Циклические уравнения и системы.

Реферат

Дипломная работа содержит 40 страниц, 1 рисунок, 20 примеров, 11 использованных источников.

УРАВНЕНИЕ, СИСТЕМА, ЦИКЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, МОНОТОННОСТЬ, ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ, ВЫПУКЛОСТЬ.

Объектом исследования является процесс применения свойств функций при решении циклических уравнений и систем.

Цель работы – разобрать методы решения циклических уравнений  и систем, построить систему задач.

В процессе работы использовалась научная, учебная и методическая литература.

В результате исследования подобрана конкретная система задач  и разработаны приемы решения уравнений.

Степень внедрения – частичная.

Область применения – в практике работы учителя в классах с углубленным изучением математики.

Эффективность – повышение качества знаний и уровня понимания математики у учащихся.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        5

1. Уравнения  и близкие к ним        7

1. Об одной олимпиадной задаче        21

2.        Уравнения вида         28

3.        Уравнения вида         31

4.        Циклические системы уравнений        37

Заключение        42

Список использованных источников        43

Введение

Основной особенностью современного развития школьного математического образования является обеспечение базовой математической подготовки всех школьников, формирование у учащихся интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей.

Расширение школьного курса по математике не всегда дает положительные результаты. Нестрогое изложение отдельных разделов высшей математики может привести к неверному пониманию учащимися математических методов и идей. Поэтому в школах с математическим уклоном нет смысла поверхностного изучения дополнительных разделов. Для учащихся этих школ гораздо полезнее более глубоко рассмотреть идеи и методы элементарной математики, создающие прочный фундамент для изучения высшей математики. А поскольку одной из основных ее идей является идея функции, то имеется необходимость усвоения учащимися функциональных подходов при решении задач.

В научной литературе много говорится о важности применения функционального подхода при решении различных задач элементарной математики, в том числе и уравнений. Уравнения и неравенства, составляющие значительную часть школьного курса математики, неразрывно связаны с функцией. Одна из важнейших связей – в подходящих случаях использование свойств функций при изучении уравнений.

Однако, идея функционального подхода не полностью реализована. Не достаточно разработаны методы решения различных классов уравнений, отсутствуют целостные системы задач, позволяющей осуществлять их отбор и составление, способствующей организации учебно-познавательной деятельности.

Этой проблеме и посвящена данная дипломная работа, основная цель которой – разобрать методы решения циклических уравнений  и систем, построить систему задач.

В первой главе  работы излагаются методы решения уравнений вида

и близкие к ним уравнения, где левая часть уравнения является п – кратной суперпозицией функции 

Во второй главе рассматриваются нестандартные методы решения систем уравнений

где левая часть уравнения является п – кратной суперпозицией функции и

В третьей главе приведены уравнения вида

где функция, стоящая в левой части уравнения, является результатом n - кратной суперпозицией функции  (по ) и подстановки вместо переменной у функции . 

В четвертой главе излагаются приемы решения циклических систем уравнений.

При составлении уравнений использовалась доступная литература, в которой затрагивались геометрические и функциональные приемы решения уравнений ([1]-[11]), были использованы конкурсные задачи, опубликованные в журналах “Квант” и “Математика в школе”.

1.Уравнения  и близкие к ним

В этой главе будут изучаться приемы решения уравнений

                                             (1)

где — n–кратная суперпозиция функции , и близкие к ним  по конструкции. Уравнения такого вида достаточно часто встречаются среди олимпиадных и конкурсных задач разного уровня и требуют не стандартных

приемов решения.

Вместе с уравнением (1) рассмотрим уравнения

                                                (2)

и  

                     (3)

 Рассмотрим утверждения, связывающие между собой уравнения (1) и (2).

Утверждение 1. Уравнение (1) является следствием уравнения (2).

Действительно, пусть – корень уравнения (2). Тогда  и, значит,

.

Утверждение 2. Если либо  при всех x из ОДЗ уравнения (1),

либо  при всех x из ОДЗ уравнения (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

В самом деле, в силу утверждения 1, достаточно убедиться, что корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2). Допустим, что  при всех x из ОДЗ уравнения (1), – корень уравнения (1). Предположим, что  не является корнем уравнения (2), тогда .

