2к²-а, где а – длина отрезка АВ.
12.  ГМ точек, для которых разность квадратов их расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная а², есть прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через точку прямой, для которой это соотношение выполняется (рис.33).
13.  ГМ точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек равно m:n=λ, где λ>0, λ=const и λ≠1, есть окружность (окружность Аполлония) (рис 34).

14. ГМ точек, отношение расстояний которых до данной точки А и данной прямой h есть величина постоянная, является коническим сечением.
15. Пусть а-данная прямая, S-центр пучка лучей, исходящих из этой точки. На каждом луче отметим точки, находящиеся на одинаковом расстоянии s от прямой а вдоль по лучу пучка. Множество этих точек называется конхоидой Никомеда.
16. Рассмотрим окружность, касательную к окружности в некоторой её точке А, пучок лучей с центром в точке окружности S, диаметрально противоположной к точке А. На каждом луче пучка SQ отложим отрезок SМ, равный отрезку РQ, где Р-точка пересечения луча с окружностью, а Q- с касательной в точке В. Множество полученных точек М называется циссоидой Диоклеса.

Известны многие другие множества точек, обладающие интересными геометрическими свойствами. [1]

2.6 Метод подобия или гомотетии

Пусть на плоскости задана некоторая точка S и, кроме того, задано действительное число k, неравное нулю.

Гомотетией с центром в точке  S и коэффициентом k называется такое преобразование фигуры, при котором:

1. Каждой отличной от S точке P этой фигуры сопоставляется такая точка P΄, что:

а) точки S, P и  P΄ лежат на одной прямой;

     б) длина отрезка S P΄ в  раз больше длины отрезка SP, т.е. SP΄=∙SP;

     в) отрезки SP΄ одинаково направлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

2. Точке S сопоставляется эта же точка.

Рассмотрим некоторые частные случаи гомотетии.

1. k=1. В этом случае , т.е. точка P΄ совпадает с точкой P (при любом выборе P). Иными словами, каждая точка плоскости преобразуется в себя. Таким образом, при k=1 гомотетия представляет собой тождественное преобразование плоскости.

2. k=-1..Точка P΄симметрична точке P относительно центра гомотетии. В этом случае гомотетия является симметрией относительно точки S.

 Наглядно можно представить гомотетию при k>0 как растяжение плоскости от точки S, а при 00 и обратной при k<0. В случае прямой гомотетии точка и её образ располагаются по одну сторону от центра, в случае обратной гомотетии – по разные стороны.

Если существует гомотетия, преобразующая данную фигуру Ф в некоторую другую данную фигуру Ф΄, то эти фигуры называют иногда перспективно-подобными или подобными и подобно-расположенными, а центр гомотетии называется центром подобия этих фигур. В случае, когда каждая точка фигуры Ф и соответственная ей точка фигуры Ф΄ располагаются по одну сторону от центра подобия, центр подобия называется внешним. Если же соответственные точки перспективно-подобных фигур располагаются по разные стороны от центра подобия, то центр подобия называется внутренним.

 Метод подобия или гомотетии используется в тех случаях, когда данные условия задачи можно разделить на две группы; при этом первая группа данных условий определяет форму искомой фигуры, а вторая группа – размеры фигуры. Метод подобия находит применение обычно в тех случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные – либо углы, либо отношения отрезков.

Метод построения заключается в следующем. В начале, по данным условиям первой группы строят любую фигуру, отвечающую требованиям этой группы. Затем с помощью гомотетии на основе данных условий второй группы изменяют размеры фигуры так, чтобы получилась фигура, обладающая нужной формой и размерами. [3]

2.7 Алгебраический метод

Пусть даны на плоскости отрезки , ; a,b,c,…,l – их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок , длина которого при той же единице измерения выражается через длины a,b,c,…,l данных отрезков заданной формулой: Y=f(a,b,c,…,l).

Результат построения отрезка, длина которого является функцией от длин данных отрезков, не будет зависеть от выбора единичного отрезка тогда и только тогда, когда для этой функции выполняется условие f(ka, kb, kc,…, kl)= k f(a,b,c,…,l). Функцию, удовлетворяющую этому условию, называют однородной функцией первого измерения.

