Замечательные точки
Опубликовано 14.02.2012 - 21:59 - Животова Елена Викторовна
Подписи к слайдам:
Цифровой образовательный ресурсЗамечательные точки треугольника
Учитель математики МОУ «Гимназии № 8»Животовой Елены Викторовны2008 – 2009 уч. г.
Определение
Замечательные точки – это не математическое, а скорее литературное название точек, которые имеют уникальные особенности.
Введение в историю замечательных точек
Ферма
Торричелли
Эйлер
Центр описанной окружности
Все серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех вершин и является центром описанной окружности.
Свойства центра описанной окружности
треугольник остроугольный
прямоугольный треугольник
треугольник тупоугольный
Центр вписанной окружности
Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
I - cвойство центра вписанной окружности
Если х= АВ1, у=ВС1 и z=CА1, то x+y=c, y+z=a и z+x=b,
II - cвойство центра вписанной окружности
Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке М, то МА=МО
III - cвойство центра вписанной окружности
Если АВ – основание равнобедренного треугольника АВС, то окружность, касающаяся сторон угла АСВ в точках А и В, проходит через точку О.
IV- cвойство центра вписанной окружности
Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А1 и В1, то А1В1 = А1В+АВ1.
Задача
Около окружности радиуса 2 описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8. Найдите периметр треугольника. Решение. Следовательно, a+b-8=4, a+b=12→ P=20. Ответ : 20
Вневписанная окружность
Оа, Ос, Ов – центры вневписанных окружностей.
Между радиусами вписанной и вневписанной окружностей имеют место следующие соотношения:
r/Rc = (p-c)/p r Ч Rc = (p-a) Ч (p-b) где р- полупериметр треугольника.
Задача
Дана трапеция АВСD, основания которой ВС=44, AD=100, AB=CD=35, АС=75, АЕ=21. Окружность, касающаяся прямых AD и АС, касается стороны CD в точке К. Найдите длину отрезка СК. Решение. Первый вариант: окружность вписана в треугольник АСD.CK = Второй вариант: окружность касается продолжений сторон АС и АD за точками С и D соответственно и отрезка СD.CK = Ответ: 5 или 30.
Точка пересечения медиан
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит медианы в отношении 2/1 от вершины треугольника.
Свойства точки пресечения медиан
Точка пересечения медиан является центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами.
Точка пересечения высот
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая является ортоцентром треугольника.
Свойства ортоцентра треугольника
<АВС+Прямая Эйлера
Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой – прямая Эйлера.
Окружность девяти точек
Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра лежат на одной окружности.
Точка Брокара
Если на сторонах треугольника АВС внешним образом построить подобные ему треугольники СА1В, САВ1, С1АВ, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в точке Р, которой называют точкой Брокара. Одна из особенностей этой точки состоит в то, что <РАС= <РСВ= <РВА.
Точка Ферма
Точка F – точка Ферма, то есть точка, сумма расстояний от которой до всех вершин треугольника АВС минимальна
Точка Нагеля
Отрезки, соединяющая каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, пересекаются в одной точке N – точке Нагеля.
Прямая Симсона
Основания перпендикуляров, опущенных из точки Р описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой - прямой Симсона.
Точка Жергонна
Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанной в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке Ge. Она называется точкой Жергонна.
Точка Лемуана
Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получаем новые замечательные линии – семидианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника.
Изогональные точки
Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, то есть содержат ее радиусы.
Учитель математики МОУ «Гимназии № 8»Животовой Елены Викторовны2008 – 2009 уч. г.
Определение
Замечательные точки – это не математическое, а скорее литературное название точек, которые имеют уникальные особенности.
Введение в историю замечательных точек
Ферма
Торричелли
Эйлер
Центр описанной окружности
Все серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех вершин и является центром описанной окружности.
Свойства центра описанной окружности
треугольник остроугольный
прямоугольный треугольник
треугольник тупоугольный
Центр вписанной окружности
Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
I - cвойство центра вписанной окружности
Если х= АВ1, у=ВС1 и z=CА1, то x+y=c, y+z=a и z+x=b,
II - cвойство центра вписанной окружности
Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке М, то МА=МО
III - cвойство центра вписанной окружности
Если АВ – основание равнобедренного треугольника АВС, то окружность, касающаяся сторон угла АСВ в точках А и В, проходит через точку О.
IV- cвойство центра вписанной окружности
Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А1 и В1, то А1В1 = А1В+АВ1.
Задача
Около окружности радиуса 2 описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8. Найдите периметр треугольника. Решение. Следовательно, a+b-8=4, a+b=12→ P=20. Ответ : 20
Вневписанная окружность
Оа, Ос, Ов – центры вневписанных окружностей.
Между радиусами вписанной и вневписанной окружностей имеют место следующие соотношения:
r/Rc = (p-c)/p r Ч Rc = (p-a) Ч (p-b) где р- полупериметр треугольника.
Задача
Дана трапеция АВСD, основания которой ВС=44, AD=100, AB=CD=35, АС=75, АЕ=21. Окружность, касающаяся прямых AD и АС, касается стороны CD в точке К. Найдите длину отрезка СК. Решение. Первый вариант: окружность вписана в треугольник АСD.CK = Второй вариант: окружность касается продолжений сторон АС и АD за точками С и D соответственно и отрезка СD.CK = Ответ: 5 или 30.
Точка пересечения медиан
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит медианы в отношении 2/1 от вершины треугольника.
Свойства точки пресечения медиан
Точка пересечения медиан является центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами.
Точка пересечения высот
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая является ортоцентром треугольника.
Свойства ортоцентра треугольника
<АВС+
Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой – прямая Эйлера.
Окружность девяти точек
Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра лежат на одной окружности.
Точка Брокара
Если на сторонах треугольника АВС внешним образом построить подобные ему треугольники СА1В, САВ1, С1АВ, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в точке Р, которой называют точкой Брокара. Одна из особенностей этой точки состоит в то, что <РАС= <РСВ= <РВА.
Точка Ферма
Точка F – точка Ферма, то есть точка, сумма расстояний от которой до всех вершин треугольника АВС минимальна
Точка Нагеля
Отрезки, соединяющая каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, пересекаются в одной точке N – точке Нагеля.
Прямая Симсона
Основания перпендикуляров, опущенных из точки Р описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой - прямой Симсона.
Точка Жергонна
Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанной в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке Ge. Она называется точкой Жергонна.
Точка Лемуана
Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получаем новые замечательные линии – семидианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника.
Изогональные точки
Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, то есть содержат ее радиусы.