Курсовая работа по теме,, Линейные уравнения с параметром"

Содержание

1. Введение
2.  Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики.
3. Линейное уравнение с параметром . Урок введения понятия параметра.
4. Темы факультативных занятий в 8 классе.
5. Материал к урокам
6. Заключение
7. Список литературы

Введение

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательного школы предусматривается профильное обучение, ставится задача создания “системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <…> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”.

Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе, выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Математическая статистика» поддерживает изучение профильного предмета экономики. Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы «Информационный бизнес», «Основы менеджмента» и др. в социально-гуманитарном профиле; курсы «Химические технологии», «Экология» и др. в естественнонаучном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.

К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных в 2002 году Центром социологических исследований Минобразования России, “профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже), начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе”. При этом примерно 70-75% учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности

Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики

Всё возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям и неравенствам или их системам содержащим параметры. Задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются прообразом важных научно-исследовательских задач, которые предстоит решать будущему поколению. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими  методами и скрупулёзного анализа.

Все рассмотренные  задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

 В последнее время в материалах  ЕГЭ и ГИА, предлагаются задания по теме: ,,Уравнения, содержащие параметр”.  Некоторые учащиеся боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них все равно не получиться.  Стоит отметить, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы ученикам, желающим подготовиться для успешной сдачи централизованного тестирования и ЕГЭ, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало.

Задачи с параметрами – эффективное упражнение для развития интеллекта, математического и логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, способствуют формированию математической культуры.  Каждое из заданий с параметрами представляет для учащихся небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, ученик поднимается на одну ступеньку выше в своем понимании методов решения математических задач. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

 При  решении задач  с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи.  Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.

Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам  найти  время на уроке или на факультативных занятиях для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков

Частичное решение проблемы (малочисленность задач с параметрами в школьном курсе математики) я вижу во  введении факультативных занятий  и элективных курсов по предпрофильной  подготовке учащихся ,начиная с 8 класса,  которые предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, связанные существенным образом с математикой.

В школьном курсе математики одной из важных тем является тема «Линейные  уравнения». Это первые уравнения с которыми учащиеся знакомятся  в школьном курсе математики, начиная с первого класса , где решение уравнения сводится к нахождению неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого, вычитаемого, неизвестного множителя, делимого, делителя. Вводить  уравнения с параметром нужно, начиная  с линейных.

Урок введения понятия параметр. Линейное уравнение с параметром.

Тема занятия :,,Параметр. Линейное уравнение с параметром”

Задача занятия: ввести понятие параметра. Дать первые навыки решения линейных уравнений с параметром.

Ход занятия:

Подготовительный этап

-Дайте определение линейного уравнения

-Что называется корнем уравнения?

-Что значит решить уравнение?

Решить уравнения:

1. 4(x+3)=5(x-2)
2. -2(x-5)+3(x-4)=4x+1
3. 3(8x-6)=4(6x-4,5)
4. 3(5х-7)=5(3х+4)
5. 6(2х+1/6)=5(2,4х+0,2)        

Введение понятие параметра на примере решения уравнения с параметром.

Задание:

Для любого допустимого значения  а  указать как находится х.

ах-8=5а-3x

Вопрос учащимся: Ребята, вы знаете как решать это уравнение ?

-В этом уравнении две неизвестных величины.  Давайте решать уравнение перебором  значений для а.

если а=2, то уравнение примет вид    2х-8=10-3х

                                                                       2х+3х=10+8

                                                                       5х=18

                                                                         Х=3,6(можно изобразить числовую  прямую  а  и отмечать на ней значения х при заданном значении а )

Если а=-3, то уравнение примет вид   -3х-8=-15-3х

                                                                       -3х+3х=-15+8

                                                                        0х=-7  уравнение решений не имеет

Если а=4,то уравнение примет вид  8х-8=40-3х

                                                                    8х+3х=40+8

                                                                     11х=48

                                                                       Х=48/11

Нужно перебрать как можно больше значений а и  указывать соответствующие им  значения х . Вывод : перебором задачу не решить.

Вопросы учащимся:

---А  может мы делали какие-то одни и те же операции? (перенос из одной части в другую, нахождение неизвестного множителя)

--Какое выполняется всегда, заострять внимание на нем не нужно.

--А какое не всегда можно выполнить? (нахождение  неизвестного множителя) Значит не при всех значениях  а уравнение имеет корень.

Используя графическую интерпритацию записать ответ.

Итак решим уравнение :

ах-8=5а-3х

ах+3х=5а+8   при любом а  можно сделать перенос известных в одну сторону, а неизвестных в другую

х(а+3)=5а+8  при любом а можно х вынести за скобку

Чтобы найти х нужно (5а+8) разделить на (а+3), а это не всегда можно сделать.

Если а= -3, то уравнение примет вид   ох=-7-решений нет

Если а#-3, то х=(5а+8)/(а+3).    Желательно изобразить числовую прямую а и на ней отмечать все значения х , соответствующие данным значениям параметра а.

   -----------------------------------------!--------------------------------------------------a

х=(5а+8)/(a+3)                                -3                 x=(5a+8)/(a+3)

Ответ: если а=-3, то решений нет;

Если а#-3, то х=(5а+3)/(a+3)

Выполнение упражнений на закрепление.

