Решение задания ЕГЭ №16
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

      Решение задания №16 КИМ ЕГЭ по математике оценивается в 3 тестовых балла. Очень весомое задание, но именно его весомость, номер (а все ученики знают – чем дальше, тем «страшнее») и  формулировка делают его достаточно непопулярным среди выпускников. Большая часть учащихся вообще не приступают к его решению.     Между тем при ближайшем рассмотрении задание №16  вполне по силам для учащихся, имеющих качественную оценку по геометрии и владеющим теоретическими основами предмета.

Это планиметрическая задача, состоящая из двух пунктов: пункт на доказательство геометрического факта и пункт на нахождение одного из компонентов рассматриваемой конфигурации.

       Рассмотрев более 40 задач из сборника Ященко, я пришла к следующим выводам.

Особенности задания:

• условие, требующее иногда достаточно сложного построения;
• применение для решения «непопулярных» теорем  планиметрии;
• применение алгебраических методов (введение параметра, работа с преобразованиями выражений, рассмотрение суммы или разности элементов и пр).

Достаточно часто для доказательства и нахождения элементов используются основные знания и умения планиметрии:

• свойства равнобедренного и прямоугольного  треугольника,
• свойства четырехугольников,
• признаки равенства и подобия треугольников,
• свойства вписанных в окружность углов, касательных, хорд,
• теорема Пифагора и др.

Наравне с вышеперечисленными фактами используются факты, которым в курсе геометрии уделяется недостаточно внимания. То есть в  планиметрии эти факты изучаются, применяются при решении нескольких задач и, скорей всего, благополучно забываются:

• расположение центра окружности, описанной  около треугольника,
• условие вписанного и описанного  четырёхугольника,
• теорема косинусов,
• признаки четырехугольников и др.

Сведения из дополнительной главы «Некоторые сведения из планиметрии», рассматриваемой обычно в 11 классе, а именно

• угол между касательной и хордой,
• теорема об отрезках, связанных с окружностью,
• углы с вершинами внутри и вне круга,
• теорема о медиане.

          Несомненно, кроме знаний теоретических фактов, задача требует умения проводить доказательные рассуждения. В этом отношении задания неравнозначны. Некоторые решаются с помощью 2-3 очевидных выводов, для других нужно выстраивать длинную цепочку следствий. Часто приходится применять достроения, вынос чертежа.

         Лично для меня задания оказались интересны своей «эвристической» составляющей. Тот самый момент, когда надо увидеть, озариться. Именно за это и люблю геометрию. Каждая задача – маленькая головоломка, которую надо сложить. Удовлетворение от решения 100%-ное!

      В качестве примерного алгоритма для решения можно порекомендовать метод «мозговой штурм».

1. Выполните рисунок, проверьте его произвольность и инвариантность
2. Обозначьте на рисунке все равные отрезки и углы, прямые углы
3. Выпишите все объекты (треугольники, четырехугольники), которые вы видите на рисунке
4. Записывайте все факты, теоремы и соотношения, связанные с выделенными объектами
5. Продолжайте цепочку следствий от записанных фактов. «Тупиковые» отбрасывайте. Самые прогрессивные оставляйте, соотносите друг с другом
6. При отсутствии результата повторяйте с пункта 3, но выделяйте уже не объекты, а элементы (углы, отрезки).

Примеряйте, пробуйте, фантазируйте.

Но рекомендовать для решения своим ученикам надо обязательно.

        Задания в сборниках периодически повторяются или рассматриваются аналогичные задачи. Поэтому предлагаю решения 9 задач. Причем полностью решены 3 задачи, остальные – только доказаны. За доказательство без решения ученик получает 1 балл из 3-х.