Пользуясь понятием однородной функции, выделяют некоторые классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Построение этих выражений производится с помощью основных построений, которые либо очевидны, либо легко прослеживаются по приведенным рисункам:

 К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами. В общем, отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции извлечения квадратного корня, всегда можно построить с помощью циркуля и линейки.

Особенностью использования алгебраического метода решения задач на построение является следующее. Среди неизвестных элементов искомой фигуры выбирают отрезок, имеющий ключевое значение для построения искомой фигуры. Длину этого отрезка с помощью соответствующих теорем выражают через длины известных отрезков. Затем отрезок строят по найденной формуле. Построенный отрезок присоединяют к данным элементам фигуры и заканчивают решение задачи. [1]

§ 3. Применение метода ГМТ при решении задач на построение

3.1 Методические рекомендации по методу ГМТ

 Понятие «геометрическое место точек», являющееся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементарной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение решения для многих практических задач. Например, для решения задач на сопряжение окружностей и прямых, с которыми учащиеся встречаются довольно часто на уроках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготовлении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места.

Следует учитывать, что понятие «геометрическое место точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.

Понятие ГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники” ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).

Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию – она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.

Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе. [18]

3.2 Программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме

      “Задачи на построение и методы их решения”

Программа рассчитана на 6 часов. Занятия проводятся по 1 часу.

Цели факультативного курса:

1. Сформировать у учащихся представление о методе ГМТ, используемом при решении задач на построение, и научить его применять.
2. Сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение.
3. Способствовать развитию конструктивных способностей учащихся.
4. Сформировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение задач.
5. Развить математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Занятие №1

Тема: ГМТ. Метод ГМТ.

Тип: урок изучения нового материала

Цели:

1) образовательные: повторить ранее изученный геометрический материал по теме решение задач на построение, сформировать у учащихся понятие геометрического места точек, сформировать представление о методе ГМТ, научить применять метод ГМТ при решении задач на построение, сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение;

2) воспитательные: воспитать умение проводить анализ, исследование задачи, умение видеть решение, формировать грамотность речи;

3) развивающие: развить умение применять метод ГМТ для других задач.

Этапы:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

4. Решение задач

5. Подведение итогов.

Ход факультативного занятия:

1. Организационный момент

Как вы уже поняли из анкеты, задачи на построение можно решать различными методами: методом геометрических мест точек, подобия, осевой симметрии, центральной симметрии, поворота, параллельного переноса, алгебраическим методом. Сегодня на уроке мы введем понятие ГМТ и рассмотрим в чем заключается метод ГМТ. Запишите тему урока: “ГМТ. Метод ГМТ”.

2. Актуализация знаний

Вы изучали геометрические построения на протяжении 7 и 8 классов. Вспомните, какие построения вы выполняли? Таким образом, вы знаете как выполнить построение:

1. отрезка, равного данному;
2. угла, равного данному;
3. биссектрисы угла;
4. перпендикулярных прямых;
5. середины отрезка;
6. треугольника по трем сторонам;
7. деление отрезка на n равных частей.

3. Изучение нового материала

Также вы строили серединный перпендикуляр к данному отрезку. Как вы это делали? (чертеж на доске)

Наверняка вы говорили о том, что на серединном перпендикуляре к данному отрезку находятся все точки, которые равноудалены от концов отрезка.

Говорят, что серединный перпендикуляр – это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Геометрическим местом точек плоскости, обладающих данным свойством, называется множество всех точек плоскости, каждая из которых обладает этим свойством (запись определения в тетради).

Рассмотрим еще некоторые основные геометрические построения (раздаточный материал):

I. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (окружность).

II. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой (пара параллельных прямых).

III. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (серединный перпендикуляр к отрезку)

IV. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия — во втором).

Существуют также более сложные ГМТ, которые используются при решении задач (раздаточный материал):

1) Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

2) Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

3) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

4) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

5) Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

6) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

7) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.

8) Геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.

9) Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

10) Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

11) Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

12) Геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равных окружностей.

13) Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.

14) Геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Теперь вспомните, как вы строили треугольник по трем сторонам (чертеж на доске).

Какие ГМТ здесь используются? Их пересечение дает нам третью вершину искомого треугольника. Оказывается, что при решении данной задачи вы использовали метод ГМТ.

Суть метода ГМТ заключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, которая определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.