 Поэтому

.

 Это означает, что не является корнем уравнения (1). Получим противоречие. Следовательно, является корнем уравнения (2). Аналогично рассматривается случай, когда .

Утверждение 3. Если функция  при  некотором,  а удовлетворяет одному из условий:

1.  

2.    

3.  

то уравнения (1) и (2) равносильны.

Докажем утверждение 3.

Пусть выполнено условие 1 утверждения 3. Достаточно убедится, что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Допустим, что это не так. Тогда найдется такое решение  уравнения (1), что . Поэтому, для

справедливо одно из неравенств, Предположим, что верно первое неравенство. Из условия 1 следует, что > α и, значит, . Повторно применяя условие 1, получим:

Из последней цепочки неравенств, следует, что  не является решением уравнения (1). Получили противоречие. Точно к такому результату придем, если предположим, что. Поэтому уравнения (1) и (2) равносильны.

Аналогично доказываются части 2 и 3 утверждения 3.

Утверждение 4. Если функция является возрастающей, то уравнения (1) и (2) равносильны.

Докажем от противного.

Пусть, для определенности функция является возрастающей на промежутке Х и пусть для х0 из Х выполняется:  и , на пример.

Тогда имеем:

Получили противоречие.

Утверждение 5. Если функция  определена и непрерывна на промежутке и уравнение (2) не имеет решений, то и уравнение (1) их не имеет.

Если уравнение (2) не имеет решения на промежутке , то либо , при любом x из Х, либо , при любом x из Х. Пусть, для определенности , при любом x из Х. Предположим, что уравнение (1) имеете корень на X:  

Тогда имеем:

Полученное противоречие доказывает утверждение в случае  

(Аналогично рассматривается для ).

Как уже отмечалось, если функция  убывающая, то уравнения (2) и (3) вообще говоря, неравносильные. Однако справедливо следующее утверждение.

Утверждение 6. Пусть функция является убывающей.

Если n – нечетное число, уравнение (1) равносильно уравнению (2), если же n – четное число, то – уравнению (3).

Допустим сначала, что n – нечетное число. Убедимся, что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Предположим противное.

Пусть  решение уравнения (2) и f()* .Составим последовательность:

Ясно, что при . Поэтому . Кроме того, при любом натуральном p

и, значит, каждое  является решением уравнения (1). Заметим теперь, что ни одно число  не является решением уравнения (2). Действительно, если  при некотором p, то  и, значит, . Повторяя эти процедуры, получим, что . Но  и, следовательно,  что невозможно.

Предыдущее позволяет считать, что при любом p (если это не так, то выбрасывая первые члены последовательности и переномеровывая оставшиеся, легко добавится этого). Среди чисел могут быть и равные.  Пусть, например,  , где . Тогда

и, поэтому. Обозначим через , такое наименьшее натуральное число, что . По предположению. Убедимся, что  кратно . Допустим, противное. Тогда найдется натуральное число m такое, что . Поскольку:

то из предыдущих неравенств, следует . Это противоречит выбору . Тем самым доказано, что  кратно .

Так как по допущению  – нечетное число, то и  – такое же, причем не равное 1. Из предыдущего следует, что числа:

будут разные и , где . Функция  является суперпозицией четного числа убывающих функций и, следовательно, будет возрастающей. Тогда

Это противоречит выбору . Поэтому наше допущение о том, что уравнение (2) не является следствием уравнения (1), неверно. Тем самым доказано, что если  – нечетное число, то уравнение (1) и (2) – равносильны.

Пусть теперь  – четное число и . Тогда уравнение (1) можно записать так , где . Функция  является возрастающей (как суперпозиция двух убывающих функций) и, следовательно, по утверждению 5 уравнения  и – равносильны. Это означает, что уравнения (1) и (3) – равносильны.

Утверждение 7. Пусть функция определена и дифференцируема на интервале. Если или  при всех  из , или  при любых  из , то уравнение (1) и (2) – равносильны.