Для любого допустимого значения а  указать как находится х

а) ах=3

б) (а-2)х=а-2

в)ах-6=х-1

-В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие буквы называют параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех  корней заданного уравнения.

Давайте составим алгоритм решения линейного уравнения с параметром.

-раскрыть скобки, если они есть

-перенести в одну сторону известные, в другую неизвестные (считаем х неизвестным)

-вынести х за скобки

-найти неизвестный множитель, учитывая  допустимые значения параметра

Отработка навыка решения линейного уравнения с параметром

Решить уравнение

а) (-9)х=а+3

б)(а-1)(а-5)х=а-5

в)(а-3)(а+5)х=-25

г) 6(ах-1)+а=3(а-х)+7

д) при каких значениях а уравнение  2(3х-2а)=2+ах  не имеет решения ?

е) при каких значениях а уравнение 6(ах-1)-а=2(а+х)-7 имеет бесконечное множество решений ?

ж) при каких значениях а уравнение 2(а-2х)=ах+3 не имеет решения?

З) при каких значениях а  уравнение 2(а+х)=3(1-х) имеет положительное решение?

и) при каких значениях а уравнение а(х-3)=2х+1 имеет решение , удовлетворяющее условию х<3?

Итог занятия:

-Постарайтесь дать определение параметра своими словами

-Повторите алгоритм решения линейных уравнений с параметром

 Темы факультативного  курса,, Задачи с параметром”  в 8 классе

Материал к урокам

Пример 1.  Для всех значений параметра а  решите уравнение .

Ответ:   если а – любое число.

Пример 2. Для всех значений параметра а  решите уравнение  .

Ответ: , если а – любое число.

 Пример 3. Для всех значений параметра а  решите уравнение      ах   = 1.

Решение:  При  а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.

Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение .

Пример 4. Для всех значений параметра а  решите уравнение      0х   = а.

Ответ: при а ≠ 0 корней нет; при а=0  х – любое число.

Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром  

 Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. Такие значения при которых коэффициент при х  обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2.

а)  При а =0  уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.

б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда .

Ответ:  1)  при а =0   корней нет.

               2) при а = 2  х – любое действительное число.

       3) прито

Пример 6.  Исследовать и решить уравнение с параметром.

Найдём контрольные значения параметра а:  .

 а) при а=1 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

б) при а ≠ 1  уравнение примет вид

Ответ: 1) при а=1 х – любое действительное число.

2) при а ≠ 1 , то  

Пример 7. Исследовать и решить уравнение с параметром.

а2 (х – 5) = 25 (х – а)

Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования:            а2х – 5а2 = 25х – 25а ;  

                                          (а2 – 25)х = 5а2 – 25а.

(а-5)(а+5)х = 5а(а-5).

а) при      ед. х ;  .

б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно,  любое х есть решение.

в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:    

                          -5            5                    

                                                                  а

                       3)      1)           2)

Ответ: 1)   при      ед. х .

2) при  а = 5,    любое х есть решение.

3. Частные случаи решения линейных уравнений

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.

Пример1. При каких целых значениях параметра  а уравнение  имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если  то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения  было делителем числа 5, то есть  может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда,  а = 3;  1; 7;-3.

Ответ:  при  а = -3;  1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра  n  уравнение  

 а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения    имеют смысл при любых  значениях  n/

2. Если , то   . При  значение выражения  равно 0. Получаем уравнение вида   . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При  значение выражения  равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При  и  уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При  и .

  б) При .     в) При .

Пример 3. При каком значении параметра  а  уравнение не имеет корней  .

Перепишем данное уравнение в виде  Если а = 2, то уравнение не имеет корней.         Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I:  Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство  , или равенство  .

Равенство справедливо при  а = 0 или при а =1.

Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется  проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения  

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде    х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения .

Способ II.  Перепишем исходное уравнение в виде 

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7:     то есть при а = 0.

Ответ:  а = 0.

Пример 5.  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения       и   имеют общий корень.

Решение:  Перепишем  первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при  ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х1  и х2  есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение  

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при

Заключение.

  Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу.  Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 8 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

   Литература

1. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Пособие по математике. 3-е изд., доработ. - Минск: Асар, 2004.

2. Смыкалова Е.В. Математика. Модули, параметры, многочлены. Предпрофильная подготовка.-Сант-Петербург: СМИО Пресс,2006

3. В.В.Локоть. Задачи с параметрами . Учебное пособие.-Москва:Аркти,2003.

4. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые: Пособие для учителей и учащихся.- Воронеж: Дрофа, 2000 .
5. Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике: общие положения, программы курсов, структура портфолио, сценарии занятий. – Москва: «5 за знания», 2006.
6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. 9 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - Москва: Просвещение, 1997.
7. Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С.Математика.8-9 классы : сборник элективных курсов/авт.- сост.. – Волгоград: Учитель, 2006.
8. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.,Просвещение, 1972 .
9. Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г.   ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. - Москва: МЦНМО, 2011.
10. Горнштейн П.И., Полонский В. В., Якир М. С. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., - Москва: Кладовая школьной математики, 2005.
11. Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – Москва: МЦНМО, 2007.
12.  Крамор В. С.Задачи с параметрами и методы их решения. — Москва: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007.
13.  Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. - Москва, Экзамен, 2009.