Допустим, геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F1, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F2. Тогда каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построение треугольника по трем сторонам.

Таким образом, задача не будет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столько решений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест (показать на том же примере).

4. Решение задач

1) Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию (пересечение ГМТ №1 и №2).

2) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности (пересечение ГМТ №9 и описанной окружности, центр которой – ГМТ №11).

3) Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки (пересечение ГМТ №3 и №3).

5. Подведение итогов

Итак, что вы узнали на сегодняшнем занятии? Сформулируйте понятие ГМТ. В чем заключается метод ГМТ? Какие существуют этапы решения задач на построение? Раскройте суть каждого из этапов.

Домашнее задание: 1) Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. 2) Постройте ромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках А и В и третья на данной окружности О. 3) Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них – в данной точке.

Рекомендуемая литература: [7], [16], [17].

Занятие №2

Тема: Применение метода ГМТ к решению задач на построение.

Цели: Научить применять метод ГМТ к решению задач на построение.

Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых используется более сложные геометрические места точек.

Рекомендуемая литература: [7], [16], [17].

Занятие №3

Тема: Подобие. Метод подобия.

Цели: Повторить тему подобия фигур, сформировать понятие о методе подобия при решении задач на построение.

Краткое содержание: рассмотрение случаев, когда задача на построение решается методом подобия, суть метода подобия, решение задач, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, различные случаи выбора центра подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №4

Тема: Применение метода подобия к решению задач на построение.

Цели: Научить применять метод подобия к решению задач на построение.

Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, суммы или разности отрезков.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №5

Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.

Цели: Научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.

Краткое содержание: Решение задач на применение различных методов: ГМТ и подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №6

Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.

Цели: Научить применять методы ГМТ и подобия к решению более сложных задач на построение, научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.

Краткое содержание: Решение более сложных задач на построение на применение различных методов: ГМТ и подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Заключение

Изучив и проанализировав учебно-методическую и научную литературу, были выполнены следующие задачи:

• Описаны основы геометрических построений.
• Рассмотрены построения с помощью циркуля и линейки, одним циркулем, одной линейкой, линейкой о двух параллельных краях, прямым углом.
• Дана характеристика задач на построение.
• Рассмотрены основные методы решения задач на построение.

В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника.

Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на построение показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.

Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

Кроме того, отметим, что:

1. необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством математического развития учащихся;
2. геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.

Список использованной литературы

1.  Адлер А. Теория геометрических построений, М:Учпедгиз,1940
2.  Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение, М:Учпедгиз,1950
3. Аргунов Б.И. и Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости, М: Учпедгиз,1957
4. Белошистая А.В. задачи на построение в школьном курсе геометрии. «Математика в школе», 2002, №9.
5. Болодурин В.С., Вахмянина О.А. Учебное пособие, Оренбург:ОГПУ, 1998
6. Воронец А.М. Геометрия циркуля, М:ОНТИ, 1934
7. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996
8. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995.
9. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004.
10. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.
11. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992.
12. Глаголев Н.А. Сборник геометрических задач на построение, М, 1930.
13.  Зетель С. Геометрия линейки и геометрия циркуля, издательство АПН, 1950.
14. Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем, М:Наука,1989
15. Никулин Н.А. Геометрические построения с помощью простейших инструментов, М:Учпедгиз, 1947.
16.  Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. – М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.
17.  Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991
18. Четверухин Н.Ф. Вопросы методологии и методики геометрических построений, АПН, 1946.
19. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений, Учпедгиз,1952.

Приложение 1

Задачи к § 2. Основные методы решения задач на построение

2.2 Метод параллельного переноса

Задача  1. Даны две окружности ω(S,), ω(O, ) и прямая g. Требуется провести общую секущую этих окружностей параллельно прямой g так, чтобы сумма длин, полученных хорд, была равна длине данного отрезка m.

Анализ. Пусть . Предположим, что прямая АD дает решение. Тогда АD параллельно g и АВ+СD=m. Перенесем ω(O, ) параллельно на вектор СВ, получим окружность ω(O*, ). Пусть R образ точки D при этом переносе, тогда АВ+ВR=m. Опустим из точек S и O* перпендикуляры SM и O*N на прямую АD. Тогда MN=MB+BN=½AR=½m=LO*. Последнее соотношение подсказывает путь решения задачи. Нужно провести через точку О прямую параллельно прямой g, опустить на неё перпендикуляр из точки S, затем от точки L на этой прямой отложить отрезок LO*=½m и провести окружность с центром в точке O* и радиусом  . Прямые, проходящие через точки пересечения окружностей ω(S,), ω(O,) параллельно прямой g будут искомыми прямыми.