Убедимся, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Допустим противное. Как и при доказательстве предыдущего утверждения, построим совокупность разных чисел

Применим теорему Лагранжа о конечных приращениях к функции и  сегментам с концами в точках  и , и ,  и .

Получим

где  – некоторые точки из вышеперечисленных отрезков

соответственно.

 Из приведенных равенств, следует

.

Это противоречит условиям утверждения. Поэтому уравнение (2) – следствие уравнения (1).

С уравнением (1) естественным образом связаны система уравнений

                                                    (4)

и уравнение

                                            (5)

где – функция, обратная к .

Обратимся к примерам.

Пример 1. Решить уравнение

где знак деления повторяется  раз.

Решение. Пусть

Тогда – это левая часть уравнения. Разрешая уравнение относительно x, находим, что Следовательно, функция, обратная к – это правая часть уравнения. Поэтому уравнение имеет вид (5) и, значит, оно равносильно уравнению . Ясно, что функция – дробно–линейная. Суперпозиция дробно–линейных функций является дробно-линейной функцией. Поскольку  не является решением уравнения , то не совпадает с функцией . Отсюда получаем, что уравнение  и, следовательно, исходное уравнение не могут иметь более двух решений. Уравнения (2) в этом случае, запишется в виде

Это уравнение имеет два корня . По утверждению 1 эти числа являются корнями уравнения . Поскольку последнее уравнение не может иметь более двух корней, то его решение (и исходного уравнения) состоит из двух корней .

Обратимся к дополнительному примеру, используя утверждение 1.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Пусть

.

Как известно, суперпозиция двух дробно–линейных функций – есть снова дробно–линейная функция. Поэтому решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения. Причем .

Уравнение (2) такое

Его решение

По утверждению 1 эти числа решения уравнения

Тогда данная система имеет следующее решение

 и

Пример 3. Решить систему уравнений

Пусть

.

Так как функция  является нечетной и  если  то достаточно найти все решения, составленные из неотрицательных чисел. Пусть  Поскольку

при всех  из  (равенство достигается при ), то для любых  из  справедливо неравенство  Тогда выполнены условия утверждения (2). Поэтому на промежутке  уравнение (1) равносильно уравнению (2) , т.е  уравнению

На промежутке  это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений

Оба уравнения имеют один и тот же корень  Отсюда следует, что заданная система имеет единственное неотрицательное  решение  и, значит, она других решений не имеет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Решение. Ясно, что система имеет вид (4), причем

Решим уравнение  т.е уравнение

Если   записывается как

Оно имеет единственное решение . Причем, если  то  если же , то  Пусть  В этом случае заданное уравнение запишем так  и следовательно, имеет один отрицательный корень  Кроме того, очевидно, что  при  Отсюда ясно, что функция  удовлетворяет первому условию утверждения 3 при  и поэтому уравнение (1) в данном случае равносильно уравнению (2). Так как корнями уравнения (2) являются  и  то заданная система имеет два решения

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. Система имеет вид (4), причем

Очевидно, что если упорядоченный набор  будет решением системы, то  при всех  Поэтому можем считать, что  Тогда функция будет возрастающей и, следовательно, по утверждению 4 уравнение (1) в данном случае равносильно уравнению (2), т.е уравнению

Ясно, что – решение предыдущего уравнения. Поскольку функция  строго возрастающая  то других решений оно иметь не может. Отсюда следует , что заданная система имеет единственное решение: .

Обратимся к дополнительному примеру по использованию

утверждения 4.

Пример 6. Доказать, что при система уравнений

не имеет решений.

Решение. Если положим  где  то система уравнений примет вид . Из определения системы следует, что  при всех Ясно, что      

Поскольку при всех то функция является строго возрастающей. Так как то при любом  Отсюда следует, что функция  на промежутке  является строго возрастающей. Поскольку  то при всех Поэтому  при . Тогда по утверждению  решение системы сводится к решению уравнения на промежутке, т.е. к задаче:

Представим уравнение системы  в виде  Отсюда видно, что левая часть уравнения принимает положительные значения при , а правая часть – отрицательные значения. Поэтому уравнение решения не имеет. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений при

Приведем задачу, предложенную на Республиканской олимпиаде Украины в 1986 году, для учащихся 10 классов. Авторское решение этой задачи существенно отличается от предложенного решения.

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение.  Система имеет вид (4), при этом . Так как функция является возрастающей, то уравнение (1) в этом случае равносильно уравнению (2). Это уравнение записывается как . Его корнями будут числа , где . Поэтому .

Пример 8. Решить систему уравнений

Решение. Ясно, что если упорядоченная тройка  – решение системы, то и тройка  – тоже ее решение. Поэтому достаточно решить систему при: . В этом случае, систему можно записать в виде (4), если считать, что

.

Уравнение (2) при этом сводится к решению уравнения

которое не имеет решений. Тогда по утверждению 5 уравнение (1) их не имеет. Поэтому заданная система несовместна.

Пример 9. Решить систему уравнений для нечетных :

Решение. Система уравнений имеет вид при выборе:

Заметим, что  при любом . Поэтому, если система имеет решение, то оно составлено из положительных чисел. Пусть  Тогда Так как  при любом , то функция   является убывающей на . Следовательно, по утверждению 6 при нечетном  данная система уравнений равносильна следующей системе

 Решим уравнение  Имеем

Последнее уравнение на  имеет единственное решение  Отсюда следует, что решениями системы 

Обратимся к дополнительному примеру на утверждение 6.

Пример 10. Решить систему уравнений

при всех нечетных .

Решение. Заметим, что данная система уравнений примет вид если положим . Функция  монотонно убывает на всей числовой прямой (как сумма убывающих функций). Тогда, по утверждению 6 эта система равносильна уравнению , которое записывается как

.

 Ясно, что является корнем уравнения. Других корней уравнение не имеет, т.к.  Поэтому заданная система имеет единственное решение .

Пример 11. Решить систему уравнений

Решение. Ясно, что если упорядоченный набор  будет решением системы, то  при всех . Систему легко записать в виде (4), если принять

Поскольку при всех

(здесь мы воспользовались неравенствами  ), то по утверждению 7 уравнения (1) и (2) – равносильны в данном случае (и, следовательно,  ). Уравнение  (2)  запишется как

                                                                                              (1)

Так как

то уравнение (1) на  имеет единственное решение  а поэтому заданная система обладает также единственным решением

1. Об одной олимпиадной задаче

На XX Московской математической олимпиаде (1957 г.) для учащихся 10-х классов было предложено решить следующую систему уравнений:

Ясно, что она имеет вид (4), причем

Составителями было предложено следующее решение задачи. Рассмотрим на плоскости точки с координатами   лежащие на параболе (рис.1).

Рисунок 1.

Чтобы попасть из первой точки во вторую, нужно пройти по двум стрелкам рисунка. Упорядоченный набор  будет удовлетворять системе, если и только если, пройдя по 2n стрелкам последовательно от точки  к точке  и т. д., мы вернемся в точку  При нечетном   система имеет два решения  при четном n к ним добавляются еще два решения:  и .

Ясно, что система имеет вид (4), причем  При этом функция  у данной системы является четной и выпуклой вверх, причем

  и  (т. е. x=1 – решение уравнения ). Оказывается, что при таких условиях справедливо следующее утверждение, замеченное в приведенном примере.

Утверждение 8. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , четная и выпуклая (вверх или вниз) и если   – нуль функции  то . Тогда при нечетных n уравнение (1) равносильно уравнению (2), а при четных  – уравнению (3).

Доказательство. Предположим сначала, что функция – выпуклая вверх. Убедимся, что  при всех x и функция – возрастающая на (–a; 0] и убывающая на [0; а).

Действительно, если  , то

.

Пусть . Тогда , где , и

Отсюда следует, что функция – убывающая на . Из четности функцииследует, что она является возрастающей на ). Отметим также, что

.