Построение:

 1. прямая OL, параллельно прямой g через точку O;

 2. перпендикуляр к прямой OL из точки S;

 3. точка L как точка пересечения перпендикуляра с прямой OL;

 4. отрезок LO*=½m на прямой OL от точки L;

 5. окружность с центром в точке O* и радиусом ;

 6. точка В как точка пересечения окружностей ω(S,), ω(O, );

 7. прямая АD через точку В параллельно прямой g.

                                                                       m                                g

                                          A       M          B          R      C           D

                                                     L              N                    

                                                                        O*                  O

                                                      S              

                                                                     B*      Рис.36

 Доказательство. По построению прямая АD параллельно прямой OL, поэтому LO*=½m=MN=½(AB+BR). Отсюда  АВ+ВR= АВ+СD=m и прямая АD – искомая прямая.

Исследование. Первые три пункта выполняются однозначно. Отрезок LO*=½m можно отложить от точки L на прямой OL двумя способами. Поэтому можно построить две окружности с центрами в точках О и О* и радиусами . Эти окружности будут симметричными относительно прямой SL, точки пересечения их исходной окружностью ω(S,) будут определять одинаковые решения. Существование решений и их количество зависят от выполнения шестого пункта. Обозначим через p расстояние от точки S до прямой OL. Тогда отрезок SO* будет равен . Условия пересечения окружностей ω(S,), ω(O, ) примут вид:  . В случаях знака равенства окружности имеют одну общую точку. В этом случае существует одна прямая, дающая решение. При выполнении условий неравенств получаются две точки пересечения. Соответственно имеем две прямые, определяющие решения (рис 36). [5]

2.3 Метод поворота или вращения

Задача 2. Даны три параллельные прямые, построить равносторонний треугольник с вершинами на этих прямых (рис 37).

Анализ. Предположим, что задача решена и треугольник АВС- искомый. Тогда каждый угол треугольника равен 60º. Примем вершину А треугольника за центр и повернём плоскость на угол в 60º против часовой стрелки. Т.к. отрезок АВ равен отрезку АС, то точка В перейдет в точку С, при этом образ прямой b пересечет прямую c в точке С. Этот факт подсказывает способ решения задачи. 

Построение: 1. произвольная точка А прямой а;

2. прямая b* как образ прямой b при повороте плоскости вокруг точки А

 принадлежат данным параллельным прямым, то этот треугольник искомый.

Исследование. Пункты 3,4,5 выполняются однозначно. Число решений зависит от выполнения пункта 2. Прямую b можно поворачивать вокруг точки А по часовой стрелке и против часовой стрелки. Поэтому с каждой точкой А прямой а  связаны два треугольника, являющиеся решениями. Эти треугольники равны, но имеют разное положение относительно данных прямых. В этой задаче их необходимо считать различными решениями. Т.к. все три данные прямые а,b,c равноправны, то выбор точек на прямых b,c в качестве новых центров поворота не даст новых решений. [8]

2.4 Метод осевой симметрии

Задача 3. Даны прямая а и точки М и N по одну сторону от неё. Найти на прямой точку X так, чтобы длина ломаной MXN была минимальной.

будет точкой пересечения прямых а и MN*.

Построение: 1. точка N*- симметричная точке N относительно прямой а;

                      2. точка X=MN*∩ а.

Доказательство. Пусть точка О- произвольная точка прямой а, то длина

ломаной MXN равна длине отрезка MN*, а длина ломаной MON равна длине ломаной MON*. Для треугольника MON* справедливо неравенство МО+ ON*> MN*. Отсюда МО+ ON>MX+XN. Поэтому точка X- искомая точка.