Пусть – решение уравнения (1), которое не является решением уравнения (2). Также как при доказательстве утверждения 6 составим последовательность из разных чисел:

где    при всех  и .

При доказательстве утверждения 6 было отмечено, что  кратно . Если докажем, что  , то уравнение (1) при нечетных  не может иметь решений, отличных от (2), и, следовательно, эти уравнения будут равносильными. Если же  – четное, то решения уравнения (1) будут решениями уравнения (3). Поскольку обратное в этом случае имеет место очевидным образом, то уравнения (1) и (3) при четном  – равносильны.

Не умаляя общности, будем считать, что  при всех

  (если же это не так, то, отбрасывая первые члены последовательности (1) и перенумеровывая оставшиеся, можно добиться этого).

Для любого  найдется такое число  из интервала

(–1; 1), при котором . Тогда из условий утверждения и построения последовательности () ясно, что при всех 

В частности, . Отсюда в силу выбора  получаем . Убедимся теперь, что . Предположим сначала, что . Тогда из неравенств

следует

.

Это противоречит выбору. Пусть теперь  Так как

,

то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции найдется такое число β из интервала  что . Тогда |. Однако из условий утверждения вытекает

.

Таким образом, последнее допущение также неверно. Поэтому . Отсюда

и, значит, по выбору  справедливо равенство  Из этого следует, что , т. е. .

Доказательство утверждения, при условии, что функция выпуклая вниз, проводится аналогично.

Из утверждения 8 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 9. Если для функции  выполнены все условия утверждения 8, то уравнение

где  –  - кратная суперпозиция функции при нечетном  равносильно уравнению , а при четном  

Действительно, положив ), уравнение (6) примет вид (1) и для функции  будут выполнены все условия утверждения 6.

С уравнениями (6) при данных условиях на функции  связаны системы уравнений

                                                   (7)

Пример . При любом α ≤ 1 решите систему уравнений

Решение. Очевидно, что система имеет вид (4), причем

.

Ясно, что . Уравнение  имеет решения, если только

, которые равны . В этом случае неравенства  

справедливы. Поскольку эта функция – четная и выпуклая вверх, то выполнены условия утверждения 8. Поэтому уравнение (1) при нечетном  равносильно уравнению (2) (и, следовательно, ), т. е. уравнению

                                    ,        (*)

а при четном  – уравнению (3), т. е. уравнению

.        (**)

Если , то уравнение (*) не имеет решений. Тогда по утверждению 5 уравнение (**) их также не имеет. Разделив многочлен, определяющий уравнение (**), на соответствующий многочлен уравнений (*), получим, что частное равно . Если  то уравнение (**) не имеет решений, отличных от решений уравнения (*), если , то такие решения существуют и они равны

Поэтому если , то у системы нет решений, если , то она имеет одно решение ; если , то – два решения  и  ; если же  , то при нечетном  система имеет два решения, вычисляемые по предыдущим формулам, а при четном  к предыдущим двум добавляются еще два – ) и ), где 

Замечание. Условие  где , существенно в утверждение 8.

Действительно, рассмотрим уравнение

где . Ясно, что функция удовлетворяет всем условиям утверждения 8, кроме  

Разделим многочлен

на квадратный трехчлен

Получим, что частное равно

Очевидно, что уравнение  имеет решения  Поэтому уравнение  неравносильно уравнению .

Пример 13. Решить систему уравнений

Решение. Система имеет вид (7), причем

Ясно, что функция – четная и непрерывная на . Поскольку  есть суперпозиция возрастающей функции  и выпуклой вниз функции ,  то  будет выпуклой вниз. Очевидно, что  и уравнение  имеет два решения: . Поэтому все условия утверждения 9 выполнены и, следовательно, уравнение (6) в данном случае равносильно уравнению:т.е. уравнению

которое имеет два решения:  и . Из этого получаем, что у заданного уравнения есть два решения:  и .

2. Уравнения вида

Пусть – функция двух переменных,  – функция одной переменной. Уравнение

                                    (8)

где левая часть уравнения является n – кратной суперпозицией функции и , естественно считать обобщениями уравнения (1).

Утверждение 10. Если функция  по y и функция– одномонотонные, то уравнение (8) равносильно уравнению:

                                                    (9)

Пусть  – решение уравнения (8). Примем . Ясно, что  будет решением уравнения , где это n – кратная суперпозиция функции  Отсюда следует, что если функция – возрастающая, то по  утверждению 5  – решение уравнения  и поэтому  

Аналогично из утверждения 6 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 11. Если функция по y и функция – разномонотонные, то при нечетных  уравнение (8) равносильно уравнению (9), при четных  – уравнению

                                     (10)

Ясно, что с уравнением (8) естественным образом связана система уравнений

                                               (11)

Пример 14. Решить систему уравнений

Решение. Систему можно записать в виде (11), если считать, что

Поскольку функция  по и функция – возрастающие, то по утверждению 10 уравнение (8) равносильно уравнению (9), которое можно записать следующим образом

Отсюда получаем, что . Из предыдущего следует, что заданная система имеет два решения: .

Пример 15. Решить систему уравнений

Решение. Если предположим, что

то систему можно записать в виде (11). Функция  является возрастающей по , а функция – убывающей. Поскольку число уравнений нечетно, то по утверждению 11 уравнение (8) в этом случае равносильно уравнению (9), которое записывается как

решив которое, находим, что  Из этого следует, что система уравнений имеет единственное решение .

3. Уравнения вида

Уравнения

 ,                            (12)

где функция, стоящая в левой части уравнения, является результатом

 – кратной суперпозицией функции  (по ) и подстановки вместо переменной  функции .

Утверждение 12. Если функция G(x, у) является возрастающей по у, то уравнение (10) равносильно уравнению :

                                      (13)

Действительно, пусть х0 – корень уравнения (12) и функция G(x, у)– возрастает по у. Предположим, что  – не является корнем уравнения (13) Тогда либо , либо  Предположим, что справедливо первое неравенство. Тогда получим

Следовательно,  – не является корнем уравнения (12). Получили противоречие. К такому же результату придем, если предположим, что  Отсюда вытекает, что  – корень уравнения (13).

Ясно, что корни уравнения (13) являются корнями уравнения (12). Тем самым доказано, что уравнения (12) и (13) равносильные.

Утверждение 13. Пусть функция является убывающей по у. Тогда при нечетных n уравнение (12) равносильно уравнению (13), а при четных – уравнению

                                 (14)

В самом деле, ясно, что уравнение (12) является следствием уравнения (13), а при четных n и уравнения (14). Убедимся в обратном.

Пусть – решение уравнения (12),  и   Тогда  – решение уравнения , где – это n – кратная суперпозиция функции . По условию является убывающей функцией, поэтому по утверждению 6, при нечетных  будет решением уравнения  и, значит, , а при четных – уравнения  и, следовательно,

.

Утверждение 14. Пусть функция  непрерывна на области определения , пересечение которой с любой прямой, параллельной оси ординат, является отрезком, и дифференцируема по у во всех внутренних точках этих отрезков. Если или  для всех допустимыхиз  или , то уравнения (12) и (13) равносильны.

Убедимся, что уравнение (12) является следствием уравнения (13). Допустим противное. Как и при доказательстве предыдущего утверждения, построим совокупность разных чисел

Применим теорему Лагранжа о конечных приращениях к функции  и сегментам с концами в точках  и , и ,  и .

Получим

где  – некоторые точки из вышеперечисленных отрезков соответственно. Из приведенных равенств следует

.

Так как , то последнее равенство противоречит условиям утверждения. Поэтому уравнение (12) – следствие уравнения (13).

С уравнениями (12) естественным образом связана система уравнений

                                             (15)

Заметим, что если  решение уравнения (12), то упорядоченный набор  чисел – решение системы (13).