Исследование. Все пункты выполняются однозначно. Использование точки, симметричной точке М, новых результатов не даёт. Задача имеет единственное решение. [9]

2.5 Метод геометрических мест точек

Задача 4. Найти ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Анализ. Пусть АВ- данный отрезок, α- данный угол. Если М – точка искомого ГМТ, то АМВ= α по условию. Проведём окружность через три точки А,М,В, которые не лежат на одной прямой, если 0°‹ α‹180°. Тогда для всякой точки М' дуги АМВ этой окружности (кроме точек А и В) АМ'В также равен α, т.е. каждая точка этой дуги также принадлежит искомому ГМТ. Кроме того, все точки (кроме А и В) дуги АNВ, симметричной с дугой АМВ относительно прямой АВ, обладают тем же свойством и поэтому принадлежат тому же ГМТ.

Доказательство. Чтобы доказать, что фигура Ф, составленная из двух симметричных дуг окружностей, проходящих через точки А и В, действительно представляет искомое ГМТ, осталось рассмотреть точки, не принадлежащие этой фигуре. Если точка Р лежит в области, ограниченной фигурой Ф, то, проведя луч АР (или ВР) до встречи с фигурой Ф в точке Q, заметим, что АРВ›АQВ=α. Если же избрать точку Р вне указанной области, то получим противоположный результат: АРВ‹ α.

Итак, ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, представляет собой соединение двух дуг окружностей, проходящих через концы данного отрезка и расположенных симметрично по отношению к этому отрезку. Точки А и В не следует причислять к этому геометрическому месту, т.к. при совпадении точки М с каким-либо концом отрезка АВ АМВ становится неопределённым.

Исследование. Если угол α прямой, то фигура Ф обращается в окружность с диаметром АВ (без концов этого диаметра). Если угол α равен нулю, то искомым ГМТ является разность прямой АВ и отрезком АВ. Если угол α равен 180°, то искомое ГМТ –интервал АВ.

Построение фигуры Ф по данному отрезку АВ и углу α показано на рисунке  9. [10]

2.6 Метод подобия или гомотетии

Задача 5. Построить ромб по данному периметру р и данному отношению диагоналей m:n.

Анализ. Рассматривая условия задачи, замечаем, что слова «ромб», «отношение диагоналей» определяют форму фигуры, а слово «периметр»-размеры фигуры. Учитывая, что диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, нетрудно построить ромб с данным отношением диагоналей. Применив далее гомотетию, получим искомую фигуру.

Построение: 1. ромб АВ*C*D*, диагонали которого равны m и n соответственно;

2. точки T и T* на луче АС*, где АТ=p, АТ*=АВ*+В*С*+С*D*+D*A;

3. четырёхугольник АВСD как образ ромба АВ*С*D* при гомотетии с центром в точке А и соответственными точками Т и Т* (рис.39).

                                                         B

                                          В*

                                 A         n

                                            m                C*   C                 T*      T

                                                 D*

                                                      D

Рис.39

Доказательство. Гомотетия сохраняет форму фигуры, поэтому четырёхугольник АВСD, являющийся образом ромба АВ*С*D* при гомотетии, есть ромб с аналогичным отношением диагоналей. Периметр ромба АВСD равен длине отрезка АТ=p, поэтому этот ромб является искомым.

Исследование. Все пункты построения выполняются однозначно. Задача имеет единственное решение при данном способе решения. Т.к. все ромбы с равными отношениями диагоналей и одинаковыми периметрами равны, то другие способы решения не приведут к новым решениям. [11]

2.7 Алгебраический метод

Задача 6. Через данные точки M и N провести окружность ω, касающуюся данной прямой l.

Анализ. Пусть Y- точка пересечения прямых MN и l, а точка X- точка касания окружности и прямой l. Тогда MY·NY=XY², откуда следует, XY=. Откладывая отрезок XY на прямой l, строим точку X. Зная положение трёх точек окружности M,N, X легко построить всю окружность.

Исследование. При выполнении первого пункта возможны два случая. Если прямая MN параллельна прямой l, то точки пересечения не существует. Для нахождения решения в этом случае нужно построить серединный перпендикуляр отрезка MN и затем провести окружность через точку пересечения этого перпендикуляра с прямой l и точки M и N. Задача имеет в этом случае одно решение.

Если прямая MN не параллельна прямой l, то существует одна точка Y и единственным образом находятся отрезки MY и NY. Пункт второй в этом случае выполняется однозначно. Так как на прямой l от точки Y отрезок m отложить можно двузначно, то существуют две окружности, дающие решения. [5]