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Положим

Так как

то уравнение имеет вид (12). Функция  является возрастающей по y. Поэтому по утверждению 12 уравнение равносильно уравнению

Данное уравнение равносильно системе

Уравнение системы записывается как

Поэтому его корнями являются  Неравенству системе удовлетворяет корень  Следовательно, решением данного уравнения будет

Пример 17. Решить систему уравнений

Решение. Систему можно записать в виде (15) , если определить

Поскольку функция является убывающей по y и число неизвестных –нечетное, то по утверждению 13 система равносильна системе

Решим первое уравнение системы. Если , то уравнение записывается как

Отсюда следует, что

Корнями последнего уравнения являются и  Первый корень не удовлетворяет принятому требованию. Следовательно, решением первого уравнения системы, в этом случае, будет  Пуст тогда уравнение системы примет вид

Отсюда вытекает, что  Поэтому первое уравнение системы в этом случае корней не имеет. В итоге получили, что решением данной системы будет

Пример 18.  Решить систему уравнений

Решение. Если считать, что

то система примет вид (15). Поскольку

то по утверждению 14 уравнение (11) равносильно уравнению

Решим его. Имеем

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Отсюда получаем, что,  где

Составим решения системы. Ими являются упорядоченные тройки

4. Циклические системы уравнений

Представить системы уравнений вида (4) можно в следующем виде.

Пусть задана функция одной переменной . Составим функцию двух переменных , полагая

Тогда систему уравнений (4) можно записать как

                                              (16)

причем утверждения 2 – 5 определяют при каких условиях, налагаемых на функцию , система (4) равносильна системе

                                                (17)

Очевидно, что системы вида (16) можно составлять для любой функции двух переменных . Такие системы будем называть циклическими. Далее будем предполагать, что если функция  определена в точке , то она определена и в точках ,и .

Очевидно, что система (16) будет следствием системы (17). Кроме того, если упорядоченный набор  является решением системы (17), то любая перестановка набора вида  – ее решение.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 15. Если функция  разномонотонная по  и по , и  по одной переменной строго монотонна, то системы (16) и (17) равносильны.

Ясно, что для доказательства утверждения достаточно убедиться, что решения системы (14) являются решениями системы (15). Допустим противное.

Пусть упорядоченный набор – решение системы (16), не являющийся решением системы (17). Тогда в этом наборе есть неравные числа. Не умаляя общности, можно считать, что  – наибольшее из чисел , где (если – наибольшее число, то вместо набора  рассмотрим набор ), и (если , то исходный набор заменим на набор ). Выберем номер k  так, чтобы  и рассмотрим пары и . Предположим, что функция  является возрастающей по x, убывающей по  и строго монотонной по одной из переменных. Тогда,

причем одно из неравенств в этой цепочке является строгим. Следовательно,

Этот же результат получим, если предположим, что функция  является возрастающей по у и убывающей по х. Однако, по предположению . Противоречие доказывает, что решение системы (16) являются решениями системы (17).

Замечание. Утверждение 15 является обобщением утверждения 4.

Действительно, при условиях утверждения 4 функция

 является возрастающей по x и строго убывающей по у.

Обобщим утверждение 15 для функций трех переменных.

Пусть задана функция трех переменных  область определения , которой удовлетворяет следующему условию: если упорядоченная тройка принадлежит , то любой набор из трех чисел, составленный из , (например,  и т.д.), содержится в .

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

                                             (18)

Ее мы будем называть циклической системой трех переменных.

Очевидно, что если тройка  – решение системы (18), то тройки  и  – также её решения.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 16. Если функция является возрастающей по x

и по у, а строго убывающей по z, то система (18) равносильна системе:

                                                   (19)

Очевидно, что система (18) является следствием системы (19). Убедимся в обратном. Допустим противное. Пусть набор  – решение системы (18), которое не является решением системы (19). Тогда среди чисел есть неравные. Не умаляя общности, можно считать, что xо есть наибольшее из них.  В противном случае рассмотрим либо набор , либо . Возможны два случая: либо  и, либо . В первом случае  и, следовательно, . Из свойств функции вытекает

что, очевидно, невозможно.

Пусть теперь . Тогда или , или . Если , то  и, следовательно,

Если же то,

Ясно, что данные цепочки неравенств невозможны. Полученное противоречие доказывает, что система уравнений (19) является следствием системы (18).

Замечание. Утверждение 16 не допускает обобщений подобно утверждению 15 для большего числа неизвестных.

Обратимся к примерам циклических систем.

Пример 19. Решите систему уравнений

Решение. Если примем

то система запишется в виде (16). Функция является возрастающей по  и строго убывающей по.  Поэтому по утверждению 15 решение системы сводится к решению уравнения

Ясно, что решения уравнения должны удовлетворять неравенствам

Поэтому  и, значит,  Отсюда либо , либо . Подставляя эти значения целой части  в уравнение , находим, что его решение будут  и  Следовательно, заданная система имеет два решения:

Пример 20. Рассмотрим систему уравнений

Очевидно, что она составлена при помощи функции

и ее решения должны удовлетворять условиям:  Поэтому положим . Ясно, что функция является возрастающей функцией на  по  и  и строго убывающей по z. Однако система не равносильна системе

Действительно, первое уравнение данной системы имеет единственное решение Легко заметить, что упорядоченный набор  является решением исходной системы. Следовательно, утверждение 16 не допускает обобщений для большего, чем 3 числа неизвестных.

Заключение

Основная задача школьного курса математики подготовить учащихся к поступлению в вузы, и соответственно обучению в них. Школьный курс математики должен характеризоваться не только обширным объемом усвоенных сведений из различных областей математики, но и навыками устанавливать связи между отдельными разделами курса, концентрировать внимание на общих идеях, выделять сущность основных понятий и методов, а также уметь их применять при решении задач. Этому может способствовать содержание данной работы.

В результате исследования сделаны следующие выводы:

1. обоснована целесообразность изучения функциональных методов решения в курсе математики школ с ее углубленным изучением;
2. выделены специальные классы уравнений, позволяющие осуществлять переход от стандартных методов решения к нестандартным, разработаны методы их решения на основе функционального подхода, указана технология их построения.

Использование функциональных методов решения уравнений и других задач позволит совершенствовать процесс обучения математике в школах, поможет систематизации знаний учащихся, сформирует умение решать задачи, повлияет на развитие личности и ее творческие способности.

Список использованных источников

1. Чучаев И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений. Саранск: Изд-во Мордов. Ун-та, 2001. 168 с.
2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике  / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев // Решение задач. М., 1991. 384 с.
3. Олехник С.Н. Нестандартные методы решений уравнений и неравенств /  С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1991. 144 с.
4. Виленкин Н. Три точки, три точки, три точки… // Квант. 1980. №1. С. 48 – 50.
5. Чучаев И. И. Симметрия уравнений  / И. И. Чучаев,

Е. Г. Смольянова  // Актуальная проблема школьного курса математики. Саранск, 1998. С. 40 – 50.

6. Чучаев И. И. О геометрических приемах решения уравнений  / И. И. Чучаев, Е. Г. Смольянова  // Тезисы докладов межрегиональной научной конференции “Проблема современного математического образования в педвузах и школах России”, 19 – 20 мая 1998 г. Саранск, 1998. С. 157 – 158.
7. Чучаев И. И. О геометрических приемах решения уравнений  / И. И. Чучаев, Е. Г. Смольянова  // Тезисы докладов Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педвузов “Подготовка будущего учителя к работе в классах с углубленным изучением математики”, 12 – 15 октября 1998 г. Саранск, 1998. С. 135 – 136.
8. Чучаев И. И. Нестандартные метолы решения уравнений  / И. И. Чучаев, Е. Г. Смольянова // Материалы Всероссийской научной конференции  “Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе”, 27 – 30 октября 1998 г. Саранск, 1998. С. 168 – 169.
9. М. К. Потапов, А. В. Шевкин. О решении уравнений вида     “ Математика в школе” .2003. №7.
10.  Вороной А. Н. Циклические системы уравнений. // Математика в школе. 2003. Издание №7.
11.   Чучаев И. И. Нестандартные ( геометрические и функциональные )  приемы решения уравнений: Учеб. Пособие. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2002. – 228 с.